Atnaujintoje matematikos programoje yra keturios turinio sritys, ir trijų iš jų tėvai bijo pagrįstai: skaičiavimai, algebra ir geometrija visada buvo tos vietos, dėl kurių ieškoma pagalbos. Ketvirtoji — duomenys ir tikimybės — neatrodo grėsminga. Diagramos, vidurkiai, monetos metimas, procentai: viskas skamba kaip pati paprasčiausia mokyklinės matematikos dalis, kurią, atrodo, moka bet kuris žmogus, kada nors skaitęs naujienas. Būtent todėl verta įdėmiai pažiūrėti į 2025 metų brandos egzamino analizę. Ji rodo, kad šioje srityje mokiniai netenka taškų kaip niekur kitur, ir netenka jų labai konkrečioje vietoje — ne skaičiuodami, o aiškindami.
Ką parodė 2025 metų egzamino analizė
Nacionalinė švietimo agentūra kasmet paskelbia egzaminų užduočių analizes, kuriose kiekvienas uždavinys priskiriamas programos sričiai ir parodoma, kaip pasiskirstė už jį surinkti taškai. Tai neįprastai atviras dokumentas: iš jo matyti ne tik vidurkiai, bet ir kiek procentų kandidatų už konkretų klausimą gavo nulį.
Pradėkime nuo bendrojo kurso, kurį renkasi didžioji dalis mokinių, nesiruošiančių studijuoti tiksliųjų mokslų. 2025 metų bendrojo kurso egzamino antrąją dalį laikė 5 954 kandidatai, didžiausias galimas taškų skaičius buvo 60, o vidurkis siekė 13,4 taško. Duomenų ir tikimybių srities uždaviniai šiame darbe atrodė taip: už pirmąjį, vieno taško klausimą, priskirtą slenkstiniam pasiekimų lygiui, nulį gavo 61,5 procento laikiusiųjų. Už antrąjį, dviejų taškų klausimą, nulį gavo 91,4 procento. Už trečiąjį, keturių taškų klausimą, nulį gavo 99,6 procento kandidatų — visus keturis taškus surinko vienas žmogus iš tūkstančio. Už ketvirtąjį, dviejų taškų klausimą, nulį gavo 93,5 procento.
Šiuos skaičius būtina skaityti sąžiningai: visas bendrojo kurso darbas buvo sunkus, vidutiniškai už uždavinį surinkta 28,8 procento galimų taškų. Vis dėlto skirtumas lieka milžiniškas. Sudėjus visus keturis šios srities klausimus, kandidatai už juos surinko apie 6,6 procento galimų taškų — beveik penkis kartus mažiau nei už darbą apskritai. Tai nėra „šiek tiek silpniau“. Tai sritis, kurios uždaviniai didžiajai daliai egzaminą laikančiųjų lieka neįveikti.
Skirtumas, kurį verta pamatyti
Įdomiausia dalis prasideda pažiūrėjus į išplėstinio kurso egzamino analizę. Jo antrąją dalį laikė 12 580 kandidatų, vidurkis siekė 24,8 taško iš 60, o vidutiniškai už uždavinį surinkta 46,8 procento galimų taškų. Tai gerokai stipresnė mokinių grupė, ir duomenų bei tikimybių sritis jai apskritai nėra katastrofa: sudėjus visus šios srities uždavinius, už juos surinkta apie 42 procentus galimų taškų, tai yra tik truputį mažiau nei už visą darbą.
Bet srities viduje slypi labai aiškus lūžis. Tame pačiame darbe buvo du vieno taško klausimai iš tos pačios srities, abu priskirti tam pačiam — žemiausiam, slenkstiniam — pasiekimų lygiui. Į vieną iš jų teisingai atsakė 91,4 procento kandidatų. Į kitą — 40,2 procento. Skiriasi jie ne tema ir ne numatytu sudėtingumu, o tuo, kokio veiksmo prašoma: pirmasis priskirtas žinių, supratimo ir argumentavimo sričiai, antrasis — matematiniam komunikavimui. Dar toliau tendencija tik ryškėja. Trijų taškų klausime, priskirtame pagrindiniam lygiui, nulį gavo 66,7 procento kandidatų, o dviejų taškų klausime — 68,2 procento.
