Funkcijos gimnazijoje turi keistą vietą. Daugeliui mokinių būtent ties jomis matematika nustoja būti tuo, kuo buvo iki tol: vietoj įprasto „suskaičiuok ir gauk atsakymą“ staiga prašoma kažko kito, ką sunku net įvardyti. Ir dažnai tai nutinka net tiems, kuriems algebra sekėsi puikiai — veiksmus jie atlieka teisingai, bet klausimas „kokia yra ši funkcija“ juos sustabdo. Priežastis beveik niekada nėra ta, kad funkcijos per sunkios. Priežastis ta, kad funkcija yra pirmas dalykas mokykloje, kurio atsakymas yra ne skaičius, o ryšys, ir šio perėjimo niekas garsiai nepaskelbia. Šis tekstas jį paskelbia: pirma paaiškina, kas iš tikrųjų yra funkcija, ir tik paskui, kai vaizdas susidėlioja, prideda tiesines, kvadratines ir tai, kodėl visa tai grįžta per egzaminą.
Kas iš tikrųjų yra funkcija
Funkciją paprasčiausia įsivaizduoti kaip mašiną: kai į ją kas nors įdedama, ji grąžina vieną dalyką. Įdėjus vieną skaičių, gaunamas kitas; įdėjus trečią — ketvirtas. Svarbiausia mašinos savybė ta, kad ji patikima: tas pats dalykas, įdėtas dukart, visada grąžina tą patį. Būtent tai ir yra visa funkcijos apibrėžimo esmė — kiekvienai įdėtai reikšmei priskiriama viena ir tik viena grąžinama reikšmė. Jei ta pati reikšmė kartais duotų vieną atsakymą, o kartais kitą, tai jau būtų ne funkcija, o sugedusi mašina.
Matematikos kalba tą patį pasako kiek kitaip: funkcija yra taisyklė, priskirianti vienam dydžiui kitą taip, kad kiekvieną pirmojo reikšmę atitiktų vienintelė antrojo reikšmė. Dydis, kurį įdedame, vadinamas nepriklausomu kintamuoju arba argumentu, o tas, kurį gauname, — funkcijos reikšme. Žymėjimas f(x) tereiškia „mašinos f atsakymas, kai į ją įdėtas x“. Jokios paslapties čia nėra: raidė f yra mašinos vardas, o skliaustuose surašyta tai, kas į ją įdėta.
Su mašinos vaizdu iškart paaiškėja ir dvi sąvokos, kurios vadovėlyje atrodo sausos. Ne bet ką galima į mašiną įdėti — reikšmių, su kuriomis ji apskritai veikia, aibė vadinama apibrėžimo sritimi. O visų atsakymų, kuriuos ji gali grąžinti, aibė vadinama reikšmių sritimi. Tai tiesiog „ką galima įdėti“ ir „kas gali išeiti“, tik pasakyta tiksliau. Kai funkcija matoma kaip mašina, šie du žodžiai nustoja būti terminais, kuriuos reikia iškalti, ir tampa akivaizdžiais klausimais apie tą pačią mašiną.
Kodėl funkcija — ne skaičius, o ryšys
Iki funkcijų kiekvienas matematikos uždavinys turėjo tą pačią sandarą: duota keletas skaičių, atliekami veiksmai, gaunamas vienas teisingas atsakymas. Atsakymas visada buvo skaičius, ir visada buvo aišku, kada uždavinys baigtas. Funkcija šią sandarą tyliai sulaužo. Ji nėra vienas atsakymas — ji yra taisyklė, iškart apimanti be galo daug atvejų. Klausimas „kokia yra ši funkcija“ neturi atsakymo skaičiumi, nes atsakymas yra ryšys: kaip vienas dydis kinta, kai keičiasi kitas.
