Dvidešimt keturių mokinių klasė parašė kontrolinį. Mokytoja sako, kad klasės vidurkis yra 7,4. Tėvų susirinkime kažkas priduria, kad pusė klasės parašė geriau nei 7,5. O kažkas trečias pastebi, kad dažniausiai buvo rašomi aštuonetai. Nė vienas iš jų nemeluoja ir nė vienas nesuklydo skaičiuodamas — jie tiesiog pasakė tris skirtingus skaičius apie tą patį kontrolinį, o mokykliniame kurse tie skaičiai turi tris atskirus pavadinimus: vidurkis, mediana ir moda.
Šios trys sąvokos priklauso tai mokyklinės matematikos daliai, kurią vaikas praeina per kelias pamokas šeštoje klasėje, o paskui su ja susiduria visą likusį gyvenimą — skaitydamas naujienas apie atlyginimus, žiūrėdamas į savo pažymių suvestinę ar spręsdamas brandos egzamino antrosios dalies uždavinį. Painiava beveik visada kyla ne dėl skaičiavimo: modą ir medianą surasti lengva. Sunku yra atsakyti į kitą klausimą — kurį iš trijų skaičių verta imti, kai jie nesutampa.
Šiame tekste surinkta tai, kas mokykloje išbarstoma nuo pirmos klasės iki dvyliktos: ką tiksliai reiškia kiekvienas iš trijų skaičių, kaip juos rasti ne iš tvarkingos eilutės, o iš dažnių lentelės, kurioje klasėje kiekvienas iš jų atsiranda ir kodėl mediana aštuntoje klasėje kurį laiką vadinama visai kitu žodžiu. Pabaigoje — kiek ši sritis sveria per patikrinimus ir egzaminus, nes atsakymas nustebina.
Trys skaičiai atsako į tą patį klausimą
Visos trys sąvokos yra atsakymai į klausimą „koks čia tipinis dydis?“. Kai duomenų daug, žmogus nenori matyti visų skaičių — jis nori vieno, kuris atstotų visą rinkinį. Matematikoje tokie skaičiai vadinami duomenų centro charakteristikomis, ir mokykliniame kurse jų yra trys, nes žodį „tipinis“ galima suprasti trimis skirtingais būdais.
Vidurkis atsako į klausimą, kiek tektų kiekvienam, jeigu viską pasidalytume po lygiai. Mediana atsako į klausimą, kas stovi eilės viduryje, kai visi išsirikiuoja pagal dydį. Moda atsako į klausimą, kas pasitaiko dažniausiai. Tai trys skirtingi klausimai, todėl trys skirtingi atsakymai yra ne klaida, o normali padėtis. Atnaujintoje matematikos bendrojoje programoje šeštos klasės turinyje tai pasakyta tiesiai: aptariama, kuo svarbi kiekviena šių charakteristikų ir kaip jos viena kitą papildo.
Vidurkis: kiek tektų kiekvienam, jeigu pasidalytume po lygiai
Aritmetinis vidurkis randamas sudėjus visus duomenis ir sumą padalijus iš duomenų kiekio. Pažymiams 9, 8, 10, 7 vidurkis yra 34 : 4, tai yra 8,5. Veiksmas paprastas, ir būtent dėl to vidurkis mokykloje vartojamas dažniausiai — jį moka apskaičiuoti kiekvienas penktokas.
Bendrojoje programoje vidurkis atsiranda penktoje klasėje, ir formuluotė ten netikėtai atsargi: išsiaiškinama, kuomet galima apskaičiuoti duomenų vidurkį ir kokia gautos skaitinės reikšmės prasmė. Toje pačioje pastraipoje kalbama apie kokybinius ir kiekybinius duomenis, tai yra apie tai, kad ne visi surinkti duomenys yra skaičiai. Vidurkį galima skaičiuoti tik tada, kai duomenys yra skaičiai ir kai jų sudėtis turi prasmę. Mėgstamiausios spalvos vidurkio nėra ir negali būti.
Antroji vidurkio savybė svarbesnė už ką tik minėtą: vidurkis jaučia kiekvieną duomenį. Pakeitus bet kurį vieną skaičių, vidurkis pajuda. Tai jo stiprybė, kai duomenys išsidėstę tolygiai, ir jo silpnybė, kai tarp jų pasitaiko vienas labai išsiskiriantis.
