Penktoje klasėje būna kelios pamokos, kurios tėvams atrodo pačios lengviausios per visus metus. Vaikas parsineša namo sąrašą taisyklių apie paskutinius skaitmenis ir skaitmenų sumas, per vakarą jas įsimena, gauna gerą pažymį, ir tema užsidaro. Bėda ta, kad tai iš viso nėra tema. Tai įrankis, kuriuo toliau dirbama ketverius metus — tik kaskart jis vadinamas kitaip.
Matematikos bendrojoje programoje dalumas, pirminiai skaičiai ir skaidymas pirminiais dauginamaisiais penktoje klasėje stovi tiesiog prieš trupmenas. Aštuntoje klasėje ta pati operacija sugrįžta su raidėmis. Todėl spraga, atsiradusi per tas kelias penktos klasės pamokas, dažniausiai pastebima ne tada, kai atsiranda, o po trejų metų — ir tada ji jau vadinama trumpai: „nesiseka algebra“. Toliau — ką tiksliai sako programa, kuo oficialus sąrašas skiriasi nuo to, kurį vaikas randa internete, ir kaip per dešimt minučių namuose patikrinti, ar spraga yra.
Ką penktokas iš tikrųjų mokosi per tas kelias pamokas
Bendrojoje programoje penktos klasės turinys šioje vietoje suformuluotas trumpai: mokoma(si) atpažinti skaičius, kurie dalijasi iš 2, 3, 4, 5, 9, 10, 100. Toje pačioje pastraipoje apibrėžiamos sąvokos — skaičiaus daliklis, skaičiaus kartotinis, pirminis skaičius, sudėtinis skaičius, lyginis ir nelyginis skaičius.
Iš karto po sąvokų programa nurodo, ką su jomis daryti: nagrinėjamos situacijos, kuriose sudėtinis skaičius skaidomas pirminiais dauginamaisiais, ir sprendžiami uždaviniai, kai reikia rasti kelių skaičių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį ir didžiausiąjį bendrąjį daliklį. Tai jau nebe taisyklių sąrašas, o veiksmas: skaičių išardyti į dauginamuosius ir tuos dauginamuosius palyginti su kito skaičiaus dauginamaisiais.
Verta atkreipti dėmesį į vieną smulkmeną. Pats junginys „dalumo požymiai“ bendrojoje programoje nevartojamas — tai vadovėlinė, mokyklinėje kalboje prigijusi sąvoka. Programa kalba apie gebėjimą atpažinti, o ne apie sąrašą, kurį reikia mokėti atmintinai. Skirtumas atrodo formalus, bet jis paaiškina, kodėl kalimas čia padeda mažiau, nei tikimasi.
Oficialus sąrašas nesutampa su tuo, kurį vaikas randa internete
Programoje išvardyti septyni dalikliai: 2, 3, 4, 5, 9, 10 ir 100. Internete randami sąrašai su oficialiuoju dažnai nesutampa: vieni apsiriboja penkiais požymiais — iš 2, 3, 5, 9 ir 10, kiti prideda dalumą iš 6 ir iš 8, o šimtas juose pasitaiko rečiausiai. Skirtumas nedidelis, tačiau apie jį verta žinoti, kai vaikas mokosi ne iš vadovėlio, o iš pirmo rasto puslapio.
Dalumo iš 6 atskirai iš viso nereikia įsiminti: skaičius dalijasi iš 6 tada, kai dalijasi ir iš 2, ir iš 3, tad jį galima išvesti iš dviejų jau žinomų požymių. Užtat dalumas iš 100 tyliai naudojamas visur, kur atsiranda procentai, dešimtainiai skaičiai ir matavimo vienetų keitimas, o visa tai programa įveda dar penktoje klasėje.
Patys požymiai telpa į kelias eilutes:
- Iš 2 dalijasi skaičiai, kurių paskutinis skaitmuo yra 0, 2, 4, 6 arba 8.
