Skaičiaus kvadratas — tai skaičius, padaugintas iš savęs paties: 7² = 7 · 7 = 49. Kubas — trijų vienodų dauginamųjų sandauga: 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Laipsnių lentelėje šios reikšmės surašytos iš anksto, kad nereikėtų jų kaskart skaičiuoti. Čia rasite skaičių kvadratus nuo 1 iki 100, kubus nuo 1 iki 20, dvejeto, trejeto ir penketo laipsnius iki dešimtojo ir kvadratinių šaknų reikšmes. Paaiškinsime, kaip tą pačią lentelę skaityti atvirkščiai, kai reikia rasti šaknį, ir kurias reikšmes vis dėlto verta mokėti mintinai. Aštuntokams tai ypač aktualu: pagal dabar galiojantį aprašą per matematikos nacionalinį mokinių pasiekimų patikrinimą (NMPP) skaičiuotuvu naudotis neleidžiama.
Kas yra kvadratas, kubas ir laipsnis
Laipsnis — tai trumpas vienodų dauginamųjų sandaugos užrašas. Užuot rašius 2 · 2 · 2 · 2, rašoma 2⁴ ir sakoma „du ketvirtuoju laipsniu“. Skaičius 2 čia vadinamas laipsnio pagrindu, o mažas skaičius 4 viršuje dešinėje — laipsnio rodikliu. Rodiklis rodo, kiek kartų pagrindas imamas dauginamuoju. Antrasis laipsnis dar vadinamas kvadratu, o trečiasis — kubu, todėl 5² skaitoma „penki kvadratu“, o 5³ — „penki kubu“.
Šie pavadinimai kilę iš geometrijos. Kvadrato, kurio kraštinė 5 cm, plotas yra 5 · 5 = 25 cm², o kubo, kurio briauna 5 cm, tūris — 5 · 5 · 5 = 125 cm³. Todėl ir ploto vienetai vadinami kvadratiniais (cm²), o tūrio — kubiniais (cm³). Su šiais ženklais vaikas susiduria anksčiau, nei 7 klasėje susipažįsta su laipsnio sąvoka. Pagal matematikos bendrąją programą kvadratinis centimetras ir kvadratinis metras, kubinis centimetras ir kubinis metras apibrėžiami 4 klasėje, kvadrato ploto ir kubo tūrio formulės taikomos 5 klasėje, laipsnis apibrėžiamas 7 klasėje, o kvadratinė ir kubinė šaknys — 8 klasėje.
Iš kur kyla laipsnių taisyklės ir kodėl šaknies traukimas yra kėlimui laipsniu atvirkštinis veiksmas, išsamiai aptarėme tekste apie tai, kaip suprasti laipsnius ir šaknis, o visos veiksmų su laipsniais taisyklės surašytos straipsnyje apie laipsnių savybes. Čia daugiausia dėmesio skirsime pačioms reikšmėms: kur jas rasti, kaip jomis naudotis ir kurias verta įsiminti.
Kvadratų lentelė nuo 1 iki 20
Pirmųjų dvidešimties natūraliųjų skaičių kvadratų mokyklinėje matematikoje prireikia nuolat: traukiant šaknis, taikant Pitagoro teoremą, sprendžiant kvadratines lygtis ir skaičiuojant plotus. Kairėje lentelės pusėje surašyti skaičiai nuo 1 iki 10, dešinėje — nuo 11 iki 20.
| Skaičius | Kvadratas | Skaičius | Kvadratas |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Pirmosios dešimties kvadratai yra daugybos lentelės dalis: jie išsidėstę jos įstrižainėje, ten, kur skaičius dauginamas iš savęs, — 1, 4, 9, 16 ir t. t. iki 100. Antroji dešimtis reikalauja daugiau pastangų, bet ir joje yra dėsningumas. Gretimų kvadratų skirtumai yra iš eilės einantys nelyginiai skaičiai: 1, 4, 9, 16 ir 25 vienas nuo kito skiriasi 3, 5, 7 ir 9. Todėl 14² galima gauti iš 13²: 169 + 27 = 196. Taip yra ne atsitiktinai. Tai paaiškina greitosios daugybos formulė, pritaikyta skaičiui n + 1: (n + 1)² = n² + 2n + 1. Greitosios daugybos formulės nagrinėjamos 8 klasėje.