Mediana: skaičius, kuris stovi eilės viduryje
Mediana randama dviem žingsniais. Pirma, visi duomenys surašomi didėjimo tvarka — šio žingsnio praleidimas yra dažniausia klaida visoje temoje. Antra, imamas vidurinis skaičius. Jeigu duomenų yra nelyginis skaičius, vidurinis duomuo yra vienas, ir jis ir yra mediana. Jeigu duomenų yra lyginis skaičius, viduryje stovi du, ir mediana yra jų aritmetinis vidurkis.
Pažymiams 7, 8, 8, 9, 10 duomenų yra penki, vidurinis — trečiasis, taigi mediana lygi 8. Pažymiams 6, 7, 8, 9 duomenų yra keturi, viduryje stovi 7 ir 8, todėl mediana yra 7,5. Atkreipkite dėmesį, kad antruoju atveju mediana nėra nė vienas iš gautų pažymių — mediana neprivalo sutapti su tikra duomenų reikšme.
Svarbiausia medianos savybė yra priešinga vidurkio savybei: medianai rūpi tik vieta eilėje, o ne skaičiaus didumas. Todėl vienas labai mažas arba labai didelis duomuo medianos beveik nejudina. Būtent dėl to viešoje statistikoje atlyginimai dažniau nurodomi mediana nei vidurkiu: keli labai dideli atlyginimai vidurkį pakelia taip, kad jis nustoja apibūdinti daugumą.
Moda: reikšmė, kuri pasikartoja dažniausiai
Moda yra dažniausiai pasitaikanti duomenų reikšmė. Pažymiams 7, 8, 8, 8, 9, 10 moda yra 8, nes aštuonetas parašytas tris kartus, o kiti pažymiai — po vieną. Skaičiuoti čia nereikia nieko, reikia tik suskaičiuoti, kiek kartų kuri reikšmė pasikartoja.
Dvi modos ypatybės nustebina ir vaikus, ir suaugusiuosius. Pirma, modų gali būti daugiau nei viena: jeigu du skirtingi pažymiai parašyti po tris kartus, o visi kiti rečiau, modos yra dvi. Antra, modos gali ir nebūti — kai kiekviena reikšmė pasitaiko po vieną kartą, dažniausios paprasčiausiai nėra.
Ir dar viena savybė, dėl kurios moda mokyklinėje programoje apskritai reikalinga. Iš trijų charakteristikų tik modą galima nurodyti tada, kai duomenys nėra skaičiai. Klasės mėgstamiausios pamokos vidurkio apskaičiuoti neįmanoma, išrikiuoti mokomųjų dalykų pagal dydį taip pat nepavyks, o pasakyti, kuris dalykas buvo pasirinktas dažniausiai, galima visada. Todėl anketų ir apklausų rezultatai dažnai aprašomi būtent moda.
Vienas pavyzdys, kuriame visi trys skaičiai skirtingi
Grįžkime prie klasės, nuo kurios pradėjome. Tarkime, kontrolinio pažymiai pasiskirstė taip: keturiukas parašytas vienam mokiniui, penketas — dviem, šešetas — keturiems, septynetas — penkiems, aštuonetas — šešiems, devynetas — keturiems, dešimtukas — dviem. Iš viso dvidešimt keturi mokiniai.
Vidurkis randamas kiekvieną pažymį padauginus iš to, kiek kartų jis parašytas, ir sandaugas sudėjus: 4 + 10 + 24 + 35 + 48 + 36 + 20, tai yra 177. Padalijus iš 24 gaunama 7,375, suapvalinus — 7,4. Moda matyti iš karto: dažniausiai rašytas aštuonetas, taigi moda lygi 8. Mediana randama surikiavus visus dvidešimt keturis pažymius ir paėmus dviejų vidurinių vidurkį; dvyliktoje vietoje stovi septynetas, tryliktoje — aštuonetas, todėl mediana yra 7,5.
Taigi tos pačios klasės to paties kontrolinio rezultatas yra 7,4, 7,5 ir 8 — trys teisingi ir trys skirtingi skaičiai. Vidurkį žemiau kitų dviejų nutempė trys žemiausi pažymiai, sudarantys aštuntadalį klasės: vidurkiui jie turi lygiai tiek pat svorio, kiek ir visi kiti, o medianai svarbu tik tai, kad jie stovi eilės pradžioje.
Kodėl vienas trejetas sugadina tik vidurkį
Ta pati savybė daug aiškiau matyti vieno mokinio pažymių eilutėje. Tarkime, per pusmetį mokinys iš matematikos gavo aštuonetą, devynetą, aštuonetą, devynetą, dešimtuką, trejetą ir du devynetus. Vidurkis yra 65 : 8, tai yra 8,125, suapvalinus — 8,1. Mediana — 9, nes surikiavus pažymius viduryje atsiduria du devynetai. Moda taip pat 9, nes devynetas parašytas keturis kartus.