- Iš 5 dalijasi skaičiai, kurių paskutinis skaitmuo yra 0 arba 5; iš 10 — kurių paskutinis skaitmuo yra 0; iš 100 — kurių du paskutiniai skaitmenys yra nuliai.
- Iš 4 dalijasi skaičiai, kurių du paskutiniai skaitmenys sudaro skaičių, kuris dalijasi iš 4.
- Iš 3 dalijasi skaičiai, kurių skaitmenų suma dalijasi iš 3.
- Iš 9 dalijasi skaičiai, kurių skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Pavyzdys, kuriame vienu metu suveikia keli požymiai — skaičius 4 728. Paskutinis skaitmuo lyginis, tad jis dalijasi iš 2. Skaitmenų suma 4 + 7 + 2 + 8 = 21 dalijasi iš 3, bet ne iš 9, tad iš 3 dalijasi, o iš 9 — ne. Du paskutiniai skaitmenys sudaro 28, o 28 dalijasi iš 4, vadinasi, ir visas skaičius dalijasi iš 4. O kadangi dalijasi ir iš 2, ir iš 3, dalijasi ir iš 6, nors šio požymio atskirai mokytis nereikėjo.
Kodėl dalumo mokoma prieš pat trupmenas
Programos eiliškumas šioje vietoje nėra atsitiktinis. Iškart po didžiausiojo bendrojo daliklio ir mažiausiojo bendrojo kartotinio penktos klasės turinyje prasideda skyrius apie trupmenas ir dalis, kuriame praktikuojamasi trupmenas suprastinti, pertvarkyti, palyginti ir suapvalinti. Toje pačioje klasėje atsiranda ir mišriųjų skaičių sudėtis bei atimtis, kai trupmeninės dalys išreikštos trupmenomis su skirtingais vardikliais — ketvirtoje klasėje vardikliai dar būdavo vienodi.
Vadinasi, dalumo mokoma ne kaip savarankiškos temos, o kaip pasiruošimo kitai temai, prasidedančiai po kelių pamokų. Didžiausiasis bendrasis daliklis yra tai, kuo trupmena suprastinama iki galo per vieną žingsnį. Mažiausiasis bendrasis kartotinis yra tai, kaip randamas bendrasis vardiklis. Vaikas, kuris šių dviejų dalykų neturi, trupmenas vis tiek sutvarkys — tik ilgesniu keliu, su didesne klaidos tikimybe ir dažnai nesuprastinęs atsakymo iki galo. Plačiau apie tai, kur šeštokams įstringa pačios trupmenos, rašėme atskirai.
Skirtumas tarp „moku taisyklę“ ir „matau daliklį“
Čia ir slypi pagrindinis nesusipratimas. Taisyklių atpasakojimas ir gebėjimas jomis dirbti yra du skirtingi dalykai, o mokykliniame patikrinime jie ilgai atrodo vienodai. Vaikas, paklaustas, kada skaičius dalijasi iš 3, atsako be klaidos. Tas pats vaikas, gavęs trupmeną 84/126, ima dalyti iš dviejų, paskui vėl iš dviejų, paskui bando iš trijų ir kažkurioje vietoje sustoja.
Kitas mokinys tą pačią trupmeną sutvarko per vieną žingsnį, nes mato skaičius kitaip: 84 yra 2 · 2 · 3 · 7, o 126 yra 2 · 3 · 3 · 7. Bendrieji dauginamieji yra 2, 3 ir 7, jų sandauga 42 — tai ir yra didžiausiasis bendrasis daliklis. Padalijęs abu skaičius iš 42, jis iš karto gauna 2/3.
Abu mokiniai „moka dalumo požymius“. Skiriasi tai, kad antrasis skaičių mato kaip sudėtą iš dauginamųjų, o pirmasis — kaip vientisą, kurį reikia bandyti dalyti. Būtent šis matymas ir yra tikrasis penktos klasės rezultatas, o atskirai jis tikrinamas retai.
