Tarp visų matematikos temų veiksmų eiliškumas atrodo pats nekalčiausias. Vaikas jį išgirsta pradinėje mokykloje, pakartoja per kelias pamokas ir toliau juo naudojasi kasdien, niekada apie jį negalvodamas. Būtent todėl jis ir yra viena iš tų vietų, kur spraga gali kelerius metus išlikti nepastebėta: sprendimai lieka teisingi tol, kol reiškiniai trumpi, o kai jie pailgėja, klaida atsiranda nuolat, tik jau visai kitoje temoje.
Šiame tekste sudėliota tai, ko apie veiksmų eiliškumą paprastai nepasakoma iki galo: kaip taisyklė iš tikrųjų suformuluota mokymo dokumentuose, kurie trys jos atvejai svarbiausi, kodėl 16 : 2 · 4 yra 32, iš kur atsiranda plačiai paplitęs įsitikinimas, kad daugyba stipresnė už dalybą, kuriose klasėse taisyklė dėliojama ir kuriame koncentre programa jos nebekartoja, ir kaip per kelias minutes prie namų stalo patikrinti, ar vaikas ją tikrai turi.
Trumpas atsakymas, jei skubate
Reiškinyje pirmiausia atliekami veiksmai skliaustuose. Tada — kėlimas laipsniu ir šaknies traukimas. Tada daugyba ir dalyba, o pabaigoje sudėtis ir atimtis. Svarbiausia dalis yra ta, kurios daugelis neišgirsta: daugyba ir dalyba tarpusavyje yra vienodo stiprumo, todėl atliekamos ne pagal tai, kuri „svarbesnė“, o iš eilės, iš kairės į dešinę. Lygiai taip pat tarpusavyje lygios yra sudėtis ir atimtis.
Dėl to 16 : 2 · 4 yra 32, o ne 2, ir dėl to 100 − 20 + 30 yra 110, o ne 50. Abiem atvejais atsakymas gaunamas skaičiuojant iš kairės į dešinę, o klaidingi atsakymai gaunami tada, kai vienam veiksmui be reikalo suteikiama pirmenybė prieš kitą.
Kaip taisyklė užrašyta pačioje programoje
Verta pradėti nuo to, kad taisyklė nėra kieno nors mokykloje susigalvotas patogumas — ji surašyta Nacionalinės švietimo agentūros leidinyje „1–4 klasių Matematikos bendroji programa, Sąvokos, žymenys, formulės“, kuriame apibrėžtos visos pradinio ugdymo matematikos sąvokos. Ten pirmiausia paaiškinama, kas apskritai yra skaitinis reiškinys: tai iš skaičių, skaičių veiksmų ir veiksmų skliaustų sudarytas prasmingas reiškinys, o jo reikšmė gaunama atlikus visus jį sudarančius veiksmus.
Skliaustai tame pačiame leidinyje apibrėžti trumpai ir be išlygų: veiksmą skliaudžiantys skliaustai nurodo, kad apskliaustą veiksmą reikia atlikti pirmiausia. Tai tiesioginis nurodymas, kuris keičia tvarką nepriklausomai nuo to, kokie veiksmai reiškinyje surašyti, ir būtent todėl skliaustai pradinukui parodomi anksčiau už viską kita.
Trys atvejai, kuriuos verta žinoti mintinai
Toliau leidinys reiškinius be skliaustų skirsto į tris atvejus, ir kiekvienas iš jų iliustruojamas pavyzdžiais. Pirmasis atvejis yra tas, kurį prisimena visi. Kai reiškinyje susitinka sudėtis arba atimtis su daugyba arba dalyba, pirmiausia atliekama daugyba arba dalyba, o tik paskui sudėtis arba atimtis. Pavyzdžiai užrašyti taip: 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14; 3 · 4 − 2 = 12 − 2 = 10; 8 − 6 : 2 = 8 − 3 = 5; 6 : 2 + 4 = 3 + 4 = 7.
Antrasis atvejis yra tas, kurio dažniausiai nepamenama. Kai reiškinyje yra sudėtis ir atimtis, arba atimtis ir sudėtis, arba dalyba ir daugyba, arba vien atimtys, arba vien dalybos, veiksmai atliekami iš kairės į dešinę. Leidinio pavyzdžiai: 2 + 3 − 4 = 5 − 4 = 1; 5 − 3 + 4 = 2 + 4 = 6; 16 : 2 · 4 = 8 · 4 = 32; 8 − 3 − 1 = 5 − 1 = 4; 16 : 4 : 2 = 4 : 2 = 2.