Dabar mintimis pataisykime tą vieną trejetą į devynetą. Vidurkis pakyla nuo 8,1 iki 8,9 — trimis ketvirtadaliais balo. Mediana nepajuda visai: ji kaip buvo, taip ir lieka 9. Moda taip pat nesikeičia. Vienas nesėkmingas darbas persvėrė vieną iš trijų skaičių ir nepalietė kitų dviejų, ir tai nėra vertinimo neteisybė — tai aritmetika.
Iš čia seka praktinė išvada tėvams. Kai atrodo, kad vaiko matematikos lygis geresnis, nei rodo vidurkis, dažnai taip ir yra, tik pasakyti tai reikia ne pojūčiu, o skaičiumi: mediana ir moda tą patį pusmetį apibūdina kitaip ir dažnai tiksliau. Ir atvirkščiai — jeigu mediana irgi žema, vienu nelemtu pažymiu paaiškinti nieko nepavyks, o vertėtų pažiūrėti, kurioje temoje atsivėrė spraga.
Mokykloje jų prašoma rasti ne iš eilutės, o iš dažnių lentelės
Čia slypi didžiausias skirtumas tarp to, ką vaikas randa internete, ir to, ko iš jo prašoma per kontrolinį. Beveik visuose paaiškinimuose duomenys pateikiami tvarkinga eilute, kurią belieka surikiuoti. Bendroji programa formuluoja kitaip: šeštoje klasėje mokoma apskaičiuoti duomenų vidurkį, modą ir medianą iš duomenų (dažnių) lentelės ar stulpelinės diagramos. Eilutės nėra — yra lentelė, kurioje surašyta, kiek kartų kuri reikšmė pasitaikė.
Dėl to keičiasi visi trys skaičiavimai. Vidurkis randamas ne paprasta sudėtimi, o kiekvieną reikšmę padauginus iš jos dažnio, sudėjus sandaugas ir padalijus iš bendro dažnių skaičiaus — būtent taip aukščiau ir buvo gauta suma 177. Moda randama lengviausiai: tai reikšmė, ties kuria lentelėje stovi didžiausias skaičius arba diagramoje — aukščiausias stulpelis. Mediana reikalauja daugiausia dėmesio: reikia eiti per lentelę kaupiant dažnius tol, kol pasiekiama vidurinė vieta.
Būtent ties mediana iš dažnių lentelės strigimas įvyksta dažniausiai, ir jį lengva atpažinti: vaikas paima vidurinį lentelės stulpelį vietoj vidurinio duomens. Ankstesniame pavyzdyje vidurinis lentelės stulpelis yra septynetas, o tikroji mediana — 7,5. Skirtumas atsiranda todėl, kad stulpeliai nėra vienodo „svorio“: už aštuoneto slypi šeši mokiniai, o už keturiuko — vienas, todėl skaičiuoti reikia mokinius, o ne stulpelius. Kai vaikas šią vietą perpranta, tema baigiasi; kol neperpranta, ji atrodo neįveikiama.
Kurioje klasėje kiekvienas iš šių žodžių atsiranda
Duomenų ir tikimybių sritis prasideda pačioje pirmoje klasėje ir tęsiasi iki dvyliktos, o naujos sąvokos joje atsiranda daug lėčiau, nei tikisi dauguma tėvų. Žemiau — ką kiekviena klasė šiai sričiai prideda pagal atnaujintos bendrosios programos mokymo(si) turinį.
| Klasė | Kas atsiranda duomenų srityje |
|---|---|
| 1 | Kas yra duomenys, piktograma, stulpelinė diagrama (renkama iki 20 duomenų) |
| 2 | Pirminiai ir antriniai duomenys, dažnių lentelė, diagramos padala 2, 5 ar 10 vienetų |
| 3 | Diagramos, kurių padala nelygi vienetui; duomenų rūšiavimas pagal požymį |
| 4 | Linijinė ir skritulinė diagrama, viso tyrimo pristatymas |
| 5 | Vidurkis ir klausimas, kada jį apskritai galima skaičiuoti |
| 6 | Moda ir mediana; visi trys skaičiai randami iš dažnių lentelės ar stulpelinės diagramos |
| 7 | Populiacija ir imtis, reprezentatyvioji imtis, atsitiktinė atranka |
| 8 | Kvartiliai, stačiakampė diagrama su „ūsais“, histograma, išskirties sąvoka |
| 9 (I gimn.) | Sklaidos (taškinės) diagramos, tiesinė koreliacija |
| 10 (II gimn.) | Dispersija, standartinis nuokrypis, skirstiniai; moda ir mediana grįžta |
Žemėlapis atskleidžia tai, ko iš vadovėlio nematyti: žodžiai „moda“ ir „mediana“ programos turinyje įvardijami šeštoje klasėje, o kitą kartą pasirodo tik dešimtos (II gimnazijos) klasės aprašyme, ir ten jau ne kaip nauja tema, o skliausteliuose, tarp duomenų centro charakteristikų, kurias mokinys esą turi žinoti. Tarp šių dviejų taškų — ketveri metai.
