Kelio formulė yra viena eilutė. Vaikas ją atsimena, per kontrolinį užrašo teisingai — ir sustoja ties sakiniu „iš dviejų miestų vienu metu išvažiavo du dviratininkai“. Tėvams tai atrodo kaip nedėmesingumas arba kaip nemokėjimas skaičiuoti. Iš tikrųjų dažniausiai trūksta trečio dalyko, apie kurį namuose beveik niekada nekalbama: piešinio, kuriame matyti, kas kur stovi ir kuria kryptimi juda.
Judėjimo uždaviniai yra viena iš tų temų, kurias mokykla pradeda anksti, o baigia labai vėlai. Kelio, laiko ir greičio sąryšis pirmą kartą aprašomas ketvirtos klasės turinyje, du judantys kūnai ateina penktoje, septintoje ta pati pora grįžta kaip atvirkštinis proporcingumas, o dešimtoje klasėje judėjimas pasirodo dar kartą — jau kaip išvestinės fizikinė prasmė. Tai reiškia, kad penktoje klasėje neužtaisyta spraga niekur nedingsta: ji tiesiog kas dvejus metus grįžta vis sudėtingesniu pavidalu.
Šiame tekste remiuosi matematikos bendrąja programa, Nacionalinės švietimo agentūros patvirtintu matematikos PUPP užduoties aprašu ir jo formulių rinkiniu. Visos šio straipsnio nuorodos į klases yra iš programos, o ne iš vadovėlio — vadovėliai temas išdėsto skirtingai.
Kelio formulė yra trumpa, o uždavinys — ne
Visas skaičiavimo aparatas, kurio reikia mokyklinio lygio judėjimo uždaviniui, telpa į tris eilutes. Kelias lygus greičiui, padaugintam iš laiko: s = v · t. Iš čia greitis yra kelias, padalytas iš laiko: v = s : t. O laikas — kelias, padalytas iš greičio: t = s : v. Tai vienas ir tas pats sąryšis, užrašytas trimis pusėmis, ir programa būtent taip jo ir prašo: ketvirtoje klasėje mokinys turi mokėti „apskaičiuoti kelią, greitį ar laiką, kai du iš jų žinomi“.
Vaikas, kuris moka visas tris eilutes, dar nemoka spręsti uždavinio, nes uždavinyje niekada nebūna parašyta „duota: v = 12, t = 3“. Uždavinyje yra du dviratininkai, 36 kilometrai tarp jų, valanda skirtumo ir klausimas, po kiek laiko jie susitiks. Sunkumas yra ne skaičiavime, o kelyje nuo sakinio iki dviejų skaičių, kuriuos galima sudauginti. Tas kelias eina per brėžinį.
Ką apie greitį iš tikrųjų sako programa ketvirtoje klasėje
Bendrojoje programoje kelio ir greičio sąvokos aprašomos ketvirtos klasės turinyje, srityje „Geometrija ir matavimai“. Ten pat rašoma, kad aptariamas „kelio, laiko, greičio (vidutinio greičio) sąryšis“ ir kad praktikuojamasi taikyti įvairius greičio matavimo vienetus — km/h, m/min ir m/s. Toje pačioje pastraipoje minimi ir matavimo prietaisai, kurių rodmenis vaikas turi mokėti perskaityti: svarstyklės, laikrodžiai, termometrai, odometrai.
Verta atkreipti dėmesį į du dalykus. Pirma, jau ketvirtoje klasėje kalbama ne apie greitį apskritai, o apie vidutinį greitį — tai vėliau taps atskira klaidų šeima. Antra, trys vienetai reikalaujami iš karto, o ne po vieną per metus. Ketvirtokas, kuris supranta kelio ir greičio ryšį, bet nemoka km/h paversti m/s, uždavinio neišspręs, ir jo klaida atrodys kaip nesupratimas, nors iš tikrųjų tai matavimo vienetų spraga. Apie tai plačiau rašiau tekste apie matavimo vienetus ir kur jie tyliai lūžta.