Trečiasis atvejis paaiškina, kodėl dėl daugumos reiškinių niekas niekada nesiginčija. Kai reiškinyje yra vien sudėtys, vien daugybos arba daugyba ir dalyba būtent tokia tvarka, veiksmus galima atlikti bet kokia tvarka, nes rezultatas nuo to nepasikeičia: 2 + 3 + 4 duoda devynetą abiem būdais, 2 · 3 · 4 duoda dvidešimt keturis abiem būdais, o 8 · 4 : 2 duoda šešiolika ir skaičiuojant iš kairės, ir pirma padalijus.
Šis trečiasis atvejis ir yra tikroji problemos priežastis. Didžiojoje dalyje mokyklinių reiškinių tvarka rezultato nekeičia, todėl vaikas, kuris ją supranta klaidingai, ilgai negauna jokio signalo, kad kažkas ne taip. Klaida pasirodo tik ten, kur tvarka iš tikrųjų ką nors keičia.
Kodėl 16 : 2 · 4 yra 32
Šis reiškinys patenka į antrąjį atvejį: jame yra dalyba ir daugyba, ir jokių skliaustų. Skaičiuojama iš kairės į dešinę, todėl pirmiausia atliekama dalyba, 16 : 2 = 8, o paskui daugyba, 8 · 4 = 32. Klaidingas atsakymas gaunamas tada, kai pirma padauginama 2 · 4 = 8, o paskui dalijama 16 : 8 = 2. Trisdešimt du ir du skiriasi šešiolika kartų, todėl tokiame trumpame pavyzdyje klaidą pastebėti nesunku. Ilgesniame uždavinyje toks pat žingsnis pasislepia sprendimo viduryje, o rezultatas tiesiog būna neteisingas be aiškios priežasties.
Tas pats pasakytina apie sudėtį ir atimtį. Reiškinyje 100 − 20 + 30 nėra jokio pagrindo pirma sudėti: skaičiuojama iš kairės, tai yra 100 − 20 = 80, tada 80 + 30 = 110. Vaikas, kuris pirma prideda 20 + 30 ir gauna 50, elgiasi taip, tarsi po minuso ženklo prasidėtų skliaustai, kurių ten niekas neparašė.
Iš kur atsiranda įsitikinimas, kad daugyba stipresnė už dalybą
Šis įsitikinimas turi labai konkretų šaltinį — angliškas mnemonines santrumpas. Angliškai kalbančiose šalyse veiksmų eiliškumo mokoma pasitelkiant santrumpas PEMDAS arba BODMAS, kurių raidės žymi veiksmų pavadinimus. Santrumpoje PEMDAS raidė M, žyminti daugybą, stovi prieš raidę D, žyminčią dalybą, ir daug kas ją perskaito kaip nurodymą dauginti pirmiau negu dalyti. Toje pačioje santrumpoje raidė A stovi prieš raidę S, todėl atsiranda ir antra tos pačios rūšies klaida — kad sudėtis atliekama anksčiau už atimtį.
Nė vienas iš šių perskaitymų nėra teisingas, tik pati santrumpa to nepasako: joje nėra raidės, kuri žymėtų taisyklę „iš kairės į dešinę“. Kad raidžių tvarka santrumpoje nieko nereiškia, geriausiai matyti iš to, jog kitoje plačiai naudojamoje santrumpoje, BODMAS, dalyba ir daugyba surašytos priešinga tvarka. Naudingiau galvoti ne apie sąrašą, o apie dvi veiksmų eiles: sudėtis ir atimtis sudaro vieną, daugyba ir dalyba — kitą, o vienos eilės viduje veiksmai lygiaverčiai ir atliekami iš kairės į dešinę. Bet vaikai ir tėvai atsakymo dažnai ieško internete angliškai, todėl svetima santrumpa į lietuvišką sąsiuvinį patenka be jokio vertimo.
Su tuo susijęs ir dar vienas dalykas, kurį verta žinoti prieš imantis socialiniuose tinkluose plintančių galvosūkių. Tokiuose uždaviniuose daugybos ženklas prieš skliaustus dažniausiai būna sąmoningai praleistas, o tada reiškinį galima perskaityti daugiau nei vienu būdu, ir ginčas kyla ne dėl to, kas moka matematiką, o dėl to, kaip suprantamas užrašymas. Mokykliniame sąsiuvinyje tokios problemos nėra: ten visi ženklai surašomi, o vietoj dviprasmiško brūkšnio naudojama trupmenos linija, todėl teisingas atsakymas visada vienas.