Iš to seka išvada, kurios paprastai neišgirsime nei mokykloje, nei pokalbyje apie pažymius. Problema nėra ta, kad mokiniai nemokėtų statistikos. Jie visiškai padoriai nuskaito skaičių iš diagramos ir apskaičiuoja tai, ką liepta apskaičiuoti. Griūva kitas žingsnis: pasakyti, ką tas skaičius reiškia, ir tai pagrįsti. Būtent už tą žingsnį egzamine ir duodama daugiausia taškų.
Programa šios srities neapleidžia — ji išbarsto ją plonais sluoksniais
Pirmas dalykas, kurį verta pasakyti garsiai: kalta ne apleista programa. Matematikos bendrojoje programoje duomenų ir tikimybių sritis yra viena labiausiai atnaujintų. Joje tiesiai parašyta, kad „ankstesnėje programoje buvusį statistikos kursą pagal naują programą mokiniai įsisavins iki 7 klasės“, o į septintos ir aštuntos klasės kursą papildomai įtrauktos „kelios visai naujos statistikos temos“ — jos siejamos su „būtinais XXI a. piliečiui statistinio raštingumo gebėjimais“. Šiandienos aštuntokas apie duomenis mokosi daugiau nei bet kuri ankstesnė karta.
Tos naujos temos tikrai nėra menkos. Septintoje klasėje mokiniai susipažįsta su imčių sudarymo būdais, aiškinasi, kaip organizuojama atsitiktinė atranka, ir mokosi interpretuoti duomenų rinkinių kintamumą; programoje pabrėžiama, kad šiomis temomis iš esmės siekiama įtraukti mokinius į diskusijas apie statistinių duomenų patikimumą. Aštuntoje klasėje ateina duomenų grupavimas į vienodo ilgio intervalus, kvartiliai, stačiakampė diagrama (mokiniams geriau žinoma kaip dėžutė su ūsais), išskirtys ir sukauptasis dažnis. Tais pačiais metais mokomasi skirti elementarius ir sudėtinius įvykius bei pertvarkyti juos į junginius su „arba“ ir „ir“.
Tai tęsiasi ir gimnazijos pradžioje. Programoje nurodyta, kad „didžiąja dalimi 9–10 (I–II gimnazijos) klasės statistikos kursas naujas“: devintoje klasėje mokiniai supažindinami su tiesinės koreliacijos modeliu, dešimtoje nagrinėja duomenų išsibarstymą apie imties vidurkį ir susipažįsta su normaliuoju bei simetriškais ir asimetriškais skirstiniais, o iš tikimybių pusės ateina kombinatorikos sudėties ir daugybos taisyklės. Popieriuje tai skamba kaip solidus, nuoseklus kursas.
Bėda ta, kad kiekvienas sluoksnis plonas ir stovi atskirai. Imtys išeinamos septintoje klasėje, kvartiliai — aštuntoje, koreliacija — devintoje, skirstiniai — dešimtoje, ir tarp jų nėra nieko, kas verstų prie ankstesnės temos grįžti. Aštuntokas, kuris nesuprato dėžutės su ūsais, apie tai sužinos ne kitą mėnesį, o po ketverių metų egzamine, nes kasdieniame darbe ši tema paprasčiausiai nebepasitaiko. Būtent taip atrodo spraga, kurios nerodo joks pažymys. Apie tai, kaip tokios nematomos spragos apskritai atpažįstamos, rašėme tekste apie mokymosi spragas ir gide, kaip nustatyti vaiko matematikos spragas namuose.
O tikimybės sisteminį kursą pasiekia tik gimnazijoje
Su tikimybėmis programa elgiasi kitaip nei su statistika, ir dėl to susidaro antra keista situacija. Tikimybių įvadas dabar pradedamas labai anksti — įvadinis kursas įtrauktas jau į trečios ir ketvirtos klasės programą, šeštoje klasėje apibrėžiama tikimybės sąvoka, o į septintą klasę iš vyresnių klasių perkeltos temos apie priklausomus, nepriklausomus ir nesutaikomus įvykius. Tačiau programa čia pat nurodo, kad septintoje klasėje ši tema turi būti atskleidžiama „ne per formalius apibrėžimus ir jų taikymą, o kaip konkrečių situacijų tyrinėjimo ir mokymosi jas apibūdinti užduotys“.
