Darbo uždaviniai: našumas, bendras darbas ir kodėl laikų sudėti negalima

Darbo uždaviniai — tai tekstiniai uždaviniai apie tai, kas, kokiu tempu ir per kiek laiko atlieka tam tikrą darbą: pripildo baseiną, atspausdina detales, nudažo tvorą ar išleidžia turimus pinigus. Visus juos sieja viena formulė — darbas lygus našumui, padaugintam iš laiko, — ir viena taisyklė, kurią mokiniai pažeidžia dažniausiai: dirbant kartu sudedami ne laikai, o našumai. Jei pirmasis vamzdis baką pripildo per 6 valandas, o antrasis — per 3, abu kartu užtruks ne 9 ir ne 4,5, o 2 valandas.

Šiame straipsnyje žingsnis po žingsnio paaiškiname, kaip spręsti darbo uždavinius: nuo vieno atlikėjo iki bendro darbo, nuo pildymo ir išleidimo iki uždavinių, kuriuose nežinomas pats našumas ir tenka sudaryti lygtį. Visi pavyzdžiai išspręsti iki galo ir patikrinti, o prie kiekvieno tipo nurodome, kokių žinių jam reikia. Taip pat parodome, kaip tokie uždaviniai pateikiami aštuntokų nacionaliniame mokinių pasiekimų patikrinime (NMPP): ten jie paslėpti po kitais žodžiais, o dalis klaidingų atsakymų variantų sutampa su tipinėmis klaidomis.

Įdomu, kad pagrindinio ugdymo matematikos bendrojoje programoje darbo uždaviniai atskirai nė karto neminimi. Judėjimo uždaviniams penktoje klasėje skirtas atskiras punktas, o darbo uždaviniams reikalingos žinios išsibarsčiusios po kitas temas: reikia trupmenų, septintoje klasėje nagrinėjamo atvirkštinio proporcingumo ir lygčių, kurios sudėtingėja iki pat dešimtos klasės racionaliųjų lygčių. Todėl darbo uždavinys dažnai išryškina ne naują, o seną spragą: mokinys, kuriam sunku sudėti 1/6 ir 1/3, neišspręs ir paprasčiausio bendro darbo uždavinio. Kelio, greičio ir laiko uždavinius aptarėme atskirame straipsnyje apie judėjimo uždavinius — darbo uždaviniai yra artimiausi jų giminaičiai.

Darbo formulė: darbas, našumas ir laikas

Kiekviename darbo uždavinyje yra trys dydžiai. Darbas — tai, kas turi būti atlikta: pagamintų detalių skaičius, nudažytas plotas, pripiltas vandens kiekis ar tiesiog „visas darbas“. Našumas — kiek darbo atliekama per laiko vienetą, pavyzdžiui, detalės per valandą, kvadratiniai metrai per dieną ar baseino dalis per valandą. Laikas — kiek truko darbas. Pažymėję darbą raide A, našumą — N, o laiką — t, gauname formulę A = N · t. Iš jos gaunamos ir kitos dvi: N = A : t ir t = A : N.

Ši formulė yra ta pati kelio formulė, tik užrašyta kitais žodžiais: kelias atitinka darbą, greitis — našumą, o laikas lieka laiku. Vadinasi, mokinys, kuris jau sprendžia judėjimo uždavinius, darbo uždaviniuose gali taikyti tuos pačius būdus. Terminas „darbo našumas“ vartojamas ir ekonomikoje: Visuotinė lietuvių enciklopedija nurodo, kad darbo našumas matuojamas arba produkcijos kiekiu, pagaminamu per tam tikrą laiką, arba laiku, kurio reikia vienam produkcijos vienetui pagaminti. Uždaviniuose pasitaiko abu variantai: kartais pasakyta, kiek pagaminama per valandą, o kartais — per kiek laiko pagaminamas vienas vienetas.

Paprasčiausias pavyzdys. Dažytojas per valandą nudažo 6 m² tvoros. Kiek laiko jis dažys 45 m² tvorą? Čia darbas lygus 45 m², našumas — 6 m² per valandą, todėl t = 45 : 6 = 7,5 valandos, t. y. 7 valandos 30 minučių. Toks uždavinys sprendžiamas vienu veiksmu. Sunkumai prasideda tada, kai darbo kiekis nenurodytas.

