Keturkampiai: rūšys, savybės ir ploto formulės, kurių nerasite PUPP ir VBE formulių lapuose

Keturkampiai lydi vaiką nuo pradinių klasių iki pat abitūros. Trečiokas mokosi atpažinti ir nubrėžti kvadratą bei stačiakampį, ketvirtokas skaičiuoja jų plotą, septintokas sužino, kuo lygiagretainis skiriasi nuo trapecijos ir kodėl kvadratas yra ir stačiakampis, ir rombas, o dešimtokas taiko įbrėžtinio ir apibrėžtinio keturkampio savybes. Vis dėlto nei pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo (PUPP), nei matematikos valstybinio brandos egzamino (VBE) formulių rinkiniuose, vadinamuosiuose formulių lapuose, nėra nė vienos keturkampio ploto formulės — nei stačiakampio, nei lygiagretainio, nei trapecijos, nei rombo. Šiame straipsnyje vienoje vietoje surinktos keturkampių rūšys, savybės ir ploto formulės. Paaiškiname, ko kurioje klasėje mokomasi pagal matematikos bendrąją programą, kokius keturkampių uždavinius sprendė 2026 m. PUPP laikę dešimtokai ir kaip namuose patikrinti, ar vaikas keturkampius supranta, o ne tik atpažįsta iš paveikslėlio.

Trumpai: svarbiausios keturkampių taisyklės

Jei reikia tik greitai prisiminti esmę, užtenka šio sąrašo. Toliau paaiškinta, iš kur kyla kiekviena taisyklė ir kurioje klasėje jos mokomasi.

• Bet kurio keturkampio kampų suma lygi 360°: viena iš įstrižainių jį padalija į du trikampius, o kiekvieno trikampio kampų suma lygi 180°.
• Lygiagretainio priešingos kraštinės lygiagrečios ir lygios, priešingi kampai lygūs, gretimų kampų suma lygi 180°, o įstrižainės susikirsdamos dalija viena kitą pusiau.
• Stačiakampis yra lygiagretainis, kurio visi kampai statūs, rombas — lygiagretainis, kurio visos kraštinės lygios, o kvadratas yra ir stačiakampis, ir rombas.
• Trapecija turi lygiai vieną porą lygiagrečių kraštinių, vadinamų pagrindais, todėl Lietuvos mokykloje lygiagretainis trapecija nelaikomas.
• Stačiakampio plotas S = a · b, lygiagretainio S = a · h, trapecijos S = (a + b) · h / 2, o rombo plotas lygus pusei įstrižainių sandaugos.
• Keturkampio, kurio visos viršūnės yra apskritime, priešingų kampų suma lygi 180°, o keturkampio, į kurį įbrėžtas apskritimas, priešingų kraštinių sumos lygios.
• PUPP formulių lape iš visos keturkampių temos yra tik daugiakampio kampų sumos formulė 180° · (n − 2), o ploto formules reikia mokėti.

Keturkampių šeima: kas kam priklauso

Pagal matematikos bendrąją programą keturkampių rūšių mokomasi 7 klasėje: apibrėžiama, „kokie keturkampiai vadinami kvadratais, stačiakampiais, lygiagretainiais, rombais, trapecijomis“, o keturkampiai klasifikuojami „pagal lygiagrečių kraštinių porų skaičių“. Taip patogu susidėlioti visą šeimą. Keturkampis gali neturėti nė vienos poros lygiagrečių kraštinių, turėti vieną porą (tada jis yra trapecija) arba dvi poras (tada jis yra lygiagretainis). Daugiau porų būti negali, nes keturkampis turi tik dvi poras priešingų kraštinių.

Visuotinėje lietuvių enciklopedijoje lygiagretainis apibrėžiamas kaip „keturkampis, turintis dvi lygiagrečių kraštinių poras“, o trapecija — kaip iškilasis keturkampis, „kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi nelygiagrečios“. Trapecijos lygiagrečios kraštinės vadinamos pagrindais, o kitos dvi — šoninėmis kraštinėmis. Jei šoninės kraštinės lygios, trapecija vadinama lygiašone, o jei viena šoninė kraštinė statmena pagrindams, — stačiąja. Pavadinimas kilęs iš graikiško žodžio trapezion, reiškiančio staliuką.