Penktoje klasėje ateina du judantys kūnai — metais anksčiau nei lygtys
Štai vieta, kurią verta žinoti kiekvienam penktoko tėvui. Programos penktos klasės turinyje parašyta: „Sprendžiami dviejų kūnų judėjimo ta pačia kryptimi, priešingomis kryptimis, priešpriešinio judėjimo uždaviniai, įskaitant ir situacijas, kuomet objektai pradeda ar baigia judėti skirtingu laiku.“ Tai yra tikrasis šuolis — ne formulė, o antras judantis objektas.
O dabar palyginkime tai su algebra. Sudaryti ir išspręsti daugiažingsnę lygtį programa prašo šeštoje klasėje: ten sprendžiamos „1–4 žingsnių pirmojo laipsnio lygtys su vienu nežinomuoju“ ir mokoma(si) sudaryti lygtis iš uždavinio sąlygos. Vadinasi, dviejų kūnų judėjimo uždaviniai mokykloje pasirodo metais anksčiau, nei mokinys turi tam skirtą algebrinį įrankį.
Iš to plaukia labai praktiška išvada tėvams. Kai penktokas nesugeba pajudėti, suaugusiojo instinktas — parodyti, kaip pažymėti nežinomąjį raide ir sudaryti lygtį. Tai dažniausiai yra pagalba ne ta kryptimi: vaikui siūlomas įrankis, kurio jis dar neturi ir kurio mokykla iš jo dar neprašo. Vaikas išmoksta pakartoti jūsų sprendimą, bet savarankiškai to paties uždavinio kitą savaitę vėl neįveiks.
Programa pati pasako, kuo spręsti: schema
Tame pačiame penktos klasės punkte yra sakinys, kurio dažniausiai niekas neperskaito: „Mokantis spręsti judėjimo uždavinius, pasitelkiamos schemos, įvairūs modeliai, aptariama ir taikoma kelio formulė.“ Schemos ir modeliai čia eina pirmi, o kelio formulė — paskutinė. Tai nėra atsitiktinė žodžių tvarka: penktokui, kuris dar nesudarinėja lygčių, brėžinys yra vienintelis būdas pamatyti uždavinio sandarą.
Schema judėjimo uždavinyje yra labai paprasta. Nubrėžiama viena tiesi atkarpa — kelias. Ant jos pažymimi du taškai — kur kas yra pradžioje. Nuo kiekvieno taško nubrėžiamas jo judėjimas ir užrašomas greitis. Ir tada pamatoma tai, ko sakinyje nesimatė: ar atstumas tarp jų mažėja, ar didėja, ar vienas kitą vejasi. Šis vienas piešinys pakeičia visą uždavinio tipą, o skaičiavimas po jo lieka toks, kokį vaikas jau moka.
Trys tipai, kuriuos programa vardija atskirai
Programa neatsitiktinai išskiria tris atvejus, nes kiekviename skirtingai elgiasi atstumas tarp dviejų objektų. Verta juos su vaiku pavadinti vardais — ne todėl, kad terminai svarbūs, o todėl, kad tipą reikia atpažinti prieš skaičiuojant.
Priešpriešinis judėjimas. Du objektai juda vienas kito link. Atstumas tarp jų mažėja greičiu, lygiu jų greičių sumai. Tarkime, tarp dviejų miestelių yra 36 km, vienas dviratininkas važiuoja 12 km/h, kitas — 6 km/h, ir jie išvažiuoja vienu metu vienas kito link. Suartėja jie 12 + 6 = 18 km/h greičiu, tad 36 : 18 = 2 valandos iki susitikimo. Formulė nepasikeitė — pasikeitė tik tai, kurį greitį į ją įstatome.
Judėjimas ta pačia kryptimi. Vienas vejasi kitą. Dabar atstumas mažėja greičių skirtumu, o ne suma. Tai vienintelis pokytis, bet būtent čia vaikai dažniausiai sudeda ten, kur reikia atimti — nes suma buvo praėjusiame uždavinyje ir atrodė pažįstamai.