Kai darbo kiekis nežinomas: visas darbas lygus vienetui

Daugelyje uždavinių neparašyta, kiek litrų telpa į baką ar kiek detalių reikia pagaminti, — nurodyta tik tai, per kiek laiko darbą atlieka kiekvienas atlikėjas. Tada visą darbą patogu laikyti vienetu. Jei vamzdis baką pripildo per 6 valandas, per vieną valandą jis pripildo 1/6 bako, per dvi valandas — 2/6, t. y. trečdalį, o per n valandų — n/6 bako. Kitaip tariant, atlikėjo, kuris visą darbą atlieka per t valandų, našumas lygus 1/t darbo per valandą.

Šis žingsnis vaikams dažnai atrodo keistas, nes darbas, „lygus vienetui“, skamba kaip skaičius be prasmės. Padeda paprastas paaiškinimas: tai tas pats, kas pasakyti „visas bakas“ arba „visa tvora“. Bako tūris atsakymui įtakos neturi. Jei į baką tilptų 600 litrų, pirmasis vamzdis per valandą įpiltų 100 litrų, ir skaičiuojant litrais gautume tą patį atsakymą. Naudinga vieną uždavinį išspręsti dviem būdais — su sugalvotu tūriu ir su vienetu. Patogiausia tūriu pasirinkti duotų laikų bendrąjį kartotinį, tada visi našumai išeina sveikaisiais skaičiais. Kai vaikas pamato, kad atsakymas nepasikeitė, vienetas nustoja būti paslaptimi.

Bendras darbas: sudedami našumai, ne laikai

Pagrindinis bendro darbo uždavinys atrodo taip. Pro pirmąjį vamzdį bakas prisipildo per 6 valandas, pro antrąjį — per 3 valandas. Per kiek valandų bakas prisipildys, jei bus atsukti abu vamzdžiai?

Per valandą pirmasis vamzdis pripildo 1/6 bako, antrasis — 1/3, t. y. 2/6 bako. Abu kartu per valandą pripildo 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 bako, todėl visas bakas prisipildys per 2 valandas. Patikrinimas: per 2 valandas pirmasis vamzdis pripildo 2/6, t. y. trečdalį, antrasis — 2/3 bako, o kartu — visą baką. Su sugalvotu 600 litrų tūriu skaičiavimas būtų toks: 100 + 200 = 300 litrų per valandą, o 600 : 300 = 2 valandos.

Šiame uždavinyje dažniausiai pasitaiko trys klaidos, ir visos jos atrodo logiškos. Pirmoji — sudėti laikus: 6 + 3 = 9 valandos. Mokinys galvoja apie dviejų darbų trukmę, nors darbas vienas, o vamzdžiai veikia vienu metu. Antroji — suvidurkinti laikus: (6 + 3) : 2 = 4,5 valandos. Vidurkis atrodo patikimas, nes yra tarp dviejų duotų skaičių, tačiau būtent tai ir išduoda klaidą: dirbant kartu darbas turi būti atliktas greičiau, nei jį atliktų greitesnysis atlikėjas vienas. Trečioji — padalyti darbą perpus: kiekvienas vamzdis pripildo po pusę bako, pirmasis savo pusei sugaišta 3 valandas, antrasis — pusantros. Taip gaunamos 3 valandos, tačiau tai klaida: antrasis vamzdis savo pusę pripildo jau per pusantros valandos ir likusį laiką stovi be darbo, nors galėtų pildyti toliau.

Atsakymą galima įvertinti dar prieš skaičiuojant. Dirbant kartu laikas visada trumpesnis už greitesniojo atlikėjo laiką — šiuo atveju trumpesnis nei 3 valandos. Antra vertus, jis ilgesnis nei pusantros valandos: tiek užtruktų du vamzdžiai, kurie abu būtų tokie pat greiti kaip greitesnysis, o mūsų pirmasis vamzdis lėtesnis. Vadinasi, atsakymas turi būti tarp 1,5 ir 3 valandų, ir 2 valandos į šį intervalą patenka. O štai nė viena klaidinga reikšmė — 9, 4,5 ir net 3 valandos — šio patikrinimo neišlaiko: per 3 valandas baką pripildytų ir vienas greitesnysis vamzdis.