Lygiagretainių šeimoje yra trys ypatingi atvejai. Stačiakampis yra lygiagretainis, kurio visi kampai statūs. Rombas — keturkampis, kurio visos kraštinės lygios, ir jis taip pat yra lygiagretainis. Kvadratas enciklopedijoje apibrėžiamas kaip lygiakraštis stačiakampis, o rombas, kurio kampai statūs, irgi yra kvadratas. Vadinasi, kvadratas vienu metu yra ir stačiakampis, ir rombas, ir lygiagretainis. Programa šį ryšį numato: lygiagretainio, rombo, stačiakampio ir kvadrato savybės aptariamos, „kartu pastebint, kuri figūra yra bendresnės figūrų grupės dalis“.

Iš schemos matyti ir praktinė nauda: kas tinka bendresnei figūrai, tinka ir visoms jos atmainoms. Lygiagretainio ploto formulę S = a · h galima taikyti ir stačiakampiui, ir rombui, ir kvadratui, o lygiagretainio savybė, kad įstrižainės susikirsdamos dalija viena kitą pusiau, galioja visiems keturiems. Atvirkščiai taip nebūna: stačiakampio įstrižainės lygios, o bet kurio lygiagretainio — nebūtinai; rombo įstrižainės statmenos, o stačiakampio — tik tada, kai jis yra kvadratas.

Ar kvadratas yra stačiakampis, o lygiagretainis — trapecija?

Šie du klausimai skamba panašiai, tačiau atsakymai į juos skiriasi. Kvadratas yra stačiakampis, nes turi visas stačiakampio savybes: keturis stačius kampus, lygias ir lygiagrečias priešingas kraštines, lygias įstrižaines. Tai, kad visos jo kraštinės dar ir lygios, kvadrato iš stačiakampių neišmeta, o tik padaro jį ypatingu stačiakampiu. Tas pats galioja rombui: kvadratas yra rombas, kurio kampai statūs.

Su trapecija kitaip. Lietuvos mokykloje trapecija apibrėžiama kaip keturkampis, turintis lygiai vieną porą lygiagrečių kraštinių, todėl lygiagretainis, turintis dvi poras, trapecija nelaikomas. Tačiau taip yra ne visur. Pavyzdžiui, JAV mokyklinės matematikos programoje „Illustrative Mathematics“ penktokams trapecija apibrėžiama kaip keturkampis, turintis bent vieną porą lygiagrečių kraštinių, ir aiškiai nurodoma, kad lygiagretainis taip pat yra trapecija. Nė vienas apibrėžimas nėra klaidingas — tai susitarimo klausimas. Vis dėlto vaikui, kuris temų mokosi iš angliškų vaizdo įrašų, verta žinoti, kad per kontrolinį vertinama pagal mūsų programos apibrėžimą.

Kodėl taip sunku pamatyti, kad stačiakampis yra lygiagretainis

Apibrėžimą išmokti mintinai paprasčiau, nei jį pritaikyti, kai figūra atrodo ne taip, kaip įprasta. Jungtinės Karalystės tyrėjai Taro Fujita ir Keithas Jonesas 2006 m. apklausė 105 būsimus pradinių klasių mokytojus — antro kurso studentus Škotijoje. Daugumai jų buvo 19–20 metų, o jų mokyklinis matematikos išsilavinimas jau turėjo apimti keturkampių klasifikavimą pagal apibrėžimus ir savybes.

Rezultatai iškalbingi. Iš 15 nupieštų keturkampių visus lygiagretainius teisingai išrinko tik 21 studentas iš 105 (20 proc.). Dar 47 (44,8 proc.) pažymėjo vien keturias figūras, kurias tyrėjai vadina prototipiniais lygiagretainio vaizdais, o stačiakampių ir kvadratų tarp lygiagretainių nepažymėjo. Į klausimą, ar galima nubrėžti lygiagretainį, kurio visos keturios viršūnės yra apskritime, teisingai atsakė tik 8 studentai (7,6 proc.): galima, jei tas lygiagretainis yra stačiakampis. Net 76 (72,4 proc.) už šį klausimą negavo nė vieno taško — pagal tyrėjų aprašymą, jie atsakė, kad tai neįmanoma. Tyrėjai šią klaidą sieja su prototipiniu vaizdiniu: lygiagretainis įsivaizduojamas kaip pasvirusi figūra, ir tai, kas taip neatrodo, į šią grupę nebepatenka. Daugiau nei pusė iš šių 76 studentų (40) rėmėsi būtent tokiu vaizdiniu.

Tyrime dalyvavo suaugusieji, o ne Lietuvos mokiniai, todėl jo skaičių negalima tiesiogiai pritaikyti mūsų klasėms. Tačiau tie patys spąstai gali laukti ir septintokų, kai pagal programą jie turi pastebėti, „kuri figūra yra bendresnės figūrų grupės dalis“. O klausimas apie į apskritimą įbrėžtą lygiagretainį remiasi ta pačia savybe kaip 2026 m. PUPP uždavinys, aptariamas dešimtos klasės skyriuje.