Judėjimas priešingomis kryptimis. Objektai tolsta vienas nuo kito, atstumas didėja greičių suma. Skaičiavimas beveik toks pat kaip priešpriešinio judėjimo atveju, tik klausimas kitas: ne „po kiek laiko susitiks“, o „koks bus atstumas po dviejų valandų“.
Kai vaikas šiuos tris tipus atpažįsta iš brėžinio, o ne iš žodžių sakinyje, jis nustoja spėlioti. O spėliojimas pagal žodžius yra tikra problema: „vienas kito link“ dažnai lieka nepastebėtas, o „vienu metu“ suprantamas kaip nuoroda, kad reikia sudėti. Apie tai, kodėl vien perskaityti sąlygą nereiškia ją suprasti, rašiau tekste apie teksto suvokimą.
Kai vienas išvažiuoja anksčiau
Programa atskirai mini situacijas, kai objektai „pradeda ar baigia judėti skirtingu laiku“. Tai sunkiausias penktos klasės atvejis ir kartu tas, kurį brėžinys išsprendžia geriausiai.
Pavyzdys. Mama išeina iš namų 8.00 val. ir eina 5 km/h greičiu. Sūnus išvažiuoja ta pačia kryptimi 8.30 val. dviračiu 15 km/h greičiu. Kada jis ją pavys? Pirmas žingsnis nėra formulė — pirmas žingsnis yra klausimas, kur mama yra tuo momentu, kai sūnus pajuda. Per pusvalandį ji nuėjo 2,5 km. Nuo 8.30 val. tai virsta paprastu vijimosi uždaviniu: atstumas mažėja 15 − 5 = 10 km/h greičiu, tad 2,5 : 10 = 0,25 valandos, arba 15 minučių. Sūnus ją pavys 8.45 val.
Patikrinimas trunka dešimt sekundžių ir jo verta niekada nepraleisti: mama ėjo 45 minutes ir nuėjo 3,75 km, sūnus važiavo 15 minučių ir nuvažiavo 3,75 km. Skaičiai sutampa, vadinasi, sprendimas teisingas. Toks savikontrolės žingsnis yra atskira vertybė ir jis tinka daug plačiau nei judėjimo uždaviniams — apie sprendimo užrašymą ir jo tikrinimą rašiau atskirame tekste.
Vidutinis greitis nėra dviejų greičių vidurkis
Tai viena atkakliausių šios temos klaidų ir ji išgyvena iki pat gimnazijos. Švietimo portalo „Emokykla“ mokymosi objektų žinyne vidutinis greitis apibrėžiamas tiksliai ir trumpai: jis „lygus viso nueito kelio ir jam sugaišto laiko santykiui“. Ne greičių vidurkiui — viso kelio ir viso laiko santykiui.
Kodėl tai svarbu, geriausiai matyti iš skaičių. Automobilis nuvažiuoja 60 km 60 km/h greičiu, paskui dar 60 km, bet jau 30 km/h greičiu. Pirmoji atkarpa užtruko valandą, antroji — dvi. Iš viso 120 km per 3 valandas, tad vidutinis greitis yra 40 km/h. Dviejų greičių vidurkis būtų 45 km/h — penkiais kilometrais per valandą daugiau, ir tai ne apvalinimo netikslumas, o visai kito dydžio skaičiavimas.
Paaiškinimas, kurį vaikai supranta iš karto: lėtesnėje atkarpoje praleidžiama daugiau laiko, todėl ji „sveria“ daugiau. Vidurkis būtų teisingas tik tuo atveju, jei abiem greičiais būtų važiuota vienodą laiką, o ne vienodą atstumą. Kai vaikas tai išgirsta vieną kartą su skaičiais, klaida dažniausiai nebegrįžta.
Vienetai: km/h, m/min ir m/s
Programa reikalauja visų trijų vienetų, o uždaviniai juos mielai maišo: greitis duodamas km/h, o laikas — minutėmis. Vaikas viską išmąsto teisingai ir praranda tašką ties vieta, kuri su judėjimu neturi nieko bendra.