Dviem atlikėjams galima užrašyti ir bendrą formulę: jei vienas darbą atlieka per t₁, o kitas per t₂ valandų, kartu jie užtruks t = t₁ · t₂ : (t₁ + t₂). Mūsų pavyzdyje 6 · 3 : 9 = 2 valandos. Vis dėlto formulę verta mokėti išvesti, o ne kalti atmintinai: trims atlikėjams ji jau netinka, o lygybė 1/t = 1/t₁ + 1/t₂ + 1/t₃ + … tinka bet kuriam atlikėjų skaičiui. Be to, išvedimas užtrunka vos minutę, kai aišku, kad sudedami našumai.

Kai atlikėjų skaičius keičiasi: atvirkštinis proporcingumas

Kitas dažnas tipas — keli vienodi atlikėjai: darbininkai, mašinos ar spausdintuvai. Čia trupmenų nebereikia, užtenka suprasti, kad visas darbas nesikeičia. Būtent toks buvo 2026 m. aštuntokų NMPP matematikos devynioliktasis uždavinys: aštuoni vienodi 3D spausdintuvai visas projektui reikalingas detales kartu atspausdina per parą, t. y. per 24 valandas, o reikia nustatyti, kiek laiko tą patį darbą dirbtų šeši tokie spausdintuvai. Atsakymų variantai buvo 18, 30, 32 ir 48 valandos.

Visą darbą patogu išreikšti vieno spausdintuvo darbo valandomis: 8 · 24 = 192. Padalijus šį darbą šešiems spausdintuvams, gaunama 192 : 6 = 32 valandos. Įdomiausi čia klaidingi variantai. 18 valandų gaunama, jei uždavinys sprendžiamas kaip tiesioginis proporcingumas: spausdintuvų mažiau, vadinasi, ir laiko mažiau (24 · 6 : 8 = 18). 30 valandų gaunama samprotaujant procentais: šešių spausdintuvų yra ketvirtadaliu, t. y. 25 %, mažiau nei aštuonių, todėl laiko esą reikia 25 % daugiau: 24 + 6 = 30. Tačiau spausdintuvų sumažėjus ketvirtadaliu, laikas pailgėja ne ketvirtadaliu, o trečdaliu: 24 + 24 : 3 = 32. Kai darbas nekinta, atlikėjų skaičius ir laikas yra atvirkščiai proporcingi — jų sandauga visada ta pati.

Atvirkštinis proporcingumas pagal bendrąją programą nagrinėjamas septintoje klasėje: mokomasi sudaryti lenteles, kuriose vienam dydžiui kelis kartus padidėjus kitas tiek pat kartų sumažėja, ir susieti jas su uždavinio sąlyga. Programoje pateikti pavyzdžiai — greitis ir laikas, kai kelias pastovus, bei stačiakampio ilgis ir plotis, kai plotas pastovus. Lygiai taip pat elgiasi ir darbininkų skaičius bei darbo trukmė. Svarbi išlyga: taip skaičiuoti galima tik tada, kai atlikėjai vienodi ir vienas kitam netrukdo. Uždavinyje apie spausdintuvus tai užtikrina sąlyga, kad visi spausdintuvai vienodi, o realiame gyvenime dešimt žmonių vienoje mažoje virtuvėje vakarienės dešimt kartų greičiau nepagamins. Kaip apskritai veikia santykiai ir proporcijos, aiškinome straipsnyje apie proporcijas.

Užmaskuotas bendras darbas: pinigai, maistas ir kiti „neįprasti“ darbai

Darbo uždavinys nebūtinai kalba apie darbą. 2024 m. aštuntokų NMPP matematikos teste (I srautas) buvo uždavinys apie mokinį, kuriam turimų pinigų užtektų arba 24 dienas pusryčiauti, arba 12 dienų pietauti. Klausta, kiek daugiausia dienų jis galėtų ir pusryčiauti, ir pietauti, o atsakymų variantai buvo 18, 12, 8 ir 6.