Nuo antros iki šeštos klasės: kvadratas, stačiakampis ir 360 laipsnių

Pirmieji keturkampiai programoje pasirodo pradinėse klasėse. Antroje klasėje aptariama, kas yra daugiakampis, jo kraštinės, viršūnės ir kampai, ir mokomasi daugiakampius rūšiuoti pagal kraštinių ar kampų skaičių. Trečioje klasėje vaikai išsiaiškina, kas yra perimetras, kokios tiesės vadinamos lygiagrečiomis ir statmenomis, ir mokosi atpažinti bei nubrėžti kvadratą ir stačiakampį. Ketvirtoje klasėje atsiranda kvadratinis centimetras ir kvadratinis metras, o kartu su jais — kvadrato, stačiakampio ir iš jų sudarytų figūrų plotai.

Šiame etape plotą lengva supainioti su perimetru, nes abu dydžiai skaičiuojami iš tų pačių kraštinių. Kaip skirtumą parodyti pasitelkus virvelę ir languotą lapą, aiškinome straipsnyje apie plotą ir perimetrą. Jei norite stebėti, kaip trečiokui ar ketvirtokui sekasi visas kursas, o ne vien geometrija, pravers Audronio Bortkevičiaus matematikos testai 3 klasei ir matematikos testai 4 klasei. Kiekvienoje knygelėje pirmajam ir antrajam trimestrams skirta po vienuolika testų ir kontrolinį darbą, o trečiajam — vienuolika testų. Matematikos, lietuvių ir anglų kalbos žinioms namuose pasitikrinti skirtas 4 klasės žinių diagnostikos rinkinys su atsakymais.

Penktoje klasėje kvadrato ir stačiakampio ploto bei perimetro skaičiavimas virsta formulėmis. Be to, tyrinėjant trikampių ir stačiakampių pavyzdžius, parodoma, kaip, „perdėliojant stačiakampio dalis“, gali būti gaunamos kitos figūros, ir apibūdinamos tokios figūros kaip lygiagretainis, trapecija, lygiašonė trapecija ir rombas. Tais pačiais metais formuluojama ir pagrindžiama hipotezė apie trikampio ir keturkampio kampų sumą, o šeštoje klasėje įrodoma, kad keturkampio kampų suma lygi 360°: keturkampis įstrižaine padalijamas į du trikampius, kurių kiekvieno kampų suma lygi 180°.

Namuose šią taisyklę galima patikrinti taip pat, kaip trikampio kampų sumą: iškirpkite popierinį keturkampį, nuplėškite visus keturis jo kampus ir sudėkite juos viršūnėmis į vieną tašką. Jie užpildys visą ratą, tai yra 360°. Bandymas pavyksta ir su visai nesimetrišku keturkampiu, todėl vaikas mato, kad taisyklė galioja ne tik gražioms figūroms. Kaip kampų tema auga nuo pradinių klasių iki PUPP, rašėme straipsnyje apie kampus matematikoje. Šeštokui, kuriam geometrija ar kita tema dar nesiseka, patogu dirbti su Vaidoto Mockaus 6 klasės matematikos kurso teminiais uždaviniais: kiekviena tema pateikta A ir B variantais, tad po kelių dienų antruoju variantu galima pasitikrinti, ar ji tikrai išmokta.

Septinta klasė: penkios rūšys, jų savybės ir ploto formulės

Daugiausia apie keturkampius mokomasi septintoje klasėje. Programoje prieš keturkampius aprašyta lygiagrečių tiesių sąvoka ir kampai, kurie susidaro, kai dvi lygiagrečias tieses perkerta trečioji: atitinkamieji, vidaus priešiniai ir vidaus vienašaliai. Būtent šie kampai paaiškina, kodėl lygiagretainio gretimų kampų suma lygi 180° ir kodėl trapecijos kampų, esančių prie tos pačios šoninės kraštinės, suma taip pat lygi 180°.

Tada apibrėžiamos penkios keturkampių rūšys, nagrinėjamos lygiagretainio, rombo, stačiakampio ir kvadrato savybės, keturkampiai klasifikuojami pagal lygiagrečių kraštinių porų skaičių ir aptariamos trapecijų rūšys. Brėžiniuose mokomasi atpažinti ar nubrėžti lygiagretainio aukštines, trapecijos aukštinę, pagrindus ir šonines kraštines. Galiausiai mokomasi apskaičiuoti trikampio, lygiagretainio ir trapecijos plotą „kaip stačiakampio ar kvadrato ploto dalį“, o jų formulės pagrindžiamos. Programoje rašoma ne „išmokstamos“, o „pagrindžiamos“, ir šis žodis svarbus: mokinys turi suprasti, iš kur formulė kyla.