Kvadratų lentelė nuo 21 iki 100
Toliau pateikti visi kvadratai iki 100². Kiekvienoje eilutėje — viena dešimtis. Šios lentelės dalies mokytis mintinai nereikia, tačiau verta turėti ją po ranka: iš jos lengva pasitikrinti ir kvadratą, ir šaknį.
| Skaičiai | Kvadratai |
|---|---|
| 21–30 | 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784, 29² = 841, 30² = 900 |
| 31–40 | 31² = 961, 32² = 1024, 33² = 1089, 34² = 1156, 35² = 1225, 36² = 1296, 37² = 1369, 38² = 1444, 39² = 1521, 40² = 1600 |
| 41–50 | 41² = 1681, 42² = 1764, 43² = 1849, 44² = 1936, 45² = 2025, 46² = 2116, 47² = 2209, 48² = 2304, 49² = 2401, 50² = 2500 |
| 51–60 | 51² = 2601, 52² = 2704, 53² = 2809, 54² = 2916, 55² = 3025, 56² = 3136, 57² = 3249, 58² = 3364, 59² = 3481, 60² = 3600 |
| 61–70 | 61² = 3721, 62² = 3844, 63² = 3969, 64² = 4096, 65² = 4225, 66² = 4356, 67² = 4489, 68² = 4624, 69² = 4761, 70² = 4900 |
| 71–80 | 71² = 5041, 72² = 5184, 73² = 5329, 74² = 5476, 75² = 5625, 76² = 5776, 77² = 5929, 78² = 6084, 79² = 6241, 80² = 6400 |
| 81–90 | 81² = 6561, 82² = 6724, 83² = 6889, 84² = 7056, 85² = 7225, 86² = 7396, 87² = 7569, 88² = 7744, 89² = 7921, 90² = 8100 |
| 91–100 | 91² = 8281, 92² = 8464, 93² = 8649, 94² = 8836, 95² = 9025, 96² = 9216, 97² = 9409, 98² = 9604, 99² = 9801, 100² = 10 000 |
Įsižiūrėję pastebėsite kelis dėsningumus, kurie praverčia ir neturint lentelės. Pirma, natūraliųjų skaičių kvadratai baigiasi tik skaitmenimis 0, 1, 4, 5, 6 arba 9. Jei skaičius baigiasi 2, 3, 7 arba 8, jis negali būti natūraliojo skaičiaus kvadratas, todėl, pavyzdžiui, kvadratinė šaknis iš 7243 tikrai nėra sveikasis skaičius. Antra, skaičių, kurie baigiasi 5, kvadratai visada baigiasi 25: 15² = 225, 45² = 2025, 95² = 9025. Trečia, vienodai nuo 50 nutolusių skaičių kvadratai baigiasi tais pačiais dviem skaitmenimis: 48² = 2304 ir 52² = 2704, 41² = 1681 ir 59² = 3481.
Ta pati lentelė tinka ir dešimtainėms trupmenoms. Kadangi 12² = 144, tai 1,2² = 1,44, o 0,12² = 0,0144: pakėlus kvadratu, skaitmenų po kablelio skaičius padvigubėja. Tas pats tinka ir nuliams skaičiaus gale: 30² = 900, o 300² = 90 000.