Tai tas pats bendro darbo uždavinys, tik „darbas“ čia — išleisti visus pinigus. Pusryčiams per dieną išleidžiama 1/24 turimų pinigų, pietums — 1/12, t. y. 2/24. Kartu per dieną išleidžiama 3/24 = 1/8 pinigų, todėl jų užteks 8 dienoms. O pirmasis variantas, 18, yra lygiai 24 ir 12 vidurkis — atsakymas, kurį gauna laikus vidurkinantis mokinys. Pasirenkamojo atsakymo uždaviniuose klaidingi variantai dažnai sudaromi iš tipinių klaidų, ir abu šie NMPP uždaviniai — geri to pavyzdžiai: teisingai išsprendus, klaidingi variantai net nebeatrodo įtikinami.

2025 m. NMPP teste buvo ir paprastesnis našumo uždavinys: 24 testo uždaviniams skiriama viena valanda, kiekvienam po lygiai, o reikia nustatyti, kiek uždavinių turėtų likti, jei testo laikas sutrumpėtų iki 45 minučių. Našumas čia nesikeičia — keturi uždaviniai per dešimt minučių, — todėl uždavinių skaičius mažėja tiek pat kartų kaip ir laikas: 24 · 45 : 60 = 18. Visų minėtų patikrinimų užduotis galima peržiūrėti Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) svetainėje, o kada vyks artimiausias patikrinimas, rašėme straipsnyje apie NMPP 2027.

O štai per pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimą (PUPP) klasikinio bendro darbo uždavinio pastaraisiais metais nebuvo. Peržiūrėjome 2023–2026 m. pagrindinių sesijų matematikos PUPP užduotis: tekstiniuose uždaviniuose ten vyravo procentai, mišiniai ir tirpalai. Tai nereiškia, kad darbo uždavinių galima nesimokyti. Dešimtoje klasėje, mokantis racionaliųjų lygčių, jie yra vienas klasikinių pavyzdžių, nes nežinomasis juose natūraliai atsiduria vardiklyje. O Vilniaus licėjaus stojamųjų programoje, kaip rašėme straipsnyje apie jo stojamuosius, tekstinių uždavinių sprendimas sudarant lygtis įvardytas atskirai.

Kai darbas vyksta dalimis: vienas pradeda anksčiau arba išeina

Sudėtingesniuose uždaviniuose atlikėjai dirba ne visą laiką kartu. Tada darbas skaidomas į etapus, o po kiekvieno etapo skaičiuojama, kokia darbo dalis jau atlikta ir kiek dar liko.

Pavyzdys. Pro pirmąjį vamzdį bakas prisipildo per 6 valandas, pro antrąjį — per 3 valandas. Pirmą valandą buvo atsuktas tik pirmasis vamzdis, paskui atsuktas ir antrasis. Kiek iš viso laiko truko bako pripildymas? Per pirmąją valandą pripildoma 1/6 bako ir lieka 5/6. Toliau abu vamzdžiai kartu per valandą pripildo 1/2 bako, todėl likusiai daliai prireiks (5/6) : (1/2) = 5/3 valandos, t. y. 1 valandos 40 minučių. Iš viso — 2 valandos 40 minučių. Patikrinimas: pirmasis vamzdis veikė 8/3 valandos (2 valandas 40 minučių) ir pripildė 8/18 = 4/9 bako, antrasis veikė 5/3 valandos ir pripildė 5/9 bako, o kartu 4/9 + 5/9 = 1.

Panašiai sprendžiama, kai vienas atlikėjas darbą baigia anksčiau. Tarkime, abu tie patys vamzdžiai kartu veikė pusvalandį, o paskui antrasis buvo užsuktas. Per pusvalandį jie pripildė 1/2 · 1/2 = 1/4 bako. Likusias 3/4 pirmasis vamzdis pripildys per (3/4) : (1/6) = 4,5 valandos, tad visas darbas truks 5 valandas.

Tokiuose uždaviniuose labai padeda lentelė su trimis stulpeliais: našumas, laikas ir atlikta darbo dalis. Kiekvienoje eilutėje — atlikėjas arba etapas, o atlikta dalis gaunama našumą padauginus iš laiko. Visų eilučių dalių suma turi būti lygi vienetui, ir ši lygybė dažnai ir yra lygtis, kurios reikia uždaviniui išspręsti.