Septintokams, kuriems sunkiau sekasi keturkampiai ar kitos šių metų temos, skirti Mockaus 7 klasės matematikos kurso teminiai uždaviniai su A ir B variantais. Norintiems sudėtingesnių užduočių pravers 7 klasės matematikos užduočių rinkinys stipresniam lygiui su atsakymų failu, o jei norite, kad užduotis su vaiku peržiūrėtų mokytojas, galima rinktis 60 minučių individualią pamoką pagal šį rinkinį. Kodėl septintoje klasėje matematika staiga pasunkėja, aiškinome straipsnyje apie matematiką 7 klasėje.

Ploto formulės ir kaip jos išvedamos

Visos pagrindinės keturkampių ploto formulės išvedamos iš vienos — stačiakampio ploto formulės S = a · b. Lygiagretainis turi pagrindą a ir aukštinę h, nuleistą į tą pagrindą. Jei aukštinė, nuleista iš viršūnės, krinta ant pagrindo, perkirpkite lygiagretainį išilgai jos ir nukirptą stačiąjį trikampį priglauskite prie kitos pusės: gausite stačiakampį, kurio kraštinės yra a ir h. Plotas nuo to nepasikeičia, todėl lygiagretainio plotas S = a · h. Labai pasvirusį lygiagretainį tenka karpyti į daugiau dalių, tačiau rezultatas tas pats. Svarbiausia čia tai, kad h yra aukštinė, o ne pasvirusi kraštinė.

Trapecijos formulė gaunama kitu būdu. Paimkite dvi vienodas trapecijas, vieną pasukite 180° ir priglauskite prie kitos: jos sudarys lygiagretainį, kurio pagrindas lygus abiejų pagrindų sumai a + b, o aukštinė — ta pati h. Vienos trapecijos plotas yra pusė šio lygiagretainio ploto: S = (a + b) · h / 2. Šią formulę galima užrašyti ir kitaip. Atkarpa, jungianti šoninių kraštinių vidurio taškus, vadinama trapecijos vidurio linija; ji lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei. Todėl trapecijos plotas lygus vidurio linijos ir aukštinės sandaugai. Kai pagrindai 10 ir 6 cm, o aukštinė 4 cm, abu keliai duoda tą patį atsakymą, 32 cm²: (10 + 6) · 4 : 2 = 32 ir 8 · 4 = 32.

Rombo plotą galima apskaičiuoti kaip bet kurio lygiagretainio, pagrindą padauginus iš aukštinės. Tačiau rombas turi savybę, iš kurios gaunama patogesnė formulė: jo įstrižainės statmenos viena kitai ir susikirsdamos dalija viena kitą pusiau. Per rombo viršūnes nubrėžkite stačiakampį, kurio kraštinės lygiagrečios įstrižainėms. Jo ilgis ir plotis bus lygūs įstrižainėms d₁ ir d₂, o rombas užims lygiai pusę stačiakampio ploto. Todėl rombo plotas lygus pusei įstrižainių sandaugos: S = d₁ · d₂ / 2. Ta pati formulė tinka kvadratui ir bet kuriam iškilajam keturkampiui, kurio įstrižainės statmenos, pavyzdžiui, deltoidui (aitvaro formos keturkampiui).

Lentelėje a ir b reiškia kraštines (trapecijos atveju — pagrindus, o c ir d — šonines kraštines), h — aukštinę, d₁ ir d₂ — įstrižaines, o A — kampą tarp lygiagretainio kraštinių a ir b. Kvadrato įstrižainė lygi a√2, todėl jo plotą galima rasti ir kaip pusę įstrižainės ilgio kvadrato: S = d² / 2. Stačiakampio įstrižainės lygios, o jų ilgis apskaičiuojamas iš kraštinių: d² = a² + b². Formulė su sinusu išplaukia iš trikampio ploto formulės, kurią dešimtokai įrodo: įstrižainė lygiagretainį padalija į du vienodus trikampius. Kad formulės nesipainiotų, naudinga bent kartą tą patį plotą apskaičiuoti dviem būdais. Tarkime, rombo įstrižainės lygios 8 ir 6 cm. Pusė jų sandaugos — 24 cm². Įstrižainės rombą padalija į keturis vienodus stačiuosius trikampius, kurių statiniai 4 ir 3 cm: kiekvieno plotas 6 cm², visų keturių — vėl 24 cm². Tie patys trikampiai parodo ir rombo kraštinę, kuri pagal Pitagoro teoremą lygi 5 cm, todėl rombo aukštinė lygi 24 : 5 = 4,8 cm. Kai skirtingi keliai veda į tą patį atsakymą, vaikas mato, kad formulės viena kitai neprieštarauja.