Vienintelė vieta, kurią verta įsiminti, yra perėjimas tarp km/h ir m/s. Viename kilometre yra 1000 metrų, vienoje valandoje — 3600 sekundžių, todėl 36 km/h yra 36 000 : 3600 = 10 m/s. Iš m/min viskas dar paprasčiau: 5 km/h yra 5000 metrų per 60 minučių, tai yra maždaug 83 m/min. Namuose užtenka vieno įpročio — prieš skaičiuojant peržiūrėti sąlygą ir patikrinti, ar visi dydžiai kalba tais pačiais vienetais.
Septintoje klasėje ta pati pora grįžta
Septintos klasės turinyje nagrinėjamas atvirkštinis proporcingumas, ir programa pati pasirenka pavyzdį: „greitis ir laikas, esant pastoviam keliui“. Tai reiškia, kad septintokas prie tų pačių dydžių grįžta jau kitu lygmeniu — ne skaičiuoja vieną atsakymą, o aprašo sąryšį lentele, taškais koordinačių plokštumoje ir grafiku.
Tas pats pasakytina apie šeštą klasę, kur apibrėžiamos santykio ir proporcijos sąvokos. Todėl judėjimo uždaviniai yra ne atskira tema, o vienas iš tų siūlų, kurie eina per visą progimnaziją. Vaikas, kuris penktoje klasėje nesuprato, kas yra greitis, septintoje nesupras, kodėl greičiui didėjant laikas mažėja — nors formaliai tai jau kita tema. Apie patį proporcingumą rašiau atskirai.
O dešimtoje klasėje judėjimas grįžta paskutinį kartą: programoje parašyta, kad „nagrinėjant judėjimus (pastoviu greičiu ir su pagreičiu), aptariama funkcijos išvestinės fizikinė prasmė“. Vidutinis greitis ten tampa išvestinės sąvokos įžanga.
Per PUPP kelio formulės niekas neduos
Dešimtokai per pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimą gauna išspausdintą formulių rinkinį — jis įrašytas tarp leidžiamų priemonių kartu su lapu užrašams, kompiuteriu ir skaičiuotuvu. Tas rinkinys yra Nacionalinės švietimo agentūros patvirtinto užduoties aprašo priedas, ir jį verta perskaityti bent kartą.
Jame yra greitosios daugybos formulės, laipsniai ir šaknys, sudėtiniai procentai, kvadratinės lygties sprendiniai, kvadratinio trinario skaidymas, tiesės per du taškus lygtis, parabolės viršūnės abscisė, trigonometrijos reikšmių lentelė, sinusų ir kosinusų teoremos, trikampio plotas, daugiakampio kampų suma bei skritulio išpjovos lanko ilgis ir plotas. Kelio formulės ten nėra — nė vienoje eilutėje. Perskaičius visą rinkinį nuo pradžios iki galo, šaknis „greit-“ jame pasitaiko vienintelį kartą, ir tai net ne apie greitį: skyrelio pavadinime „Greitoji daugyba“.
Tai nėra spraga rinkinyje. Greičiausiai tai reiškia, kad kelio formulė laikoma tokia pat savaime suprantama kaip stačiakampio plotas, kurio rinkinyje irgi nėra: ji išmokstama pradinėje mokykloje ir vėliau tiesiog turi būti galvoje. Praktinė išvada dešimtokui paprasta: ši formulė yra iš tų, kurias verta mokėti mintinai, nes egzamino dieną jos niekur nebus. Panašią logiką aprašiau tekstuose apie egzaminų formulynus ir apie tai, kurias formules verta mokėti atmintinai. Kas keičiasi 2027 metų vertinime, surašiau atskirame straipsnyje apie PUPP vertinimą.