Kitaip tariant, iki gimnazijos vaikas su tikimybėmis susitinka ne kartą, bet susitinka neformaliai: pasvarsto, kas tikėtina, pažaidžia su baigtimis, aptaria pavyzdžius. Sisteminis kursas ateina daug vėliau — programoje aiškiai pasakyta, kad „sisteminis kursas apie įvykius ir jų tikimybes bus nagrinėjamas III–IV gimnazijos klasėse“. Vadinasi, formaliai, su apibrėžimais ir taisyklėmis, tikimybių mokomasi tais pačiais dvejais metais, kuriais ruošiamasi egzaminui ir kuriais ant mokinio krenta visas gimnazijos kursas.
Susidėjus abu dalykus, vaizdas darosi suprantamas. Statistikos pusę mokinys mokosi plonais, vienas nuo kito nutolusiais sluoksniais ir tarp jų prie ankstesnės temos negrįžta. Tikimybių pusę jis sistemingai mato pirmą kartą tada, kai laiko lieka mažiausiai. Tai nėra nei mokytojo, nei mokinio klaida — tai programos ritmas, apie kurį tiesiog niekas garsiai nekalba. Panašią, tik geometrijoje susidarančią pertrauką aprašėme tekste apie tai, kodėl vaikui sunku geometrija.
Sritis, kurioje atsakymas dažniausiai yra sakinys
Yra ir gilesnė priežastis, nesusijusi su tvarkaraščiu. Duomenų ir tikimybių sritis bene dažniausiai iš visų keturių prašo atsakymo, kuris nėra skaičius. Programoje jos tikslai suformuluoti būtent taip: rinkti, tvarkyti ir interpretuoti duomenis, apskaičiuoti imties skaitines charakteristikas ir nustatyti, kokią informaciją jos teikia, parengti praktinį statistinio tyrimo projektą ir — svarbiausia — „analizuoti ir kritiškai vertinti įvairiais būdais pateiktą statistinę informaciją“.
Mokiniui, kuris dešimt metų buvo mokomas, kad matematikos uždavinys baigiasi tada, kai gaunamas atsakymas, toks reikalavimas yra nepatogus. Jis įpratęs, kad teisingas atsakymas yra vienas ir kad jį galima patikrinti. Duomenų uždavinyje teisingų sakinių gali būti keli, o vertinamas ne pats sakinys, o tai, ar jis pagrįstas skaičiais iš lentelės. Nenuostabu, kad daug kas, nuskaitęs duomenis, paprasčiausiai sustoja: skaičius yra, o ką su juo daryti toliau, neaišku.
Tą patį rodo ir egzamino klasifikacija. Būtent tie klausimai, kuriuos NŠA priskyrė matematiniam komunikavimui ir problemų sprendimui, surinko mažiausiai taškų, o klausimas, priskirtas žinioms ir supratimui, buvo įveiktas beveik visų. Vertinama ne aritmetika. Vertinamas mokėjimas paaiškinti. Panašus mechanizmas veikia ir kitose temose — apie tai, kodėl formulių žinojimas neišgelbsti, rašėme tekste, kaip išmokti spręsti matematikos uždavinius.
Kur mokiniai suklysta kasdien
Verta žinoti kelias vietas, kurios šioje srityje klaidina beveik visus, nes jos kartojasi ir egzamine, ir gyvenime. Pirmoji — vidurkis, kai duomenyse yra išskirčių. Vaikas, kuris moka suskaičiuoti vidutinę algą arba vidutinį pažymį, dažnai net nesusimąsto, kad vienas labai didelis skaičius vidurkį patraukia į šalį ir kad tokiais atvejais teisingiau žiūrėti į medianą. Išskirtys ir stačiakampė diagrama, kuri kaip tik ir parodo išsibarstymą, programoje numatytos aštuntoje klasėje.