Rėmelio bandymas: kodėl lygiagretainio plotas nėra kraštinių sandauga

Viena lygiagretainio ploto klaida kyla iš įpročio, įgyto skaičiuojant stačiakampius: vaikas tiesiog sudaugina dvi kraštines. Ją padeda išsklaidyti paprastas daiktas — rėmelis iš keturių juostelių, kurių galai sujungti taip, kad juostelės kampuose galėtų laisvai suktis. Tokį rėmelį nesunku pasidaryti iš kartono juostelių ir keturių segtukų su kojelėmis. Kol rėmelis stačiakampis, jo plotas lygus kraštinių sandaugai. Pastumkite jį į šoną: kraštinės lieka tos pačios, perimetras nesikeičia, bet rėmelis suplokštėja ir jo vidus sumažėja.

Tarkime, kraštinės lygios 6 ir 4 cm. Stačiakampio formos rėmelio plotas — 24 cm². Pastūmus jį taip, kad smailusis kampas būtų 30°, aukštinė sumažėja iki 2 cm. Taip yra todėl, kad stačiajame trikampyje statinis, esantis prieš 30° kampą, lygus pusei įžambinės, o įžambinė čia yra 4 cm kraštinė. Plotas tampa 6 · 2 = 12 cm² — perpus mažesnis, nors perimetras visą laiką lieka 20 cm. Kuo labiau rėmelis pasviręs, tuo mažesnis plotas, o kai jis beveik susiploja į liniją, plotas artėja prie nulio. Tai ir yra lygiagretainio formulės prasmė: plotą lemia aukštinė, o ne pasvirusi kraštinė. Dešimtoje klasėje tą patį galima užrašyti formule S = a · b · sin A: kai smailusis kampas mažėja, mažėja jo sinusas, o kartu ir plotas.

Rėmelis paaiškina dar vieną dalyką, kurį aptarėme straipsnyje apie trikampius: trikampis iš trijų pagaliukų formos nekeičia, o keturkampis ją keičia lengvai. Todėl vartams, lentynoms ar stogų santvaroms sutvirtinti naudojamas įstrižas skersinis, padalijantis keturkampį į du trikampius.

Aštunta ir devinta klasės: vidurio linija ir panašieji keturkampiai

Aštuntoje klasėje apibrėžiamos trikampio ir trapecijos vidurio linijos, o jų savybės pateikiamos be įrodymo. Trapecijos vidurio linija naudinga ne tik plotui: žinant vieną pagrindą ir vidurio liniją, antrą pagrindą galima rasti iš karto. Kai vidurio linija lygi 8 cm, o vienas pagrindas 10 cm, kitas pagrindas lygus 2 · 8 − 10 = 6 cm. Aštunta klasė svarbi ir dėl patikrinimo. Pagal bendrąją programą aštuntokų nacionalinio mokinių pasiekimų patikrinimo (NMPP) užduotis rengiama iš 5–8 klasių turinio, o geometrijai ir matavimams joje skiriama apie 30 proc. taškų; programoje ši dalis vadinama orientacine.

Prieš NMPP pravers Mockaus darbo sąsiuvinis 5–8 klasių kursui pakartoti ir 8 klasės NMPP pasiruošti: jame dvylika kartojimo užduočių su vieta sprendimams, o visų uždavinių atsakymai pateikti knygos gale. Kita patikrinimų medžiaga surinkta NMPP pasiruošimo skiltyje, o kitų metų patikrinimo datas aptarėme straipsnyje apie NMPP 2027.

Aštuntokams, kurie stoja į gimnazijas su stojamaisiais egzaminais, verta pasitreniruoti sprendžiant bandomuosius variantus. Pavyzdžiui, 9 klasės matematikos bandomųjų egzaminų rinkinyje yra šeši A, B ir C lygio egzaminai su išsamiais sprendimais. Pradėti patogu nuo C lygio bandomojo egzamino, skirto pirminei diagnostikai prieš pereinant prie B ar A lygio. Tiems, kuriems vieno sunkaus varianto neužtenka, sudaryta A lygio bandomojo egzamino 2 dalis. Jei šį variantą norite išnagrinėti kartu su mokytoju, galima užsisakyti 60 minučių pamoką pagal A lygio 2 dalį. Daugiau bandomųjų variantų, tarp jų ir stojantiesiems į Žirmūnų gimnaziją bei Vilniaus licėjų (juos parengė ne pačios mokyklos), rasite stojamųjų egzaminų skiltyje, o kaip apskritai ruoštis stojamiesiems, rašėme straipsnyje apie stojamuosius egzaminus į gimnaziją.