Ką apie mokymą pagal uždavinio tipą rodo tyrimai
Mintis, kad tekstinių uždavinių verta mokyti pagal jų sandarą, o ne pagal atskirus pavyzdžius, yra tikrinta ir tarptautiniuose tyrimuose. Vienas didesnių — A. K. Jitendros ir kolegų atsitiktinių imčių tyrimas, paskelbtas žurnale Journal of Learning Disabilities. Jame dalyvavo 806 septintokai, turintys tekstinių uždavinių sprendimo sunkumų, atrinkti iš pradinės 1 999 mokinių imties Minesotoje; 82 klasės buvo atsitiktinai priskirtos eksperimentinei arba kontrolinei grupei.
Metodas, kurį taikė eksperimentinės grupės mokytojai, susideda iš keturių dalykų: uždaviniai rūšiuojami pagal tipą, sąlyga vaizduojama schema, prieš skaičiavimą pasakomas apytikris spėjimas, ir tik tada renkamasi sprendimo būdas iš kelių galimų. Rezultatas — praėjus devynioms savaitėms po intervencijos eksperimentinės grupės mokiniai bendrą testą rašė 0,25 standartinio nuokrypio geriau už kontrolinę grupę, o santykių ir proporcijų dalyje skirtumas siekė 0,30 standartinio nuokrypio.
Skaičių verta neperdėti, ir tyrimo autoriai to nedaro. Procentų uždavinių dalyje skirtumas pasirodė iš karto po intervencijos, bet po devynių savaičių nebeišliko, o bendram mokinių augimo tempui metodas įtakos neturėjo. Tai ne Lietuvos mokyklos duomenys, o amerikietiški, ir tirti buvo būtent sunkumų turintys mokiniai. Bet kryptis sutampa su tuo, ką sako mūsų programa: pirma schema, paskui skaičiavimas.
Ką konkrečiai daryti namuose
Judėjimo uždaviniai yra viena iš retų temų, kur namų pagalba veikia labai gerai, jei ji nukreipiama į teisingą vietą. Neverta aiškinti formulės — vaikas ją beveik visada moka. Verta reikalauti brėžinio ir klausti apie tipą.
- Prieš skaičiavimą — visada piešinys: viena tiesi linija, du taškai, dvi rodyklės ir greičiai šalia jų.
- Vienas klausimas vietoj paaiškinimo: „ar atstumas tarp jų didėja, ar mažėja?“ Atsakymas nulemia, sudėsime ar atimsime.
- Vienetai peržiūrimi prieš, o ne po sprendimo — kol dar nieko nepadauginta.
- Kai kas nors pajuda anksčiau, pirmiausia surandama, kur pirmasis yra kito starto momentu, ir tik tada skaičiuojama.
- Baigus — patikrinimas: abu apskaičiuoti keliai turi atitikti uždavinio sąlygą.
Ir svarbiausia dalis, kurios dažniausiai trūksta: to paties tipo uždavinių reikia ne trijų, o dvidešimties. Vienas išspręstas vijimosi uždavinys neduoda nieko — tipas atpažįstamas tik tada, kai jis buvo matytas daug kartų su skirtingais skaičiais ir skirtingais veikėjais. Būtent todėl pirmasis to tyrimo žingsnis buvo uždavinių rūšiavimas pagal tipą, o ne jų sprendimas eilės tvarka.
Kur rasti pakankamai vienodo tipo uždavinių
Čia ir slypi praktinė kliūtis. Vadovėlyje judėjimo uždavinių būna keliolika ir jie išbarstyti po skyrių, o pratybų atsakymuose dažnai būna tik skaičius be sprendimo eigos. Tam, kad vaikas pamatytų tipą, reikia rinkinio, kuriame uždaviniai sudėti temomis, o ne atsitiktine tvarka.
Ketvirtokams, kurie kaip tik ir susipažįsta su kelio bei greičio sąvokomis, tinka trumpi kasdieniai testai — Bortkevičiaus matematikos testai 4 klasei sudėlioti pagal trimestrus, todėl juos patogu spręsti po vieną per dieną. Jaunesniems tos pačios serijos leidiniai — testai 3 klasei ir testai 2 klasei — greičio dar neliečia, bet stiprina daugybą ir dalybą, be kurių ketvirtoje klasėje nepajudėsi. Visą seriją galima peržiūrėti Bortkevičiaus knygų skyriuje.