Kubų lentelė nuo 1 iki 20
Skaičių kubų mokykloje prireikia ne tik skaičiuojant kubo tūrį, bet ir 8 klasėje, kai mokomasi kubinės šaknies. Mintinai verta mokėti pirmosios dešimties skaičių kubus, o lentelėje pateikiame kubus iki 20.
| Skaičius | Kubas | Skaičius | Kubas |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 1331 |
| 2 | 8 | 12 | 1728 |
| 3 | 27 | 13 | 2197 |
| 4 | 64 | 14 | 2744 |
| 5 | 125 | 15 | 3375 |
| 6 | 216 | 16 | 4096 |
| 7 | 343 | 17 | 4913 |
| 8 | 512 | 18 | 5832 |
| 9 | 729 | 19 | 6859 |
| 10 | 1000 | 20 | 8000 |
Kubai turi savybę, kurios kvadratai neturi: pagal kubo paskutinį skaitmenį visada galima pasakyti, kuo baigiasi pats skaičius. Kvadratams taip nėra — ir 4², ir 6² baigiasi 6 (16 ir 36). O kubų paskutiniai skaitmenys nesikartoja: 1³ baigiasi 1, 2³ — 8, 3³ — 7, 4³ — 4, 5³ — 5, 6³ — 6, 7³ — 3, 8³ — 2, 9³ — 9, 10³ — 0. Todėl dviženklio skaičiaus kubą galima „iššifruoti“ be skaičiuotuvo. Tarkime, reikia rasti kubinę šaknį iš 74 088. Paskutinis skaitmuo 8 rodo, kad ieškomas skaičius baigiasi 2. Atmetus tris paskutinius skaitmenis, lieka 74, o šis skaičius yra tarp 4³ = 64 ir 5³ = 125, vadinasi, dešimčių skaitmuo yra 4. Atsakymas — 42, ir jį lengva patikrinti: 42 · 42 · 42 = 74 088.
Dar vienas skirtumas — ženklas. Neigiamo skaičiaus kvadratas visada teigiamas: (−4)² = (−4) · (−4) = 16. Kubas minusą išlaiko: (−4)³ = −64. Todėl kubinę šaknį galima traukti ir iš neigiamo skaičiaus (kubinė šaknis iš −64 lygi −4), o kvadratinės šaknies iš neigiamo skaičiaus tarp realiųjų skaičių nėra.
Dvejeto, trejeto ir penketo laipsniai
Laipsnių lentelė neapsiriboja kvadratais ir kubais. Mokykloje dažnai prireikia dvejeto, trejeto ir penketo laipsnių, todėl juos pateikiame atskiroje lentelėje. Stulpelio viršuje nurodytas laipsnio pagrindas, o eilutės pradžioje — rodiklis. Pavyzdžiui, eilutės „5“ ir stulpelio „3“ sankirtoje yra 243, nes 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.
| Rodiklis | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 5 |
| 2 | 4 | 9 | 25 |
| 3 | 8 | 27 | 125 |
| 4 | 16 | 81 | 625 |
| 5 | 32 | 243 | 3125 |
| 6 | 64 | 729 | 15 625 |
| 7 | 128 | 2187 | 78 125 |
| 8 | 256 | 6561 | 390 625 |
| 9 | 512 | 19 683 | 1 953 125 |
| 10 | 1024 | 59 049 | 9 765 625 |
Pirmoji eilutė nėra klaida: bet kuris skaičius, išskyrus nulį, pakeltas nuliniu laipsniu, lygus 1. Kodėl taip yra, parodėme straipsnyje apie laipsnių savybes. Iš lentelės galima perskaityti ir kitų pagrindų laipsnius. Kadangi 4 = 2², tai 4³ lygu dvejetui šeštuoju laipsniu, t. y. 64 — lygiai tiek pat, kiek 8². Panašiai 9² = 3⁴ = 81, o 25² = 5⁴ = 625. Dešimties laipsnių lentelės nereikia: pakėlus 10 natūraliuoju laipsniu, gaunamas vienetas su tiek nulių, kiek rodo rodiklis, pavyzdžiui, 10⁴ = 10 000. Kai rodiklis neigiamas, skaičius atsiduria trupmenos vardiklyje: 2 minus pirmuoju laipsniu yra 1/2, arba 0,5, o 2 minus trečiuoju laipsniu — 1/8, arba 0,125.