Devintoje klasėje apibrėžiami panašieji daugiakampiai ir jų panašumo koeficientas, o mokiniai mokosi rasti panašiųjų trikampių ir keturkampių nežinomas kraštines, sudarydami proporcijas. Čia verta žinoti vieną skirtumą nuo trikampių. Trikampiai yra panašūs, jei du vieno trikampio kampai lygūs dviem kito trikampio kampams. Keturkampiams to neužtenka: kvadratas ir stačiakampis, kurio kraštinės 2 ir 4 cm, turi lygius kampus, bet panašūs nėra. Proporcingų kraštinių taip pat neužtenka: kvadratas ir rombas, kurių kraštinės vienodo ilgio, panašūs tik tada, kai rombo kampai statūs, tai yra kai rombas pats yra kvadratas. Keturkampiai panašūs tik tada, kai jų atitinkami kampai lygūs ir atitinkamos kraštinės proporcingos.

Per 2026 m. PUPP šiai temai buvo skirtas 11-asis uždavinys, vertas 1 taško. Duoti panašieji keturkampiai ABCD ir KLMN, žinomos visos keturios pirmojo keturkampio kraštinės (10, 14, 18 ir 30) ir ilgiausia antrojo keturkampio kraštinė KN = 15; reikėjo rasti trumpiausią kraštinę KL. Panašumo koeficientas lygus 30 : 15 = 2, todėl KL = 10 : 2 = 5. Kaip sudaryti ir spręsti proporcijas, aiškinome straipsnyje apie proporcijas ir santykius.

Dešimta klasė: įbrėžtinis ir apibrėžtinis keturkampis

Dešimtoje klasėje supažindinama su įbrėžtiniais ir apibrėžtiniais daugiakampiais, o mokiniai mokosi pagrįsti ir taikyti įbrėžtinio ir apibrėžtinio keturkampio savybes. Pačios savybės trumpos. Keturkampio, kurio visos viršūnės yra apskritime (įbrėžtinio keturkampio), priešingų kampų suma lygi 180°. Keturkampio, kurio visos kraštinės liečia apskritimą (apibrėžtinio keturkampio), priešingų kraštinių sumos lygios.

Painiava kyla dėl žodžių. Pavadinimas apibūdina keturkampį, o ne apskritimą. Jei uždavinyje parašyta, kad apie keturkampį apibrėžtas apskritimas, pats keturkampis yra įbrėžtinis. Jei parašyta, kad į keturkampį įbrėžtas apskritimas, keturkampis yra apibrėžtinis. Kitaip tariant, sąlygoje pavartotas žodis yra priešingas savybės pavadinimui. Per 2026 m. PUPP tokių uždavinių buvo du, abu verti po 1 tašką. Pirmajame iš jų, 24-ajame, apie keturkampį ABCD buvo apibrėžtas apskritimas, o kampų A ir C didumų skirtumas buvo lygus 30°. Taikant įbrėžtinio keturkampio savybę, gaunama A + C = 180°, todėl A = (180° + 30°) : 2 = 105°. Antrajame, 30-ajame, į keturkampį buvo įbrėžtas apskritimas, jo perimetras buvo lygus 30 cm, o dvi trumpiausios kraštinės — 6,2 ir 6,8 cm. Taikant apibrėžtinio keturkampio savybę, gaunama, kad kiekvienos poros priešingų kraštinių suma lygi 15 cm, todėl ilgiausia kraštinė, priešinga 6,2 cm kraštinei, lygi 15 − 6,2 = 8,8 cm. Visas sąlygas ir sprendimus galima rasti Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) paskelbtame 2026 m. PUPP užduoties aptarime.

Iš tos pačios savybės išplaukia atsakymas į klausimą, kuris suklaidino tyrimo dalyvius Škotijoje. Lygiagretainio priešingi kampai lygūs, o įbrėžtinio keturkampio priešingų kampų suma lygi 180°, todėl kiekvienas tų kampų turi būti 90°. Į apskritimą galima įbrėžti lygiagretainį, bet tik stačiakampį. O apskritimą galima įbrėžti tik į tokį lygiagretainį, kuris yra rombas, nes tik tada priešingų kraštinių sumos lygios. Tai geras pavyzdys, kaip septintos klasės keturkampių šeima praverčia dešimtoje.