Antroji — imtis. Septintoje klasėje mokomasi, kaip sudaromos imtys ir kaip organizuojama atsitiktinė atranka, bet mintis, kad išvada galioja tik tada, jei apklaustieji atstovauja visumai, dažniausiai lieka teorinė. Klasikinis klausimas, ar iš dvidešimties draugų apklausos galima spręsti apie visą mokyklą, mokiniui atrodo gudrybė, nors iš tikrųjų tai pati statistikos esmė.
Trečioji — nepriklausomi įvykiai. Įsitikinimas, kad po penkių nesėkmių „dabar tikrai turi pasisekti“, yra bene tvirčiausia intuicija, kurią matematika turi paneigti. Programoje priklausomi ir nepriklausomi įvykiai aptariami septintoje klasėje, tačiau, kaip minėta, neformaliai, todėl formalaus atsvaro ši intuicija dažnai taip ir nesulaukia. Ketvirtoji — jungtukai. Aštuntoje klasėje mokomasi atpažinti sudėtinius įvykius ir pertvarkyti juos į elementarių įvykių junginius su „arba“ ir „ir“, o dešimtoje prie to prisideda kombinatorikos sudėties ir daugybos taisyklės. Vienas neteisingai perskaitytas jungtukas pakeičia visą sprendimą.
Penktoji vieta paprasčiausia ir todėl klastingiausia — procentai nuo ko. Padidėjimas nuo dviejų iki keturių procentų yra ir dviejų procentinių punktų, ir šimto procentų pokytis, o kaina, kuri pabrango dvidešimt procentų, o paskui atpigo dvidešimt procentų, į pradinę vertę nebegrįžta. To mokykla atskirai nebeaiškina, nes formaliai tai jau seniai išmokta tema.
Ką tėvai gali padaryti namuose
Geroji žinia ta, kad ši sritis yra bene vienintelė matematikos dalis, kurioje tėvams nereikia mokėti spręsti uždavinių, kad padėtų. Užtenka keisti klausimą. Kai vaikas parodo suskaičiuotą vidurkį, verta paklausti ne „ar teisingai“, o „ką iš to galima pasakyti“ ir „ar tikrai iš tų duomenų tai išplaukia“. Šis vienas klausimas treniruoja būtent tą gebėjimą, kurio egzamine pritrūksta.
Antra, medžiagos nereikia niekur pirkti. Oficialiosios statistikos portalas moksleiviams siūlo nemokamus statistikos užduočių rinkinius, parengtus Europos statistikos konkursui: vienas skirtas 14–16 metų, kitas — 16 metų ir vyresniems moksleiviams, ir portale nurodyta, kad jas galima atlikti tiek su mokytojo pagalba, tiek be jos. Tai tikri duomenys apie Lietuvą, o ne vadovėliui sugalvoti skaičiai, todėl vaikui daug lengviau suprasti, kam viso to reikia.
Trečia, verta pratinti rašyti išvadą sakiniu. Jeigu vaikas, išsprendęs duomenų uždavinį, po atsakymo parašo vieną eilutę, kuri prasideda žodžiais „tai reiškia, kad“, ir joje pamini bent vieną skaičių iš lentelės, jis daro tiksliai tai, už ką egzamine skiriami taškai. Iš pradžių tai atrodys nereikalingas darbas, bet būtent šis įprotis skiria darbą, įvertintą nuliu, nuo darbo, įvertinto dviem ar trimis taškais.
Ketvirta, apie duomenis galima kalbėti be jokio sąsiuvinio. Naujienų antraštė su procentais, oro prognozė, kurioje rašoma septyniasdešimt procentų lietaus tikimybė, produkto etiketė, žaidimo statistika — visa tai yra tikri uždaviniai. Klausimas „o kiek žmonių jie apklausė“, užduotas per vakarienę, vaikui duoda daugiau nei dar vienas pratybų puslapis.