Pildymas ir išleidimas: kai vienas atlikėjas dirba prieš kitą

Baseinų uždaviniuose kartais vienas vamzdis pildo, o kitas tuo pat metu vandenį išleidžia. Tada išleidžiančiojo vamzdžio našumas atimamas. Pavyzdys: pro vamzdį tuščias baseinas prisipildo per 4 valandas, o atidarius išleidimo angą pilnas baseinas ištuštėja per 6 valandas. Jei abu bus atidaryti vienu metu, per valandą bus pripildyta 1/4 − 1/6 = 3/12 − 2/12 = 1/12 baseino, todėl visas baseinas prisipildys per 12 valandų.

Čia verta stabtelėti ir paklausti, ar atsakymas prasmingas. Jei išleidimo anga baseiną ištuštintų ne lėčiau, nei vamzdis jį pripildo, skirtumas būtų lygus nuliui arba neigiamas, ir baseinas niekada neprisipildytų. Toks atsakymas irgi galimas, ir jį reikia mokėti pastebėti. Tai gera proga parodyti vaikui, kad matematinį atsakymą visada verta palyginti su pačia situacija.

Kai našumas nežinomas: sudarome lygtį

Iki šiol našumus galėjome apskaičiuoti tiesiogiai. Kai sąlygoje duoti tik ryšiai tarp jų, nežinomąjį tenka pažymėti raide. Bendrojoje programoje lygtis iš uždavinio sąlygos mokomasi sudaryti nuo šeštos klasės, tiesinių lygčių sistemas — aštuntoje, o trupmenines racionaliąsias lygtis, kurios darbo uždaviniuose atsiranda labai natūraliai, — dešimtoje.

Pavyzdys aštuntokui. Du darbininkai, dirbdami kartu, per 3 dienas pagamino 72 detales. Pirmasis per dieną pagamina 4 detalėmis daugiau nei antrasis. Kiek detalių per dieną pagamina kiekvienas? Pažymėkime antrojo darbininko našumą x detalių per dieną, tada pirmojo našumas lygus x + 4. Kartu per dieną jie pagamina 2x + 4 detales, o per 3 dienas — 3(2x + 4). Gauname lygtį 3(2x + 4) = 72, iš kurios 2x + 4 = 24 ir x = 10. Antrasis darbininkas per dieną pagamina 10 detalių, pirmasis — 14. Patikrinimas: (10 + 14) · 3 = 72. Kaip apskritai sprendžiamos lygtys, čia neaiškiname — tai rasite straipsnyje apie lygčių sprendimą.

Pavyzdys dešimtokui. Du siurbliai, dirbdami kartu, rezervuarą pripildo per 4 valandas. Pirmasis siurblys, dirbdamas vienas, jį pripildytų 6 valandomis greičiau nei antrasis. Per kiek valandų rezervuarą pripildytų kiekvienas siurblys, dirbdamas vienas?

Pažymėkime pirmojo siurblio darbo laiką x valandų, tada antrojo — x + 6 valandos. Jų našumai yra 1/x ir 1/(x + 6) rezervuaro per valandą, o kartu jie per valandą pripildo 1/4 rezervuaro. Gauname lygtį 1/x + 1/(x + 6) = 1/4 (x ≠ 0, x ≠ −6). Padauginę abi puses iš 4x(x + 6), gauname 4(x + 6) + 4x = x(x + 6), t. y. 8x + 24 = x² + 6x ir x² − 2x − 24 = 0. Diskriminantas D = 4 + 96 = 100, todėl x = (2 ± 10) : 2, t. y. x = 6 arba x = −4. Neigiamas laikas prasmės neturi, vadinasi, x = 6: pirmasis siurblys rezervuarą pripildytų per 6, antrasis — per 12 valandų. Patikrinimas: 1/6 + 1/12 = 3/12 = 1/4.

Šiame sprendime yra du atrankos žingsniai. Pirmasis — matematinis: vardikliai negali būti lygūs nuliui, todėl x ≠ 0 ir x ≠ −6; abi gautos reikšmės šią sąlygą tenkina. Antrasis — prasminis: laikas negali būti neigiamas, todėl atsakyme palikti abu sprendinius būtų klaida. Kaip spręsti tokias lygtis ir kodėl nereikia pamiršti apibrėžimo srities, išsamiai aptarėme straipsnyje apie racionaliąsias lygtis, o kvadratinės lygties sprendinių formulę — tekste apie kvadratinių lygčių sprendimą. Beje, kvadratinės lygties sprendinių formulė yra išspausdinta PUPP formulių rinkinyje, o darbo formulės ten nėra. Kartais nežinomuoju patogiau žymėti ne laiką, o našumą: lygtis tada gali išeiti paprastesnė. Prieš pradėdami pagalvokite, kuris pasirinkimas duos mažiau trupmenų.