Prieš PUPP verta dirbti nuosekliai. Pavyzdžiui, 10 klasės matematikos pagrindų stiprinimo uždavinyne yra 287 uždaviniai, tarp jų geometrijos, plotų ir tūrių, o atskirame 185 puslapių faile — sprendimai su detalia eiga. Vaidoto Mockaus 10 klasės PUPP užduočių pavyzdžiai yra naujas leidinys pagal atnaujintą programą, o to paties autoriaus 5–10 klasių kurso kartojimo uždaviniai su atsakymais padės prieš patikrinimą pakartoti visą pagrindinės mokyklos kursą. Tiems, kurie siekia daugiau nei pagrindų, sudarytas 10 klasės uždavinynas „siekiantiems daugiau“ — 359 uždaviniai su išsamiais sprendimais. Daugiau medžiagos rasite PUPP matematikos skiltyje, o apie tai, kiek taškų reikia ketvertui, rašėme straipsnyje apie PUPP vertinimą 2027 m.

Ką duoda formulių lapas: nė vienos keturkampio ploto formulės

Per matematikos PUPP dešimtokas gauna išspausdintą formulių rinkinį, kuris yra patikrinimo užduoties aprašo priedas. Jame yra greitoji daugyba, laipsniai ir šaknys, sudėtiniai procentai, kvadratinės lygties sprendinių ir kvadratinio trinario skaidymo dauginamaisiais formulės, tiesės lygtis ir parabolės viršūnės abscisė, trigonometrija su sinusų ir kosinusų teoremomis, penkios trikampio ploto formulės, skritulio išpjovos formulės ir daugiakampio kampų sumos formulė 180° · (n − 2). Įrašę n = 4, gausite 360°. Tai vienintelė eilutė, tiesiogiai susijusi su keturkampiais. Nėra nei stačiakampio, nei lygiagretainio, nei trapecijos, nei rombo ploto formulių, nėra lygiagretainio savybių, trapecijos vidurio linijos, įbrėžtinio ir apibrėžtinio keturkampio savybių.

Brandos egzamino formulių rinkiniuose padėtis tokia pati. Matematikos VBE bendrojo ir išplėstinio kurso 2026 m. rinkiniuose yra trikampio ir erdvinių kūnų formulės, bet nėra nė vienos keturkampio formulės ir net daugiakampio kampų sumos formulės, kuri dar yra dešimtoko lape. Kurios formulės duodamos per kurį patikrinimą, išsamiai palyginome straipsnyje apie egzaminų formulynus.

Ar tai reiškia, kad keturkampių formules per patikrinimą reikia išvesti? Nebūtinai. PUPP vertinimo gairėse nurodyta, kad formulę ar taisyklę, kuri yra formulių lape arba matematikos pagrindinio ugdymo bendrojoje programoje, mokinys gali taikyti iš karto, įrašydamas skaičius ir neužrašydamas jos simboliais. Lygiagretainio ir trapecijos ploto formulės programoje pagrindžiamos septintoje klasėje, todėl jas galima tiesiog taikyti, bet tik tada, kai mokinys jas prisimena. Rombo ploto formulės per įstrižaines programa atskirai nemini, todėl ją sprendime saugiau užrašyti simboliais arba rombo plotą skaičiuoti kaip lygiagretainio. Jei formulė pamiršta, išeitis yra lape esanti trikampio ploto formulė: bet kurį keturkampį įstrižaine galima padalyti į du trikampius ir sudėti jų plotus. Kaip sprendimas vertinamas taškais, aiškinome straipsnyje apie vertinimo instrukciją.

Per patikrinimą formulių lapas duodamas, o kasdien mokantis visos taisyklės po ranka gali būti Mockaus matematikos formulių ir taisyklių rinkinyje, kuriame formulės pateiktos su taikymo pavyzdžiais, arba trumpoje matematikos atmintinėje.

Gimnazijoje keturkampiai grįžta kitose temose

Gimnazijoje keturkampiai nebėra atskira tema, bet niekur nedingsta. Vektoriai, su kuriais susipažįstama jau aštuntoje klasėje, sudedami ir pagal lygiagretainio taisyklę, kurią išplėstinio kurso III gimnazijos klasės programa primena dar kartą. IV gimnazijos klasės stereometrijoje nagrinėjami erdvinių kūnų pjūviai: pavyzdžiui, bendrajame kurse mokomasi brėžinyje pavaizduoti taisyklingosios keturkampės prizmės ir taisyklingosios keturkampės piramidės įstrižinius pjūvius. O išplėstinio kurso IV gimnazijos klasės integralų temoje atsiranda kreivinė trapecija — figūra, kurią iš viršaus riboja funkcijos grafikas, iš apačios abscisių ašis, o iš šonų dvi vertikalios tiesės. Jos plotas skaičiuojamas integralu. Pati idėja paprasta: plotas apytiksliai pakeičiamas daugelio siaurų stačiakampių plotų suma, o didinant stačiakampių skaičių ši suma artėja prie integralo. Plačiau rašėme straipsniuose apie integralus ir stereometriją.