Kada verta kreiptis į korepetitorių
Ši tema turi vieną savybę, dėl kurios individualus darbas su ja veikia ypač gerai: čia beveik visada trūksta ne žinių, o kalbos. Mokinys dažniausiai žino, kaip apskaičiuoti tai, ko prašoma, bet niekada nebuvo verčiamas paaiškinti savo išvados garsiai ir tiksliai. Klasėje tam paprasčiausiai nėra laiko — pilna klasė ir keturiasdešimt penkios minutės nepalieka vietos ilgam pokalbiui apie tai, kodėl viena išvada pagrįsta, o kita ne. Dirbant vienam su vienu, kaip tik tai ir galima daryti kiekvieną pamoką.
Praktiškai iš korepetitoriaus verta prašyti trijų dalykų. Pirma, kad grįžtų prie septintos ir aštuntos klasės statistikos temų — imčių, kvartilių, išskirčių — net jei mokinys jau gimnazijoje: dažniausiai spraga yra ten, o ne dabartinėje temoje. Antra, kad kiekvienas duomenų uždavinys baigtųsi garsiai pasakyta išvada, o ne apibraukta reikšme. Trečia, kad tikimybių temos būtų einamos ne formulių tvarka, o klausimų tvarka: kas čia yra bandymas, kokios baigtys, kurios iš jų palankios. Kokių klausimų apskritai verta užduoti prieš pradedant, surašėme tekste, ko klausti matematikos korepetitoriaus prieš pirmą pamoką.
Laiko atžvilgiu atsakymas irgi paprastas. Duomenų ir tikimybių sritis yra viena tų, kurias galima realiai sutvarkyti per kelias savaites, nes joje mažai technikos ir daug supratimo — priešingai nei, tarkime, išvestinėse, kurioms reikia ilgo įdirbio. Todėl vienuoliktoje ar dvyliktoje klasėje tai dažnai būna greičiausiai atsiperkanti pasiruošimo dalis. Kaip ji dera su visu planu, aprašėme tekste apie pasiruošimą matematikos VBE, o besirenkantiems kursą pravers palyginimas, kuo skiriasi A ir B lygis. Tinkamos pagalbos galima ieškoti tarp matematikos korepetitorių arba visų edtalk korepetitorių sąraše.
Ką verta prisiminti
Jeigu iš viso teksto reikėtų pasiimti kelis dalykus, tai būtų šie:
- 2025 metų bendrojo kurso egzamine už keturių taškų duomenų uždavinį nulį gavo 99,6 procento kandidatų, o už visą šią sritį surinkta apie 6,6 procento galimų taškų, kai už visą darbą — 28,8 procento.
- Išplėstiniame kurse ši sritis apskritai neatrodo prastai, bet joje du to paties lygio klausimai skyrėsi dramatiškai: 91,4 prieš 40,2 procento, ir skyrėsi būtent tuo, ar reikėjo skaičiuoti, ar paaiškinti.
- Programa šios srities neapleidžia — priešingai, ji viena labiausiai atnaujintų: imtys septintoje, kvartiliai ir išskirtys aštuntoje, koreliacija devintoje, skirstiniai dešimtoje klasėje. Bet kiekvienas sluoksnis plonas ir prie ankstesnio niekas nebegrįžta.
- Sisteminis tikimybių kursas pagal programą pasiekia mokinį tik III–IV gimnazijos klasėse, t. y. tais pačiais metais kaip ir egzaminas.
- Namuose naudingiausias ne papildomas pratybų puslapis, o klausimas „ką iš to galima pasakyti“ ir įprotis išvadą užrašyti sakiniu su skaičiumi.
Svarbiausia mintis paprasta. Kai vaikas sako, kad nemoka statistikos, dažniausiai jis moka viską, ko reikia suskaičiuoti, ir nemoka vieno dalyko — pasakyti, ką skaičiai reiškia. Tai ne gabumų klausimas ir ne charakterio bruožas, o įgūdis, kurio niekas atskirai nemokė. Jo galima išmokti, ir dažnai greičiau, nei atrodo, o padarius tai laiku, egzamine grįžta tie taškai, kuriuos šiandien atiduoda beveik visi. Jeigu abejojate, ar pagalbos apskritai reikia, į tai atsako tekstas apie tai, kodėl vaikui nesiseka matematika.