Kur spraga pasirodo pirmą kartą
Pirmą kartą ji pasimato dar penktoje ir šeštoje klasėje, tik atrodo kaip kažkas kito. Vaikas išsprendžia uždavinį teisingai, bet atsakymo nesuprastina, ir pažymys nukrenta dėl formos. Arba trupmenų sudėtis užtrunka dvigubai ilgiau, nes bendrasis vardiklis renkamas spėliojant — dažnai imama tiesiog vardiklių sandauga, o paskui reikia prastinti didelius skaičius. Namų darbai užsitęsia, nors tema atrodo išmokta.
Šiame etape tėvai paprastai girdi paaiškinimą apie neatidumą. Kartais jis teisingas. Bet jeigu tie patys sunkumai kartojasi kelias savaites ir visada ten, kur reikia skaičių išardyti, tai jau ne neatidumas, o mokymosi spraga, kurią kol kas dar labai paprasta uždaryti. Apie tai, ką šeštokams programa prideda ir kur jie stringa, rašėme apžvalgoje apie matematiką 6 klasėje.
Kur ji pasirodo antrą ir trečią kartą
Antrą kartą ta pati spraga pasirodo aštuntoje klasėje, ir šįkart apeiti ją darosi sunku. Bendrojoje programoje aštuntos klasės turinyje parašyta, kad daugianariai skaidomi dauginamaisiais — iškeliant bendrąjį dauginamąjį prieš skliaustus, taikant greitosios daugybos formules ir grupuojant. Toje pačioje klasėje mokoma(si) paprastais atvejais iš kvadratinio trinario išskirti dvinario kvadratą.
Veiksmažodis tas pats, koks buvo penktoje klasėje: skaidyti dauginamaisiais. Pasikeitė tik tai, kad vietoj skaičių dabar raidės — tai yra tas pats penktos klasės žingsnis, tik trejais metais vėliau.
Trečią kartą jis grįžta devintoje, tai yra pirmoje gimnazijos, klasėje. Ten programa apibrėžia kvadratinio trinario sąvoką, įrodo jo skaidymo dauginamaisiais formulę, o iš karto po to prideda trupmeninio racionaliojo reiškinio sąvoką ir nurodo mokytis tokius reiškinius pertvarkyti ir prastinti. Prastinimas — tas pats penktos klasės veiksmas — sugrįžta ketveriais metais vėliau ir jau su raidėmis.
Paralelė matyti iš karto, kai abu žingsniai užrašomi vienas po kito. Penktoje klasėje trupmena 84/126 suprastinama radus, kad abu skaičiai dalijasi iš 42. Devintoje klasėje trupmeninis reiškinys prastinamas radus, kad ir skaitiklis, ir vardiklis turi tą patį dauginamąjį. Veiksmas tas pats — surasti bendrąjį dauginamąjį ir juo suprastinti. Skiriasi tik tai, kad antruoju atveju to dauginamojo nesimato tol, kol reiškinys nėra išskaidytas, o išskaidyti jį lengviau tam, kuris tą patį jau darė su skaičiais.
Mokiniui, kuriam skaidymas taip ir netapo įprastu veiksmu, aštunta klasė atrodo kaip staigus pasunkėjimas be jokios priežasties. Iš tikrųjų tai ne naujas dalykas, o senas, kurio jis niekada neturėjo. Ką dar prideda ta klasė ir kodėl ji tokia lemtinga, aptarėme tekste apie matematiką 8 klasėje, o kaip iš to išauga kvadratinės lygtys — atskirame straipsnyje.