Būtent čia ir slypi tikroji tema, dėl kurios funkcijos daug kam pasirodo sunkios, net kai patys veiksmai lengvi. Mokinys, įpratęs, kad matematika reiškia „suskaičiuok skaičių“, su funkcija elgiasi taip pat: įdeda vieną x, gauna vieną y ir mano, kad tai ir yra atsakymas. Techniškai jis teisus — reikšmę apskaičiavo teisingai. Bet jis pamatė tik vieną mašinos atsakymą iš daugybės, o ne pačią mašiną. Perėjimas nuo „apskaičiuoju vieną reikšmę“ prie „matau visą ryšį“ ir yra tas nematomas laiptelis, kurio niekas garsiai neparodo. Kas jo neužlipa, ilgai gali gauti neblogus pažymius — kol užduotys prašo tik įstatyti skaičių — ir staiga pasimesti, kai paklausiama apie pačią funkciją.
Tas pats reiškinys pažįstamas ir iš kitos pusės. Yra mokinių, kuriems puikiai sekasi algebra, bet geometrija atrodo neįkandama — nes geometrija taip pat prašo ne skaičiavimo, o matymo. Funkcijos yra ta pati riba, tik pačios algebros viduje: pirmoji vieta, kur skaičiuoti nebeužtenka ir reikia pradėti matyti.
Grafikas — funkcijos portretas
Jei funkcija yra mašina, tai grafikas yra jos portretas. Užuot bandžius mašiną po vieną reikšmę ir stengiantis įsiminti, ką ji grąžino, grafike iškart matomas visas jos elgesys. Horizontali ašis rodo, kas įdedama, vertikali — kas išeina, o kiekvienas kreivės taškas yra viena įėjimo ir išėjimo pora. Visa kreivė kartu ir yra ta pati funkcija, tik parodyta ne taisykle, o vaizdu.
Kai grafikas suprantamas kaip portretas, jis nustoja būti bausme ir tampa greičiausiu būdu perskaityti funkciją. Kur kreivė kyla, ten funkcijos reikšmės didėja; kur leidžiasi — mažėja; kur trumpam tampa horizontali, ten pasiekiama aukščiausia arba žemiausia vieta. Šito nereikia skaičiuoti — tai tiesiog matoma. Būtent todėl mokytojai tiek dėmesio skiria grafikams: išmokęs juos skaityti, mokinys apie funkciją sužino iškart tai, ką kitaip tektų vargingai išvedžioti. O nemokantis skaityti grafiko lieka su sauja pavienių skaičių ir be jokio bendro vaizdo.
Tiesinė funkcija — pati paprasčiausia mašina
Paprasčiausia mašina, su kuria mokykloje susiduriama rimtai, yra tiesinė funkcija. Ją užrašo formulė y = kx + b, o jos grafikas yra tiesė. Du skaičiai formulėje turi labai konkrečią prasmę. Skaičius k rodo, kaip stačiai tiesė kyla arba leidžiasi: kuo jis didesnis, tuo tiesė statesnė, o jei neigiamas — tiesė leidžiasi. Skaičius b rodo, nuo kur viskas prasideda — tašką, kuriame tiesė kerta vertikaliąją ašį.
Lengviausia tai pajusti per kasdienį pavyzdį. Tarkime, taksi kelionė kainuoja fiksuotą pradinį mokestį ir dar tam tikrą sumą už kiekvieną kilometrą. Pradinis mokestis yra b — tai, kas sumokama dar nepravažiavus nė metro. Kaina už kilometrą yra k — tai, kaip greitai auga bendra suma. Visa kelionės kaina pagal nuvažiuotą atstumą ir yra tiesinė funkcija, o jos grafikas — tiesė, kylanti tuo stačiau, kuo brangesnis kilometras. Kai tiesinė funkcija suvokiama šitaip, formulė y = kx + b nustoja būti raidėmis, kurias reikia iškalti, ir tampa tiesiog dviejų pažįstamų dalykų — pradžios ir augimo greičio — užrašu.
Kvadratinė ir toliau — kai grafikas nustoja būti tiese
Po tiesinės funkcijos ateina kvadratinė — y = ax² + bx + c, kurios grafikas jau ne tiesė, o parabolė, primenanti dubenį arba apverstą dubenį. Ir čia įvyksta svarbus dalykas: funkcijų pasirodo ne viena, o visa šeima, ir kiekviena turi savitą, atpažįstamą formą. Tiesinės grafikas visada tiesė, kvadratinės — visada parabolė, ir taip toliau. Įgudimas atpažinti, kokios formos grafiką duoda formulė, ir yra tai, ko gimnazijoje iš tikrųjų mokomasi.