Dvejeto laipsniai svarbūs ir už matematikos ribų: kompiuteris informaciją saugo dvejetainiu kodu, todėl skaičiai 256, 512 ar 1024 dažnai sutinkami kalbant apie atmintį ir duomenis. Gimnazijoje šios lentelės vėl prireikia sprendžiant rodiklines lygtis ir mokantis logaritmų: abiem atvejais tenka atsakyti į klausimą, pavyzdžiui, kokiu laipsniu pakelti 2, kad gautume 32. Kas žino, kad 32 yra dvejetas penktuoju laipsniu, atsako iš karto.
Kaip pagal lentelę rasti kvadratinę šaknį
Kvadratų lentelė kartu yra ir šaknų lentelė, tik skaitoma iš kitos pusės. Rasti kvadratinę šaknį iš 1849 — tai atsakyti į klausimą, kokį neneigiamą skaičių pakėlus kvadratu gaunama 1849. Lentelėje 1849 parašyta prie 43, todėl √1849 = 43. Taip sprendžiami ir praktiniai uždaviniai: jei kvadrato formos sklypo plotas yra 1600 m², jo kraštinė lygi 40 m, nes 40² = 1600.
Kai skaičiaus lentelėje nėra, ji vis tiek padeda — parodo, tarp kokių sveikųjų skaičių yra šaknis. Skaičius 50 yra tarp 49 ir 64, todėl šaknis iš 50 yra tarp 7 ir 8, be to, arčiau 7, nes nuo 49 skaičius 50 skiriasi tik vienetu (skaičiuotuvas parodytų apie 7,07). Būtent tokius uždavinius numato 8 klasės programa: juose be skaičiuotuvo reikia įvertinti, tarp kokių sveikųjų skaičių yra šaknis. Gimnazijos išplėstiniame kurse tas pats įgūdis praverčia ir su aukštesnio laipsnio šaknimis.
Antras naudingas įgūdis — pastebėti pošaknyje paslėptą kvadratą. Šaknis iš 50 lygi 5√2, nes 50 = 25 · 2, o šaknis iš 25 yra 5. Šaknis iš 72 lygi 6√2, nes 72 = 36 · 2. Programoje tai vadinama skaičiaus iškėlimu prieš šaknies ženklą, o norint tai padaryti, reikia greitai pastebėti, ar pošaknis dalijasi iš 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ar 100.
Kvadratinių šaknų lentelė: apytikslės reikšmės
Daugumos natūraliųjų skaičių kvadratinės šaknys yra iracionalieji skaičiai, t. y. begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos. Todėl lentelėje pateikiamos apytikslės reikšmės, suapvalintos iki tūkstantųjų. Skaičiai 1, 4, 9 ir 16 praleisti, nes jų šaknys yra sveikieji skaičiai: 1, 2, 3 ir 4.
| Skaičius | Šaknis | Skaičius | Šaknis |
|---|---|---|---|
| 2 | 1,414 | 12 | 3,464 |
| 3 | 1,732 | 13 | 3,606 |
| 5 | 2,236 | 14 | 3,742 |
| 6 | 2,449 | 15 | 3,873 |
| 7 | 2,646 | 17 | 4,123 |
| 8 | 2,828 | 18 | 4,243 |
| 10 | 3,162 | 19 | 4,359 |
| 11 | 3,317 | 20 | 4,472 |
Mintinai verta žinoti bent dvi reikšmes: šaknis iš 2 yra apytiksliai 1,414, o šaknis iš 3 — apytiksliai 1,732. Jos nuolat pasirodo geometrijoje: kvadrato, kurio kraštinė 1, įstrižainė lygi šakniai iš 2, o lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė 2, aukštinė lygi šakniai iš 3. Iš šių dviejų gaunamos ir kitos reikšmės: šaknis iš 8 yra 2√2, taigi apytiksliai 2,828, o šaknis iš 12 yra 2√3, taigi apytiksliai 3,464.