Skliaustai: ženklas, kuris tikrai keičia tvarką
Skliaustų prasmė paprasta, bet vaikui ji ne visada akivaizdi. Skliaustai nieko neskaičiuoja ir nieko nekeičia reiškinio viduje — jie tik pasako, kad tas gabalas turi būti sutvarkytas pirmas. Tai reiškia, kad skliaustai reikalingi tik ten, kur be jų tvarka būtų kitokia. Reiškinyje 2 + (3 · 4) skliaustai nieko nekeičia, nes daugyba ir taip būtų atlikta pirmiau, o reiškinyje (2 + 3) · 4 jie keičia viską: vietoj keturiolikos gaunama dvidešimt.
Praktiškai tai reiškia, kad skliaustus rašantis vaikas turi mokėti atsakyti į klausimą, ką jie čia pakeitė. Jeigu atsakymo nėra, skliaustai dažniausiai perrašyti iš pavyzdžio, o ne suprasti. Kai skliaustai įdėti vieni į kitus, tvarka ta pati: pradedama nuo vidinių ir judama į išorę.
Kaip taisyklė dėliojama klasė po klasės
Bendrojoje programoje matyti, kad veiksmų eiliškumas dėliojamas anksti ir palaipsniui. Pirmoje klasėje aptariama skliaustų ženklų paskirtis ir praktikuojamasi skaičiuoti reiškinius, kuriuose yra apskliaustų veiksmų; tais pačiais metais prieinama prie išvados, kad skaičius galima sudėti įvairia tvarka, nors patys sudėties dėsniai dar neįvardijami.
Antroje klasėje mokiniai sudaro dviveiksmius skaitinius reiškinius, pagrįsdami juose atliekamų veiksmų tvarką, ir susipažįsta su daugybos dėsniais, kartu su daugybos lentele. Trečioje klasėje modeliuojamos situacijos, kuriose išryškėja skliaustų naudojimo prasmė, ir tuo pat metu ateina dalyba kampu. Ketvirtoje klasėje sprendžiami kelių žingsnių uždaviniai, kuriuose reikia sudaryti skaitinius reiškinius su skliaustais.
Skirtumas tarp trečios ir ketvirtos klasės čia svarbesnis, nei atrodo. Nacionalinės švietimo agentūros pradinio ugdymo temų santraukoje pirmoje, antroje ir trečioje klasėse įvardyti dviveiksmiai skaitiniai reiškiniai, o ketvirtoje — keliaveiksmiai. Trejus metus vaikas dirba su reiškiniais, kuriuose sprendimą dėl tvarkos reikia priimti tik vieną kartą, o ketvirtoje klasėje tokių sprendimų staiga atsiranda keli viename reiškinyje. Būtent tada pirmą kartą tampa svarbu, kad tvarka būtų suprasta kaip taisyklė, o ne įsiminta kaip vieno tipo pavyzdžio atsakymas. Kas dar keičiasi tais metais, surašyta tekste apie tai, ko iš tikrųjų mokosi ketvirtokas.
Penkta ir šešta klasė: taisyklė nebekartojama, o reiškiniai pailgėja
Toliau programoje matyti dalykas, kurį verta žinoti kiekvienam tėvui. Penktos ir šeštos klasių koncentro turinyje veiksmų atlikimo tvarka atskirai nebeaptariama. Ji ten nei panaikinama, nei pakeičiama — ji tiesiog laikoma jau išmokta ir naudojama toliau: mokiniai sprendžia uždavinius, kuriuose reikia taikyti kelis veiksmus ir sudaryti skaitinį reiškinį, ir mokosi įvardyti atliekamų veiksmų komponentus.
Tuo pačiu metu keičiasi patys skaičiai. Į tuos pačius reiškinius ateina dešimtainės ir paprastosios trupmenos, sveikieji neigiamieji skaičiai ir pirmosios raidės. Reiškiniai pailgėja, o skaičiai juose tampa tokie, su kuriais rezultatą sunku patikrinti iš akies. Tai reiškia, kad senoji spraga toliau lieka nepastebėta ne todėl, kad jos nebėra, o todėl, kad nebeliko lengvo būdo ją pastebėti. Ką dar atneša perėjimas į progimnaziją, aprašyta tekste apie matematiką penktoje klasėje, o kartu su neigiamaisiais skaičiais ateinančius pokyčius aptarėme kalbėdami apie šeštą klasę.