Būtent nuo kvadratinės funkcijos senasis įprotis — „įstatau kelis skaičius ir gaunu kelis taškus“ — pirmą kartą nustoja pakakti. Įstačius kelias reikšmes, taškai gaunami, bet, nesuprantant, kad tai parabolė, lieka neaišku, kur jos viršūnė, į kurią pusę ji atsiveria ir ko tikėtis tarp taškų. Mašinos portreto pamatyti nebepavyksta tol, kol nepradedama mąstyti formomis, o ne pavieniais skaičiais. Kaip tik todėl mokiniui, kuris funkcijas suprato kaip skaičiavimą, o ne kaip ryšį, kvadratinė dažnai būna pirmoji tema, ties kuria jis atvirai užstringa. Tai artimai susiję su tuo, kodėl kartais formulės žinomos, bet uždavinio įveikti nepavyksta: trūksta ne veiksmų, o vaizdo, į kurį tuos veiksmus dėti.
Kodėl mokykloje tai atrodo sunkiau, nei yra
Jei pati mintis tokia paprasta, kodėl tiek mokinių ties funkcijomis pasimeta? Priežastis panaši kaip ir su daugeliu sunkių temų — pateikimo tvarka. Pamoka ar vadovėlis dažnai prasideda nuo sauso apibrėžimo, žymėjimo f(x) ir pratimų, o mintis, kad tai tiesiog mašina ir jos portretas, lieka kažkur gale arba visai neišsakoma. Mokinys gauna simbolius pirma prasmės ir ima juos kalti, o ne suprasti; pirmas neįprastesnis uždavinys jį tada ir sustabdo.
Prisideda ir tai, kad funkcijos mokykloje pasirodo tarsi dukart. Pati sąvoka įvedama dar progimnazijoje, maždaug aštuntoje klasėje, kaip nedidelė, beveik šalutinė tema, ir neretai praeina vos pastebėta. Paskui, gimnazijoje, ji staiga tampa viena svarbiausių — tiesinės, kvadratinės ir kitos funkcijos guli po beveik viskuo, kas dėstoma toliau. Mokinys, kuriam pirmasis susitikimas praslydo pro šalį, antrojo sulaukia jau kaip pamato, kurio niekada gerai nepadėjo. Tada ir atrodo, kad funkcijos „staiga“ pasunkėjo, nors iš tikrųjų tiesiog pirmą kartą pareikalauta to, kas buvo praleista. Platesnį šio lūžio vaizdą aptarėme tekste apie tai, kodėl gimnazijoje matematika staiga tampa sunki.
Kai galvoje jau yra vaizdas — mašina ir jos portretas — apibrėžimai ir žymėjimai nustoja bauginti, nes žinoma, ką jie reiškia. Neretai kaip tik tokį vaizdo grąžinimą per vieną ar dvi pamokas ir padaro geras matematikos korepetitorius: ne perdėsto visą temą iš naujo, o grąžina tą prasmę, be kurios taisyklės neturi į ką atsiremti, ir tada taikosi būtent į tą vietą, kur mokinys klumpa. Tas pats skirtumas tarp mechaniško kalimo ir tikro supratimo yra riba, kuri skiria suprastą ir tik iškaltą temą.
Kur funkcijos sugrįžta: egzaminas ir išvestinės
Funkcijos nėra viena iš tų temų, kurią išlaikius galima pamiršti — jos yra kalba, kuria surašyta beveik visa likusi mokyklinė matematika. Valstybiniame brandos egzamine didelė dalis brangesnių uždavinių iš esmės yra funkcijų tyrimas: nustatyti apibrėžimo ir reikšmių sritis, pasakyti, kur funkcija teigiama ar neigiama, kur didėja ar mažėja, perskaityti grafiką, rasti aukščiausią ar žemiausią tašką. Visa tai ne atskiri triukai, o tas pats vienas gebėjimas matyti funkciją kaip visumą, o ne kaip pavienį skaičiavimą.