Kokių žinių reikia kiekvienam uždavinių tipui

Kadangi programoje darbo uždaviniai atskirai neįvardyti, naudinga žinoti, nuo kada mokinys turi visus reikiamus įrankius. Lentelėje nurodome, kada tie įrankiai atsiranda pagal bendrąją programą, o ne tai, kada mokytojas pateiks konkretų uždavinį: vadovėliai ir mokytojai darbo uždavinius įterpia skirtingose vietose.

Iš lentelės matyti, kodėl šie uždaviniai tokie klastingi: vienas ir tas pats siužetas apie du vamzdžius gali būti ir šeštos, ir dešimtos klasės uždavinys. Skiriasi ne istorija, o tai, kas duota ir ko klausiama. Septintos ir aštuntos klasės temas plačiau apžvelgėme gidų serijoje apie matematiką 7 klasėje ir matematiką 8 klasėje.

Kaip treniruotis namuose

Darbo uždaviniams nereikia daug priemonių, bet reikia tvarkos. Prieš skaičiuodamas mokinys turėtų atsakyti sau į keturis klausimus:

• Kas yra visas darbas ir ar jis duotas skaičiumi, ar jį reikia laikyti vienetu?
• Koks kiekvieno atlikėjo našumas per vieną laiko vienetą?
• Ar atlikėjai dirba visą laiką kartu, ar tik dalį laiko, ir ar kuris nors iš jų dirba prieš kitą?
• Tarp kokių ribų turėtų būti atsakymas, kad jis būtų prasmingas?

Labai naudinga darbo uždavinius susieti su buitimi. Vonia, kai atsuktas čiaupas ir kartu ištrauktas kamštis, du žmonės, dažantys tą pačią tvorą, dvi skalbimo mašinos, skalbiančios tą patį skalbinių kalną, — visa tai tie patys uždaviniai. Kai vaikas pats sugalvoja uždavinį ir paaiškina jo sprendimą suaugusiajam, iš karto matyti, ar jis supranta, kodėl sudedami našumai. Jei mokinys stringa ne darbo uždavinyje, o trupmenose, verta grįžti prie veiksmų su trupmenomis, o jei sunku iš teksto sudaryti lygtį, padės straipsnis apie tai, kaip išmokti spręsti matematikos uždavinius. Sprendimą taip pat svarbu užrašyti tvarkingai — kaip tai daryti, aptarėme tekste apie matematikos sprendimo užrašymą.

Su kuo treniruotis: uždavinynai ir bandomieji egzaminai

Kadangi darbo uždaviniai remiasi trupmenomis, proporcingumu ir lygtimis, juos geriausia treniruotis su teminio kartojimo rinkiniais, kuriuose tie patys įgūdžiai pasirodo skirtinguose kontekstuose. Aštuntokams, besiruošiantiems NMPP, tinka Vaidoto Mockaus darbo sąsiuvinis „Pakartokime 5–8 klasės matematikos kursą ir pasirenkime 8 klasės NMPP“: jame dvylika 5–8 klasių kurso kartojimo užduočių, parengtų pagal atnaujintas programas, o visų uždavinių atsakymai pateikti knygos gale. Septintokams, kurių laukia atvirkštinis proporcingumas, skirti Mockaus 7 klasės matematikos kurso teminiai uždaviniai su dviem analogiškais variantais, o norintiems sunkesnių užduočių — stipresnio lygio 7 klasės užduočių rinkinys PDF formatu su atsakymų failu. Jei spragų esama dar iš ankstesnių klasių, padės progimnazijos 5–8 klasių kurso kartojimo uždaviniai, o visus NMPP leidinius rasite parduotuvės NMPP skiltyje.