Ketveri metai, kai mediana vadinama kitu vardu
Tai nereiškia, kad mediana keturiems metams dingsta. Aštuntoje klasėje mokoma apskaičiuoti pirmąjį, antrąjį ir trečiąjį kvartilius ir nubraižyti stačiakampę diagramą su „ūsais“. Antrasis kvartilis ir yra mediana — tas pats skaičius, tik kitu pavadinimu, nes kvartiliai dalija surikiuotus duomenis į keturias dalis, o antrasis pjūvis eina lygiai per vidurį. Paties žodžio „mediana“ aštuntos klasės turinyje nėra.
Tame pačiame aštuntos klasės turinyje apibrėžiama ir išskirties sąvoka — stipriai iš kitų išsiskiriantis duomuo — ir mokoma interpretuoti rezultatus, kai išskirčių yra. Išskirtis kaip tik ir yra priežastis, dėl kurios mediana apskritai reikalinga: tai ji lieka ramiai stovėti, kai vienas keistas skaičius nutempia vidurkį. Programoje šios dvi sąvokos stovi greta, bet žodis „mediana“ šiame turinyje nebevartojamas, todėl ryšys tarp jų lieka neištartas.
Praktinė to pasekmė paprasta. Jeigu aštuntokas sako, kad kvartilių nesupranta, dažnai pakanka priminti, ką jis darė šeštoje klasėje: antrasis kvartilis yra tas pats vidurinis skaičius, kurį jis tada vadino mediana. Šis vienas sakinys temą atrakina greičiau nei bet kuris uždavinys, ir dėl to aštuntos klasės medžiagą verta kartoti kartu su šeštos klasės sąvokomis, o ne atskirai.
Kiek ši sritis sveria per patikrinimus ir egzaminus
Bendrojoje programoje pateiktos kiekvieno išorinio patikrinimo užduoties struktūros lentelės, kuriose turinio sritims paskirstyti taškų procentai. Duomenų ir tikimybių srities kelias per tuos patikrinimus atrodo taip.
| Patikrinimas | Duomenys ir tikimybės, taškų proc. |
|---|---|
| NMPP, 4 klasė | 10 |
| NMPP, 8 klasė | 10 |
| PUPP, 10 (II gimnazijos) klasė | 5 |
| VBE pirmoji dalis (bendrasis ir išplėstinis kursas) | srities lentelėje nėra |
| VBE antroji dalis (bendrasis ir išplėstinis kursas) | 15 |
Skaičiai lentelėje yra orientaciniai — pati programa nurodo, kad užduotyje galima iki 5 procentų paklaida. Bet kryptis aiški ir ji nemaloni. Sritis, kuri ketvirtoje ir aštuntoje klasėje verta dešimtadalio taškų, dešimtoje klasėje nusileidžia iki dvidešimtosios dalies, iš brandos egzamino pirmosios dalies lentelės dingsta visai, o antrojoje dalyje pasirodo su didžiausia dalimi iš visų šių lentelių — penkiolika procentų. Tai reiškia, kad momentas, kai duomenų temą labiausiai norisi nurašyti, yra dvejais metais anksčiau už momentą, kai ji sveria daugiausiai.
Verta pridurti, kad vidurkis, mediana ir moda yra tik dalis duomenų srities — joje dar yra diagramos, imtys ir tikimybės. Kodėl mokiniai šios srities taškų netenka tyliausiai, nors pati sritis laikoma lengva, aprašyta atskirame tekste apie statistiką ir tikimybes mokykloje. Visos patikrinimų ir egzaminų datos skelbiamos atskirai.
Pažymių vidurkis nėra tas pats, kas pusmečio pažymys
Kadangi vidurkis tėvams dažniausiai pasitaiko elektroniniame dienyne, verta pasakyti aiškiai. Dienyne rodomas skaičius ir pusmečio pažymys yra du skirtingi dalykai, ir nesutapimas tarp jų beveik niekada nėra klaida: mokykla gali taikyti svertinį vidurkį, kuriame skirtingų darbų svoris nevienodas, o galutinį sprendimą priima pagal savo pačios vertinimo tvarką. Kaip tiksliai tai veikia, aprašyta tekste apie tai, kaip išvedamas pusmečio pažymys.