Praktinė išvada iš to viena: penktoje ir šeštoje klasėje veiksmų eiliškumo niekas atskirai nebepatikrins, todėl jeigu spraga liko, ją pastebėti gali tik namuose arba korepetitorius. Vadovėliai ir mokytojai temą, žinoma, kartoja savo nuožiūra, bet nacionalinio reikalavimo tai daryti per šiuos dvejus metus nėra.
Septinta ir aštunta klasė: tvarka atveriama iš naujo
Septintos ir aštuntos klasių koncentre veiksmų atlikimo tvarka programoje pasirodo dar du kartus, ir abu kartus dėl konkrečios priežasties. Pirma, kai į reiškinius įeina laipsniai: programoje tiesiai parašyta, kad aptariama veiksmų atlikimo tvarka reiškinyje, kai jame yra ir laipsnių. Antra, kai baigiami apibrėžti realieji skaičiai — tada aptariama veiksmų su realiaisiais skaičiais atlikimo tvarka.
Laipsniai į eiliškumą įsiterpia aukščiau už daugybą ir dalybą, todėl reiškinyje 2 · 3² pirmiausia skaičiuojamas 3² = 9, o tik paskui 2 · 9 = 18. Čia pat atsiranda ir viena klastingiausių smulkmenų: minuso ženklas prieš skaičių yra silpnesnis už laipsnį, todėl −2² reiškia −4, o (−2)² reiškia 4. Tas pats skirtumas galioja ir mokykliniame skaičiuotuve, ir jį smulkiai aptarėme tekste apie tai, kaip naudotis moksliniu skaičiuotuvu. Kaip laipsniai ir šaknys dėliojami tarpusavyje, paaiškinta tekste apie laipsnius ir šaknis.
Penkios vietos, kur eiliškumas tyliai sugriūva
Pirmoji vieta yra minusas prieš skliaustus. Reiškinyje 20 − (3 + 4) atimamas visas septynetas, o ne vien trejetas, ir vaikas, kuris skliaustus atidaro neatsargiai, pameta ženklą prie antrojo dėmens. Antroji — trupmenos linija. Ji veikia kaip nematomi skliaustai iš karto ir skaitikliui, ir vardikliui, todėl reiškinį reikia sutvarkyti abiejose linijos pusėse ir tik tada dalyti.
Trečioji vieta yra dalybos ir daugybos pora, apie kurią jau kalbėta: būtent ji duoda 16 : 2 · 4. Ketvirtoji — procentų uždaviniai, kuriuose dažnai reikia pirma rasti dalį, o paskui ją pridėti arba atimti, tad tvarkos klaida iškart pakeičia atsakymą. Penktoji vieta yra lygtys: pertvarkant lygtį veiksmai su abiem pusėmis atliekami atvirkštine eiliškumui tvarka, ir mokinys, kuris eiliškumo nesupranta, čia neturi iš ko atkurti žingsnių — apie tai plačiau tekste, kaip spręsti lygtis.
Kodėl spraga pasirodo ne toje klasėje, kurioje atsirado
Matematika yra kaupiamasis dalykas, todėl neįtvirtintas veiksmų eiliškumas retai pasirodo iš karto. Kol reiškiniai trumpi, o skaičiai patogūs, klaidingą tvarką dažnai užmaskuoja tas trečiasis atvejis, kuriame rezultatas nuo tvarkos nepriklauso. Vėliau tas pats žingsnis tampa vienu iš daugelio ilgesniame sprendime, ir tada mokinys nuolat gauna neteisingą atsakymą temoje, kuri su eiliškumu iš pirmo žvilgsnio niekaip nesusijusi.
Būtent todėl atsakymas į klausimą „kur tiksliai sulūžo“ beveik niekada nesutampa su ta tema, kurioje pažymiai krito. Kaip atpažinti, ar problema yra einamoji tema, ar senesnis pamatas, aprašyta tekste apie tai, kodėl vaikui nesiseka matematika, o praktinė patikrinimo tvarka — tekste apie tai, kaip nustatyti vaiko matematikos spragas.
Kaip patikrinti namuose per penkias minutes
Veiksmų eiliškumas yra viena iš nedaugelio temų, kurią tėvai gali patikrinti patys, nieko nemokydami ir nieko neaiškindami. Reikia keturių reiškinių ir popieriaus lapo. Svarbu, kad vaikas skaičiuotų be skaičiuotuvo ir užrašytų tarpinius žingsnius, nes tikrinamas ne atsakymas, o kelias iki jo.