Ką apie tai rodo ilgalaikiai tyrimai
Mintis, kad būtent trupmenos ir dalyba geriausiai numato vėlesnę sėkmę, nėra vien mokytojų patirtis. 2012 metais žurnale Psychological Science paskelbtame Roberto Sieglerio ir bendraautorių tyrime buvo nagrinėti du ilgalaikiai duomenų rinkiniai: britų kohortos tyrimas, kuriame dalyvavo 3 677 vaikai, tirti dešimties ir šešiolikos metų amžiaus, ir amerikiečių imtis iš 599 vaikų, tirtų dešimties–dvylikos ir penkiolikos–septyniolikos metų amžiaus.
Rezultatas abiejose šalyse sutapo: pradinės mokyklos amžiaus vaikų trupmenų ir dalybos mokėjimas prognozavo jų algebros žinias ir bendrus matematikos pasiekimus po penkerių–šešerių metų — net atmetus kitas matematikos žinias, bendruosius gebėjimus, darbinę atmintį bei šeimos pajamas ir išsilavinimą. Trupmenos ir dalyba buvo stipriausi iš penkių tirtų matematikos rodiklių: jų ryšys su vėlesniais rezultatais buvo maždaug dvigubai stipresnis nei sudėties, atimties ar daugybos, kurių įtaka po patikslinimų liko nedidelė.
Du patikslinimai, be kurių šis skaičius būtų per stiprus. Tai prognozė, o ne įrodyta priežastis: tyrimas rodo ryšį, o ne tai, kad viena tema sukelia kitos sėkmę. Ir duomenys britų bei amerikiečių, ne lietuvių — mūsų programos struktūra kitokia. Vis dėlto kryptis sutampa su tuo, ką rodo pati mūsų bendroji programa: trupmenų ir dalumo blokas yra viena tų vietų, prie kurių vėliau grįžtama ne kartą.
Kaip per dešimt minučių patikrinti, ar spraga yra
Šį patikrinimą galima atlikti prie virtuvės stalo, ir jam nereikia nei vadovėlio, nei pasiruošimo. Duokite vaikui tris užduotis ir stebėkite ne atsakymą, o kelią.
Pirmoji: išskaidyti skaičių 84 pirminiais dauginamaisiais. Teisingas atsakymas yra 2 · 2 · 3 · 7. Svarbu, ar vaikas pradeda iš karto, ar ilgai galvoja, nuo ko pradėti. Antroji: suprastinti trupmeną 84/126. Atsakymas 2/3. Svarbu, ar jis dalija iš 42 vienu žingsniu, ar kapoja po truputį. Trečioji: rasti mažiausiąjį bendrąjį kartotinį skaičiams 8 ir 12. Atsakymas 24. Svarbu, ar jis sudaugina dauginamuosius, ar rašo kartotinių eilutes ir ieško sutampančio.
Verta atskirti du skirtingus rezultatus. Jeigu atsakymai teisingi, tik kelias ilgas, trūksta vien įpročio, ir tai sutvarkoma namuose per kelias savaites. Jeigu vaikas neatpažįsta, ką reiškia išskaidyti skaičių pirminiais dauginamaisiais, arba nesuvokia, kuo daliklis skiriasi nuo kartotinio, spraga yra sąvokų lygmenyje. Tada pratimai padeda mažiau, nes kartojama tai, kas dar nesuprasta, ir kelios pamokos su matematikos korepetitoriumi duoda daugiau nei mėnuo savarankiško darbo.
Ilgas kelias su teisingu atsakymu nėra klaida ir pažymio nesugadina. Bet jis rodo, kad įrankis dar netapo įrankiu ir kad aštuntoje klasėje su raidėmis tas pats kelias nebeveiks. Jeigu norite platesnio vaizdo, ne tik šios vienos temos, pravers spragų nustatymo tvarka.
Ko daryti neverta
Neverta kalti požymių sąrašo. Jų nedaug, jie trumpi, ir vaikas juos dažniausiai jau moka — tik nemoka jais naudotis. Papildomas kartojimas atmintinai sustiprina būtent tą pusę, kuri ir taip stipri, ir nepaliečia tos, kuri silpna.