Ryškiausiai tai pasimato prie išvestinių: išvestinė yra veiksmas, atliekamas su funkcija, ir ji parodo, kaip greitai funkcija kinta. Mokiniui, kuris funkcijos taip ir nepradėjo matyti kaip ryšio, išvestinės atrodo kaip antra nesuprantamų simbolių kalba, uždėta ant pirmosios. O tam, kuris funkciją mato, išvestinės tampa natūraliu tęsiniu — tiesiog būdu tiksliai pasakyti tai, ką grafikas ir taip rodo. Todėl laiku suprastos funkcijos vėliau atsiperka dvigubai. Kokios jų apimties prireiks, priklauso ir nuo pasirinkto matematikos A ar B lygio, o bendresnį pasiruošimo vaizdą aptarėme tekste apie matematikos VBE.
Trumpai visą temą galima laikyti suvaldyta, kai mintyse tvirtai laikomi keli dalykai:
- funkcija yra mašina: kiekvienai argumento reikšmei ji grąžina vieną ir tik vieną funkcijos reikšmę;
- funkcijos atsakymas yra ne skaičius, o ryšys tarp dviejų kintančių dydžių;
- grafikas yra tos funkcijos portretas — kur kreivė kyla, reikšmės didėja, kur leidžiasi, mažėja;
- kiekviena funkcijų šeima turi savo formą: tiesinės — tiesę, kvadratinės — parabolę;
- beveik visa vėlesnė matematika, įskaitant išvestines, remiasi šiuo vienu vaizdu.
Kai šie penki dalykai laikomi kartu, dauguma egzamino uždavinių su funkcijomis nustoja atrodyti kaip atskiros procedūros ir tampa to paties dalyko variacijomis.
Nuo ko pradėti, jei funkcijos atrodo neįkandamos
Jei funkcijos kol kas atrodo kaip beprasmiai simboliai, tvarka, kuria verta prie jų grįžti, yra tokia pati kaip šio teksto. Pirmiausia atkuriamas vaizdas — mašina ir jos portretas — kol jis tampa savas ir nebereikalauja pastangų. Tada imamasi paprasčiausios, tiesinės funkcijos, ir su ja treniruojamasi, kol formulė y = kx + b nustoja būti raidėmis. Tik paskui pereinama prie kvadratinės ir kitų šeimų, o dar vėliau — prie egzamino uždavinių, kurie yra ne kas kita kaip to paties gebėjimo taikymas. Šokti iškart prie funkcijų tyrimo, praleidus pirmuosius žingsnius, ir yra tas kelias, kuris veda į „man tiesiog nesiseka matematika“.
Jei vaizdas niekaip nesusidėlioja iš vadovėlio, tai nėra ženklas, kad tema neįkandama — dažniausiai tiesiog trūksta žmogaus, kuris paaiškintų ją kita tvarka. Kaip tik čia labiausiai praverčia matematikos korepetitorius: gera pamoka prasideda ne nuo dešimties uždavinių, o nuo to paties vaizdo grąžinimo, o paskui taikosi būtent į tą reikšmės ar grafiko vietą, ties kuria mokinys klumpa. Todėl dažnai pakanka kelių tikslinių pamokų, o ne ilgo kurso. Platesnį pasirinkimą, jei pagalbos reikia ir kituose dalykuose, galima rasti tarp visų korepetitorių. O jei nuo funkcijų iki egzamino likę nedaug ir laikas veja, atskirai verta perskaityti, kaip pasivyti matematiką vienuoliktoje–dvyliktoje klasėje; o jei matematika kelia ne tik nesupratimą, bet ir nerimą — tekstą apie tai, kaip nugalėti matematikos baimę. Funkcijos nėra riba tarp gabių ir negabių mokinių; jos tik pirmą kartą pareikalauja, kad matematika būtų matoma, o ne vien skaičiuojama.