Šiame tekste aptariamos trys charakteristikos yra matematikos, o ne vertinimo sąvokos. Jos tinka bet kuriems duomenims — pažymiams, ūgiams, kainoms, apklausos atsakymams — ir kaip tik todėl jomis verta naudotis namuose: joms nereikia nei dienyno, nei mokytojo, nei sutarties su mokykla. Pakanka aštuonių skaičių ir dviejų minučių.
Todėl, pamatę bet kurį vidurkį — savo vaiko, klasės ar paskelbtą naujienose, — verta mintyse užduoti tris klausimus:
- Iš kiek duomenų jis apskaičiuotas? Keturių pažymių vidurkis ir keturiasdešimties atlyginimų vidurkis yra nevienodai patikimi.
- Ar tarp duomenų nėra išskirties? Jei yra, mediana pasakys daugiau.
- Ar duomenys apskritai yra skaičiai? Jei ne, prasmę turi tik moda.
Ką su tuo daryti namuose
Ši tema yra viena iš nedaugelio mokyklinės matematikos vietų, kurias galima išmokti be jokio vadovėlio — užtenka savo duomenų. Paprašykite vaiko surašyti, kiek minučių per pastarąsias septynias dienas jis skyrė namų darbams, ir rasti vidurkį, medianą bei modą. Skaičiai bus jo paties, todėl klausimas „kuris iš trijų tiksliau apibūdina savaitę?“ nustos būti abstraktus. Jeigu viena diena buvo labai ilga, vaikas savo akimis pamatys, ką išskirtis daro vidurkiui.
Kai reikia ne pokalbio, o sprendimo, tinka rinkiniai, kuriuose uždaviniai sudėlioti pagal temas, o ne pateikiami atsitiktine tvarka. Šeštokams — o būtent toje klasėje moda ir mediana ir atsiranda — tinka 6 klasės matematikos kurso teminiai uždaviniai, o prieš klasės pasiekimų patikrinimą — 6 klasės matematikos patikrinimo rinkinys. Septintokams, kurie jau nagrinėja imtis ir atranką, skirti 7 klasės teminiai uždaviniai dviem analogiškais variantais — antrasis variantas leidžia tą pačią temą pasitikrinti dar kartą po savaitės.
Aštuntokui, kuriam kvartiliai ir išskirtys ateina kartu su pasirengimu nacionaliniam patikrinimui, tinka 5–8 klasių kurso kartojimo sąsiuvinis su 8 klasės NMPP užduotimis, o norint viso progimnazijos kurso vienoje vietoje — 5–8 klasių teminio kartojimo uždaviniai. Dešimtokams ši sritis PUPP užduotyje verta penkių procentų, bet kartoti reikia viso kurso, todėl tinka 5–10 klasių teminio kartojimo uždaviniai su atsakymais ir 10 klasės pagrindų stiprinimo uždavinynas; PUPP formato pavyzdžiai pagal atnaujintą programą surinkti PUPP matematikos skiltyje.
Abiturientui padėtis apsiverčia: brandos egzamino antrojoje dalyje duomenų sritis sveria daugiau nei bet kuriame ankstesniame patikrinime, todėl jos nurašyti nebegalima. Teminiam kartojimui tinka VBE kurso teminio kartojimo medžiagos antroji dalis, o realaus formato užduotims — VBE antrosios dalies užduočių pavyzdžiai; likusi medžiaga sudėta VBE matematikos skiltyje. Formuluotes, kurias verta turėti šalia sprendžiant, galima laikyti atsivertus matematikos atmintinę arba formulių ir taisyklių rinkinį, o skaičiavimams per PUPP leidžiama naudotis skaičiuotuvu — patikrinimo apraše jis įvardytas tarp priemonių kartu su išspausdintu formulių rinkiniu.
Jeigu paaiškėja, kad problema ne šioje temoje, o keliose iš karto, greičiausias būdas tai išsiaiškinti yra viena pamoka su žmogumi, kuris pereina visą sritį ir pasako, kur iš tikrųjų trūksta pagrindo. Matematikos korepetitorių galima rinktis pagal klasę ir temą, o pamokas pagal konkretų leidinį — tada, kai uždavinynas jau nupirktas ir tereikia, kad kas nors per jį vaiką pravestų.