Taip pat neverta iš karto griebtis skaičiuotuvo. Skaičiuotuvas pasako, ar skaičius dalijasi be liekanos, bet nepasako, iš ko jis sudėtas, o būtent to ir reikia. Ir neverta laukti pažymio: šios temos pažymys penktoje klasėje dažnai būna geras, nes tikrinamas taisyklių žinojimas. Ženklas, į kurį verta žiūrėti, yra ne pažymys, o tai, kiek laiko užtrunka trupmenų prastinimas.
Kas padeda namuose
Padeda trumpi ir dažni pratimai vietoj ilgo kartojimo prieš kontrolinį. Penkios minutės per dieną, per kurias vaikas išskaido kelis skaičius į pirminius dauginamuosius, per porą savaičių duoda daugiau nei viena ilga pamoka. Skaičius galima imti iš aplinkos: namo numerį, kvito sumą, puslapio numerį knygoje.
Padeda ir tai, kad vaikas tvirtai moka daugybos lentelę — be jos skaidymas darosi labai lėtas, nes kiekvienas žingsnis virsta atskiru skaičiavimu. Ta pati priklausomybė galioja ir dalybai kampu, kuri be dauginamųjų matymo tampa mechaniška procedūra. Jei norisi susistemintų teminių užduočių, tinka 6 klasės teminių uždavinių rinkinys, o platesniam vaizdui — progimnazijos 5–8 klasių kartojimo uždaviniai, kuriuose ta pati linija matoma per visus ketverius metus. Septintokams, kuriems reikia daugiau mąstymo, tinka 7 klasės stipresnio lygio užduotys, o taisyklėms pasitikrinti — formulių ir taisyklių rinkinys.
Kada verta kreiptis į korepetitorių
Ši tema yra viena tų, kurioms nereikia ilgo kurso. Jeigu vaikas taisykles žino, o kelias vis tiek ilgas, dažniausiai užtenka kelių pamokų, kuriose skaidymas paverčiamas įpročiu ir iš karto pritaikomas trupmenoms. Tai daug siauresnis darbas nei „pasivyti matematiką“, ir jį verta atlikti tada, kai jis dar toks siauras.
Vėliau ta pati spraga kainuoja brangiau. Aštuntoje klasėje ji jau būna susipynusi su raidiniais reiškiniais, o dešimtoje — su tuo, kas tikrinama matematikos pasiekimų patikrinime. Todėl penkta ir šešta klasė čia yra pigiausias momentas. Matematikos korepetitorių galima rinktis pagal klasę ir temą, o pirmoje pamokoje verta paprašyti būtent šio patikrinimo — skaidymo, prastinimo ir bendrojo vardiklio.
Jei nesate tikri, ar problema tikrai čia, pradėti galima ir nuo platesnio pokalbio: korepetitorių paieškoje matyti, su kuriomis klasėmis ir temomis kiekvienas mokytojas dirba. Naudinga ir penktos klasės apžvalga, kurioje ši tema stovi bendrame metų kontekste.
Trumpai svarbiausia
Dalumo požymiai nėra atskira tema, kurią išmokus galima pamiršti. Bendrojoje programoje jie yra įžanga į trupmenas, o pats veiksmas — skaidymas dauginamaisiais — aštuntoje klasėje sugrįžta su raidėmis ir lieka iki pat vidurinės mokyklos reiškinių prastinimo.
Todėl vertėtų žiūrėti ne į pažymį, kurį vaikas gauna penktoje klasėje, o į tai, kaip greitai jis mato, iš ko sudėtas skaičius. Jeigu 84 jam iš karto yra 2 · 2 · 3 · 7, viskas gerai. Jeigu 84 tebėra tik aštuoniasdešimt keturi, tai ne tragedija, bet tai darbas, kurį verta atlikti dabar, o ne po trejų metų.