Vienuoliktokams, kurie mokosi išplėstiniu kursu, skirta Mockaus pasirengimo VBE pirmajai daliai medžiaga su teminiais uždaviniais ir egzamino užduočių pavyzdžiais. Dvyliktokams, besimokantiems išplėstiniu kursu, pravers to paties autoriaus 12 klasės uždavinynas, išleistas dviem dalimis: pirmojoje dalyje yra 2 700, o antrojoje — 2 500 uždavinių su atsakymais, skirtų kurso žinioms įtvirtinti ir antrajai VBE daliai pasiruošti. Daugiau brandos egzamino medžiagos rasite matematikos VBE skiltyje.

Kaip namuose patikrinti, ar vaikas keturkampius supranta

Geometrijoje vaikas gali atpažinti figūrą ir vis tiek nežinoti, kuo ji skiriasi nuo kitų. Todėl vietoj klausimo „kaip vadinasi ši figūra?“ verta klausti to, į ką atsakyti galima tik žinant savybes. Nupieškite kvadratą, pasuktą 45 laipsnių kampu, ir paklauskite, kas tai. Jei vaikas atsako „rombas“, jis teisus, bet tik iš dalies: tai vis dar kvadratas, nes pasukus figūrą nepasikeičia nei jos kampai, nei kraštinės. Paklauskite, ar kvadratas yra stačiakampis, ir paprašykite pagrįsti atsakymą. Geras atsakymas remiasi savybėmis: jei visi keturi kampai statūs, figūra yra stačiakampis.

Vyresniems vaikams klausimai gali būti sudėtingesni. Ar lygiagretainis gali turėti tik vieną statųjį kampą? Ne, nes gretimų kampų suma lygi 180°, o priešingi kampai lygūs, todėl vienas statusis kampas reiškia, kad statūs visi keturi. Kokio lygiagretainio visos viršūnės gali būti viename apskritime? Tik stačiakampio. Kodėl lygiagretainio ploto negalima apskaičiuoti, kai žinomos tik jo kraštinės — 6 ir 4 cm? Todėl, kad trūksta aukštinės arba kampo: rėmelio bandymas parodė, kad su tomis pačiomis kraštinėmis plotas gali būti bet koks nuo beveik nulio iki 24 cm². Jei vaikas atsako teisingai, bet negali paaiškinti kodėl, tai ne nesėkmė, o tema kitam pokalbiui. Trumpi, bet reguliarūs pasitikrinimai čia naudingesni už vieną ilgą kartojimą prieš kontrolinį — kodėl, aiškinome straipsnyje apie matematikos testus savikontrolei.

Kada verta kreiptis į korepetitorių

Pagalbos iš šalies verta ieškoti tada, kai ta pati klaida kartojasi kelias savaites: vaikas moka formulę, bet lygiagretainio plotą skaičiuoja sudaugindamas kraštines, nemato aukštinės, kai figūra pasukta, arba per kontrolinius praranda geometrijos taškus, nors algebra sekasi. Geometrijoje spraga gali slypėti ankstesnėje klasėje. Dešimtokui, kuriam nesiseka įbrėžtinis keturkampis, gali trūkti devintos klasės žinių apie įbrėžtinius ir centrinius kampus arba septintos klasės žinių apie lygiagretainio savybes, o septintokui, kuris klysta skaičiuodamas trapecijos plotą, — pradinių klasių supratimo, kas apskritai yra plotas. Kodėl geometrija kai kuriems vaikams sunkesnė už algebrą, aiškinome atskirame straipsnyje.

Edtalk platformoje galite rasti matematikos korepetitorių pagal klasę ir tikslą: pavyzdžiui, 7 klasei, kai apibrėžiamos keturkampių rūšys ir pagrindžiamos ploto formulės, 8 klasei prieš NMPP arba 10 klasei prieš PUPP. Per tokias pamokas nebūtina kartoti viso kurso: užtenka imtis konkrečios temos, kuri nesiseka, ir išspręsti kelis uždavinius iš eilės, kol sprendimas taps aiškus.