Aštuntokų NMPP: skaičiuotuvu naudotis neleidžiama
Kurias reikšmes mokėti mintinai, labiausiai priklauso nuo to, ar per atsiskaitymą galima naudotis skaičiuotuvu. Aštuntokams atsakymas aiškus. Dabar galiojančiame matematikos NMPP 8 klasėje užduoties apraše (2025 m. spalio 31 d. redakcija), kurį patvirtino Nacionalinė švietimo agentūra, priemonių skiltyje nurodyti tik lapas užrašams ir kompiuteris, o šalia aiškiai parašyta: skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Pagal šią redakciją patikrinimą sudaro 35 uždaviniai, už kuriuos galima surinkti 40 taškų. Jis trunka 90 minučių ir vertinamas automatiškai. 2026–2027 mokslo metais aštuntokų matematikos patikrinimas numatytas 2027 m. kovo 12 d. Iki tol Nacionalinė švietimo agentūra aprašą dar gali atnaujinti, todėl prieš patikrinimą verta peržiūrėti naujausią redakciją.
Svarbu ir tai, kas į patikrinimą patenka. Pagal tą pačią redakciją, parengtą 2026 m. patikrinimui, jame gali būti uždavinių iš visų 5–7 klasių temų, o iš 8 klasės, atsižvelgiant į patikrinimo datą, neįtraukiamos transformacijos ir braižymas, erdvės figūros ir tūrio skaičiavimai bei duomenys ir jų interpretavimas. Kvadratinių ir kubinių šaknų, kurių mokomasi 8 klasėje, tarp šių išimčių nėra.
Kaip tai atrodo praktiškai, rodo 2026 m. vasario 25 d. bandomoji užduotis, kurios sprendimus Nacionalinė švietimo agentūra paskelbė. Pirmojo uždavinio atsakymas buvo 5√2: sprendime šaknis iš 50 pertvarkoma, skaičių 50 išskaidžius į 25 · 2. Tryliktajame uždavinyje reikėjo nustatyti, kam lygi kubinė šaknis iš 88. Čia svarbu pastebėti, kad 88 = 8 · 11, o 8 = 2³, todėl atsakymas yra 2∛11. Trisdešimtajame uždavinyje buvo lyginami du kvadrato formos sklypai, kurių plotai 9 ir 16 arų, t. y. 900 ir 1600 m²: jų kraštinės yra 30 ir 40 m, todėl antrojo sklypo perimetras 40 m didesnis. Nė viename iš šių uždavinių nereikia ilgų skaičiavimų, tačiau visuose reikia greitai atpažinti kvadratą arba kubą.
Pasiruošti padeda Vaidoto Mockaus darbo sąsiuvinis „Pakartokime 5–8 klasės matematikos kursą ir pasirenkime nacionaliniam 8 klasės mokinių pasiekimų patikrinimui (NMPP)“: jame dvylika kartojimo užduočių, parengtų pagal atnaujintas bendrąsias programas, ir visų uždavinių atsakymai knygos gale. Daugiau šiam patikrinimui skirtos medžiagos rasite nacionalinio patikrinimo skiltyje, o datos ir praėjusių metų rezultatai aptarti NMPP 2027 gide.
PUPP ir brandos egzaminas: skaičiuotuvas leidžiamas, bet lentelės nėra
Dešimtoje klasėje situacija pasikeičia. Matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo (PUPP) užduoties apraše tarp priemonių jau nurodytas skaičiuotuvas ir spausdintas formulių rinkinys, o per matematikos brandos egzaminą skaičiuotuvu leidžiama naudotis abiejose dalyse. PUPP formulių rinkinyje yra skyrius „Laipsniai ir šaknys“, tačiau jame surašytos tik taisyklės, pavyzdžiui, kaip dauginami laipsniai su vienodais pagrindais ir kaip sudauginamos šaknys. Skaičių kvadratų, kubų ar šaknų reikšmių lentelės rinkinyje nėra. Kokie skaičiuotuvai leidžiami, aptarėme mokslinio skaičiuotuvo gide, o kas tiksliai įrašyta į formulių rinkinius, — straipsnyje apie egzaminų formulynus.