Penktokams ir šeštokams, kuriems kaip tik ir ateina du judantys kūnai, tinka teminiai rinkiniai. Šeštos klasės teminiai uždaviniai ir septintos klasės teminiai uždaviniai pateikiami dviem analogiškais A ir B variantais — tą pačią temą galima pasitikrinti antrą kartą, bet ne su tomis pačiomis užduotimis. Būtent tokios formos reikia, kai norima, kad vaikas atpažintų tipą, o ne prisimintų atsakymą. Stipresniems septintokams yra ir atsisiunčiamas 7 klasės užduočių rinkinys su atsakymais.
Kai reikia sudėti kelių metų temas į vieną sistemą, tinka progimnazijos 5–8 klasių teminio kartojimo uždaviniai, o ruošiantis PUPP — 5–10 klasių kartojimo uždaviniai su atsakymais. Šeštokams, kurie ruošiasi pasiekimų patikrinimui, yra atskiras 6 klasės pasitreniravimo rinkinys, kurio apraše tekstiniai uždaviniai įvardyti atskirai. Dešimtokams tinka 10 klasės pagrindų stiprinimo uždavinynas — jame 287 uždaviniai ir 185 puslapiai sprendimų su detalia eiga, o tai judėjimo uždaviniams svarbu labiau nei atsakymas: mokytis galima tik iš viso sprendimo, ne iš skaičiaus gale.
Ir, kadangi kelio formulės egzamino lape nebus, atskirai verta turėti savo santrauką — matematikos atmintinę arba platesnį formulių ir taisyklių rinkinį, kuriame formulės pateikiamos su taikymo pavyzdžiais. Visus atsisiunčiamus rinkinius galima rasti PDF užduočių skyriuje, o ruošiantis dešimtos klasės patikrinimui — PUPP matematikos skyriuje.
Jei prieš perkant norisi tiksliai žinoti, kur yra spraga, tam yra atskiri diagnostiniai rinkiniai: 3 klasės ir 4 klasės žinių lygio patikrinimai apima pagrindines sritis ir parodo, kur klaidos kartojasi, o kur buvo vienkartinės. Namų diagnostikos metodą be jokių priemonių aprašiau atskirame tekste.
Kada verta korepetitoriaus ir ką svarbiausia atsiminti
Jei vaikas, turėdamas brėžinį ir išsprendęs dvidešimt uždavinių, tipą atpažįsta, papildomų pamokų greičiausiai nereikia — reikia tiesiog dar keliolikos uždavinių. Bet yra dvi situacijos, kai savarankiškas darbas nepadeda. Pirma: vaikas nemoka pradėti, tai yra neturi ką nubrėžti, nes sakinio nepaverčia vaizdu. Antra: klaidos kaskart skirtingos ir nesikartoja — tada spraga dažniausiai yra ne judėjime, o giliau, kur nors dalyboje arba dešimtainėse trupmenose.
Abiem atvejais naudingiausia ne serija pamokų, o viena, per kurią mokytojas žiūri, kaip vaikas sprendžia, ir pasako, kur tiksliai lūžta. Matematikos korepetitorių galima rinktis pagal klasę ir temą, o visų dalykų sąrašas yra korepetitorių paieškoje. Kaip suprasti, ar korepetitoriaus iš tikrųjų reikia, rašiau tekste apie pratybas ir korepetitorių.
Judėjimo uždaviniai yra ne formulių, o skaitymo ir vaizdavimo tema. Programa kelio, laiko ir greičio sąryšį duoda ketvirtoje klasėje, du judančius kūnus — penktoje, o daugiažingsnes lygtis, kuriomis suaugusieji instinktyviai bandytų padėti, tik šeštoje. Todėl pagalba, kuri veikia, yra brėžinys ir klausimas apie tipą, o ne raidė vietoj nežinomojo. O kelio formulė, kurios nėra PUPP formulių rinkinyje, yra viena iš tų, kurias tikrai verta mokėti mintinai.