Aštuntokams, kurie stoja į gimnazijas ir licėjus, verta treniruotis su stojamųjų stiliaus bandomaisiais egzaminais. 9 klasės matematikos bandomųjų egzaminų rinkinyje yra šeši A, B ir C lygio egzaminai su detaliais sprendimais (12 PDF failų). Pradėti patogu nuo C lygio egzamino, skirto pirmajai diagnostikai, o tada pereiti prie B lygio ir sunkiausio A lygio. Ruošiantis konkrečiai mokyklai, yra atskiri bandomieji egzaminai į Vilniaus licėjų ir į Žirmūnų gimnaziją, o visą pasirinkimą rasite stojamųjų egzaminų skiltyje. Kai kurių mokyklų stojamuosiuose matematika sprendžiama tik su paprastu skaičiuotuvu arba, kaip stojant į VGTU inžinerijos licėjaus I gimnazijos klasę, visai be jo, o per NMPP skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Todėl trupmenas teks sudėti ranka — dar viena priežastis nepraleisti darbo uždavinių.

Dešimtoje klasėje darbo uždaviniai sprendžiami racionaliosiomis lygtimis. 10 klasės matematikos pagrindų stiprinimo uždavinyne yra 287 uždaviniai pagal PUPP programą, tarp jų ir tekstiniai, o atskirame faile pateikti sprendimai su eiga žingsnis po žingsnio, tad patogu patikrinti ne tik atsakymą, bet ir sprendimo kelią. Stipresniems mokiniams skirtas uždavinynas „siekiantiems daugiau“ su 359 uždaviniais ir išsamiais sprendimais, o spausdintų knygų mėgėjams — Mockaus pagrindinės mokyklos 5–10 klasių kartojimo uždaviniai su atsakymais. Formulėms pasikartoti praverčia Mockaus matematikos atmintinė, tačiau per NMPP formulių lapo neduodama, o PUPP išduodamame formulių rinkinyje darbo formulės nėra. Vadinasi, A = N · t ir taisyklę apie sudedamus našumus reikia mokėti, o geriausia — suprasti, iš kur jos kyla.

Jei norite, kad sprendimus peržiūrėtų mokytojas, prie B lygio bandomojo egzamino galima užsisakyti 60 minučių individualią pamoką, per kurią aptariamos svarbiausios to egzamino užduotys ir padarytos klaidos. Daugiau pamokų pagal konkretų uždavinyną ar temą rasite korepetitorių paslaugų skiltyje.

Kada verta kreiptis į korepetitorių

Darbo uždaviniuose nuolat kartojasi tos pačios klaidos, todėl jas nesunku pastebėti iš šalies. Jei mokinys vis sudeda laikus, jei trupmenos 1/6 ir 1/9 jam kelia daugiau sunkumų nei pati uždavinio idėja arba jei lygtį iš sąlygos jis sudaro tik pamatęs labai panašų pavyzdį, verta šias vietas peržiūrėti su mokytoju. Neretai pakanka kelių pamokų, kad bendro darbo logika taptų aiški, o tada ją lengva perkelti ir į judėjimo uždavinius. Septintokams tinkamą mokytoją padės rasti matematikos korepetitoriaus 7 klasei puslapis, aštuntokams ir stojantiems į gimnaziją — 8 klasei, devintokams — 9 klasei, dešimtokams prieš PUPP — 10 klasei, o kitų klasių mokiniams — bendras matematikos korepetitorių puslapis.

Trumpai

Darbo uždaviniai remiasi formule A = N · t. Kai darbo kiekis nežinomas, visas darbas laikomas vienetu, o atlikėjo, kuris darbą atlieka per t valandų, našumas lygus 1/t. Dirbant kartu sudedami našumai, ne laikai. Kai visi atlikėjai dirba ta pačia kryptimi (pavyzdžiui, abu vamzdžiai pildo), bendras laikas visada trumpesnis už greičiausiojo atlikėjo laiką. Kai keičiasi vienodų atlikėjų skaičius, laikas kinta atvirkščiai proporcingai, o kai nežinomi našumai ar laikai, sudaroma lygtis — progimnazijoje tiesinė, dešimtoje klasėje racionalioji. Per aštuntokų NMPP tokie uždaviniai pateikiami užmaskuoti, o dalis klaidingų atsakymų variantų, pavyzdžiui, laikų vidurkis, sutampa su tipinėmis klaidomis.