- 16 : 2 · 4 — teisingas atsakymas 32. Atsakymas 2 rodo, kad daugyba laikoma stipresne už dalybą.
- 100 − 20 + 30 — teisingas atsakymas 110. Atsakymas 50 rodo tą pačią klaidą sudėties ir atimties eilėje.
- 2 + 3 · 4 — teisingas atsakymas 14. Atsakymas 20 rodo, kad reiškinys skaičiuojamas iš kairės neatsižvelgiant į eiles.
- 2 · 3² — teisingas atsakymas 18. Atsakymas 36 rodo, kad laipsnis laikomas silpnesniu už daugybą.
Jeigu visi keturi atsakymai teisingi, tema uždaryta ir prie jos grįžti nereikia. Jeigu klysta pirmi du, spraga yra būtent ta, apie kurią šis tekstas, ir ji taisoma greitai. Jeigu klysta trečiasis, kartoti reikia nuo pradžių, nuo eilių sąvokos. Jeigu klysta tik ketvirtasis, o pirmi trys teisingi, tai jau ne eiliškumo spraga, o laipsnių tema, kuri septintoje klasėje dar tik dėliojama.
Verta užduoti ir vieną papildomą klausimą: „kodėl darai būtent taip?“ Mokinys, kuris atsako „nes daugyba ir dalyba yra vienos eilės, todėl einu iš kairės“, temą turi. Mokinys, kuris atsako „nes taip išėjo“, gali teisingai išspręsti visus keturis pavyzdžius ir vis tiek suklysti penktame. Kodėl sprendimo užrašymas apskritai vertinamas atskirai nuo atsakymo, aprašyta tekste apie tai, kaip užrašyti matematikos sprendimą.
Ką daryti, jei paaiškėja spragų
Veiksmų eiliškumas priklauso tai nedidelei grupei temų, kurias galima uždaryti per kelias trumpas treniruotes, nes išmokti reikia ne daug: trijų atvejų ir skliaustų prasmės. Veikia paprasta tvarka. Pirma vaikas garsiai pasako, kokios eilės veiksmai yra reiškinyje, ir tik tada skaičiuoja. Po kelių dienų šis žingsnis nebereikalingas, nes eilės pradedamos matyti iš karto.
Medžiagos tam reikia mažai, bet ji turi būti su atsakymais, kad vaikas galėtų pasitikrinti pats. Pradinukui tinka antros klasės, trečios klasės ir ketvirtos klasės matematikos testai — juose reiškiniai trumpi, todėl klaida matoma iš karto, o visa serija sudėta Bortkevičiaus knygų skiltyje. Jeigu spraga paaiškėjo jau progimnazijoje, patogiau imti teminio kartojimo uždavinius, kuriuose galima pasiimti vieną temą ir uždaryti būtent ją: 5–8 klasių kartojimo uždavinius arba atskirai šeštos ir septintos klasės teminius uždavinius. Vyresniems, kai kartojama plačiau, tinka 5–10 klasių kartojimo uždaviniai, o pačią taisyklę patogu laikyti po ranka formulių ir taisyklių rinkinyje arba matematikos atmintinėje. Daugiau tos pačios serijos leidinių sudėta Mockaus knygų skiltyje.
Kada užtenka pratybų, o kada reikia žmogaus, palyginta tekste matematikos pratybos ar korepetitorius. Trumpai: jeigu klysta tik du iš keturių pavyzdžių ir vaikas geba paaiškinti, kodėl skaičiuoja taip, užtenka savarankiško darbo. Jeigu klaidinga tvarka kartojasi ir po paaiškinimo arba jeigu kartu byra trupmenos ir procentai, vieno žmogaus paaiškinimas sutaupo savaites. Tokiu atveju matematikos korepetitorius pirmose pamokose paprastai ir dirba su pamatu, o ne su einamąja tema, nes einamoji tema be pamato vis tiek nelaikys.
Ieškant mokytojo verta pasakyti tiesiai, kad reikia užtaisyti pradinės mokyklos spragą, o ne pasiruošti kitam kontroliniam — tai du skirtingi darbai. Korepetitorių sąraše matyti, su kuriomis klasėmis mokytojas dirba, todėl tokį prašymą galima suderinti dar prieš pirmą pamoką.