Tai nereiškia, kad lentelė tampa nereikalinga. Skaičiuotuvas atsako į tai, ko klausiama, bet nepasako, ką verta pastebėti. Sprendžiant kvadratinę lygtį pagal sprendinių formulę, pirmiausia apskaičiuojamas diskriminantas. Jei lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai, o diskriminantas lygus, pavyzdžiui, 169, mokinys, kuris žino, kad 169 = 13², iš karto supranta, kad sprendiniai bus racionalieji skaičiai, ir gali patikrinti, ar lygtį patogiau išspręsti skaidant dauginamaisiais. Taikant Pitagoro teoremą, praverčia vadinamieji Pitagoro trejetai: 3, 4 ir 5; 5, 12 ir 13; 8, 15 ir 17; 7, 24 ir 25. Jei stačiojo trikampio statiniai yra 5 ir 12, įžambinė iš karto aiški — 13 (25 + 144 = 169).
Kaip greitai pakelti kvadratu mintinai
Kvadratų iki 100 kalti nereikia, nes daugumą jų galima greitai apskaičiuoti mintinai. Visi toliau aprašyti būdai remiasi ta pačia greitosios daugybos formule (a ± b)² = a² ± 2ab + b², tik pritaikyta konkretiems skaičiams.
Skaičiai, kurie baigiasi 5. Dešimčių skaitmenį padauginkite iš vienetu didesnio skaičiaus ir prie rezultato prirašykite 25. Pavyzdžiui, 35²: 3 · 4 = 12, taigi 1225. 85²: 8 · 9 = 72, taigi 7225.
Skaičiai šalia apvalaus. 31² = 30² + 2 · 30 · 1 + 1² = 900 + 60 + 1 = 961. Lygiai taip pat 29² = 900 − 60 + 1 = 841. Taip galima skaičiuoti ir tada, kai skirtumas didesnis: 62² = 3600 + 240 + 4 = 3844.
Skaičiai šalia 50 ir 100. Kadangi 50² = 2500, tai 53² = 2500 + 300 + 9 = 2809, o 47² = 2500 − 300 + 9 = 2209: prie 2500 pridedamas arba iš jo atimamas atstumas iki 50, padaugintas iš šimto, ir pridedamas to atstumo kvadratas. Šalia šimto dar paprasčiau: 97² = 10 000 − 600 + 9 = 9409.
Šiuos būdus verta parodyti vaikui ne kaip triukus, o kaip įrodymą, kad lentelėje nėra nieko paslaptingo: kiekvieną jos skaičių galima atkurti pačiam. Kai vaikas kvadratą moka apskaičiuoti pats, o ne tik perskaityti, lentelė jam nebėra sąrašas, kurį reikia iškalti.
Klaidos, kurias lentelė padeda pastebėti
Jaunesni mokiniai dažnai suklysta pagrindą padaugindami iš rodiklio: 5² parašo 10, o 3³ — 9. Laipsnio rodiklis rodo, kiek kartų pagrindas imamas dauginamuoju, o ne iš kokio skaičiaus pagrindą reikia padauginti. Jei vaikas įpratęs pasitikrinti lentele, tokią klaidą pastebės iš karto.
Antra — dešimtainės trupmenos. 0,3² nėra 0,9: 0,3 · 0,3 = 0,09. Kaip jau minėjome, pakėlus kvadratu, skaitmenų po kablelio skaičius padvigubėja, todėl lentelėje reikia žiūrėti į skaitmenis, o kablelį padėti pagal šią taisyklę.
Trečia — minusas. Užrašai −3² ir (−3)² reiškia skirtingus skaičius. Skliaustuose esantis minusas keliamas kvadratu kartu su skaičiumi, todėl (−3)² = 9. Be skliaustų pirmiausia keliama laipsniu, o minusas pridedamas po to: −3² = −(3 · 3) = −9. Taip skaičiuoja ir skaičiuotuvai, kuriuose minusas įvedamas prieš skaičių: pavyzdžiui, Casio ES PLUS serijos instrukcijoje paaiškinta, kad kėlimas kvadratu atliekamas pirmiau už minuso ženklą, todėl neigiamą skaičių, kurį norima pakelti kvadratu, reikia rašyti skliaustuose. Veiksmų tvarką reiškiniuose su laipsniais plačiau aptarėme straipsnyje apie veiksmų eiliškumą.
Ketvirta — sumos kėlimas kvadratu: (3 + 4)² nėra 3² + 4², nes kairėje gaunama 49, o dešinėje 25. Šią klaidą išsamiau aptarėme tekste apie laipsnius ir šaknis.
Kurias reikšmes verta mokėti mintinai
Visos lentelės mintinai mokėti nereikia, o kai kurias jos dalis — tiesiog verta. Remiantis tuo, kas kurioje klasėje nagrinėjama, išeitų maždaug toks minimumas:
- 5–6 klasės. Kvadratai nuo 1 iki 10 ir kubai nuo 1 iki 5. Jų prireikia skaičiuojant plotą ir tūrį bei verčiant ploto vienetus: 1 m² = 10 000 cm², nes 100² = 10 000.
- 7 klasė. Kvadratai iki 15, dvejeto laipsniai iki 1024 ir dešimties laipsniai — jų prireikia atliekant pirmuosius veiksmus su laipsniais ir užrašant skaičius standartine išraiška.
- 8 klasė. Kvadratai nuo 1 iki 20 ir kubai nuo 1 iki 10. Tai minimumas, kad šaknis būtų galima traukti ir įvertinti be skaičiuotuvo, kaip to reikia per NMPP.
- 9–10 klasės ir gimnazija. Dar šaknys iš 2 ir 3 (1,414 ir 1,732), trejeto laipsniai iki 243 ir penketo — iki 625 (tai ir 25²). Jų prireikia sprendžiant kvadratines ir rodiklines lygtis, geometrijos uždavinius ir mokantis logaritmų.
Mokytis geriausia ne iš eilės, o klausiant abiem kryptimis. Klauskite ne tik „kiek yra 14²?“, bet ir „koks skaičius, pakeltas kvadratu, lygus 196?“ Taip vienu metu mokomasi ir kvadratų, ir šaknų. Užtenka kelių minučių per dieną. Lentelę verta turėti po ranka, bet ne atsakymams nusirašyti, o pasitikrinti. Jei vaikas daugybos lentelės dar gerai nemoka, pradėkite nuo jos: kvadratai yra jos dalis, o kaip padėti ją išmokti, aprašėme atskirame straipsnyje.
Jei aštuntokas šaknų ir laipsnių uždaviniuose klysta nuolat, dažnai trūksta ne lentelės, o supratimo, ką reiškia pats veiksmas. Tokią spragą paprastai greičiau užpildyti su žmogumi, kuris mato, kur tiksliai nutrūksta mintis, — tam galite pasirinkti matematikos korepetitorių 8 klasei. Septintokams tinka 7 klasės matematikos kurso teminiai uždaviniai su dviem analogiškais variantais, o kartojant visą progimnazijos kursą praverčia 5–8 klasių kartojimo uždaviniai.
Trumpai
Kvadratas yra skaičius, padaugintas iš savęs, kubas — trijų vienodų dauginamųjų sandauga, o laipsnių lentelė šias reikšmes tiesiog surašo iš anksto. Ją galima skaityti į abi puses: iš skaičiaus gauti kvadratą arba iš kvadrato — šaknį. Mintinai verta mokėti kvadratus iki 20, kubus iki 10, dvejeto laipsnius iki 1024 ir šaknis iš 2 bei 3, o kitas reikšmes greitai atkursite pagal dėsningumus arba rasite šiose lentelėse. Aštuntokams tai ypač svarbu: pagal dabar galiojantį aprašą per matematikos NMPP, numatytą 2027 m. kovo 12 d., skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Jei ši tema vis dėlto nesiseka, padės matematikos korepetitorius.
