Mišinių ir tirpalų uždaviniai: procentinė koncentracija ir kodėl procentų negalima sudėti

Mišinių ir tirpalų uždaviniai — tai tekstiniai uždaviniai apie tai, kas nutinka sumaišius du skysčius, įpylus į tirpalą vandens, vandeniui išgaravus ar produktą išdžiovinus. Visus juos sieja viena taisyklė: grynosios medžiagos — druskos, riebalų, metalo ar sausosios medžiagos — kiekis pasikeičia tik tada, kai jos įdedama arba išimama, o įpylus ar išgarinus vandens, jis nepasikeičia. Dažna klaida — procentus sudėti arba imti paprastą jų vidurkį. Sumaišius 100 g 18 % ir 150 g 35 % riebumo grietinėlės, gaunama ne 53 % ir ne 26,5 %, o 28,2 % riebumo grietinėlė.

Šiame straipsnyje paaiškiname procentinės koncentracijos formulę ir žingsnis po žingsnio parodome, kaip spręsti pagrindinius šių uždavinių tipus: maišymo, skiedimo, garinimo, džiovinimo ir lydinių. Visi pavyzdžiai išspręsti iki galo ir patikrinti. Atskirai aptariame du pastarųjų metų matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo (PUPP) uždavinius. Ir 2025, ir 2026 metų pagrindinės sesijos užduotyje vienintelis rankiniu būdu vertinamas kelių taškų tekstinis uždavinys buvo būtent mišinio arba tirpalo uždavinys, o jo taškai buvo skiriami už atskirus sprendimo žingsnius.

Kitaip negu darbo uždaviniai, kurie bendrojoje programoje atskirai neminimi, šie uždaviniai programoje įvardyti tiesiogiai. Pagrindinio ugdymo matematikos bendrojoje programoje dešimtai (II gimnazijos) klasei nurodyta: „Sprendžiami su procentais ir dydžių santykiais susiję uždaviniai: džiovinimo ir drėkinimo; sudėtinių procentų; lydinių, mišinių, tirpalų.“ O pagal chemijos programą jau aštuntoje klasėje mokomasi apskaičiuoti medžiagos masės dalį mišinyje ar tirpale, o devintoje sprendžiami tirpalų skiedimo ir maišymo uždaviniai. Kelio, greičio ir laiko uždavinius aptarėme straipsnyje apie judėjimo uždavinius, našumo ir bendro darbo — straipsnyje apie darbo uždavinius. Mišinių uždaviniai yra trečiasis šios klasikinių tekstinių uždavinių šeimos narys.

Procentinė koncentracija: formulė ir trys jos pavidalai

Kiekviename mišinio uždavinyje yra visas mišinys ir grynoji medžiaga, kuri mus domina. Mišinys gali būti tirpalas, grietinėlė, lydinys ar džiovinami grybai, o grynoji medžiaga — druska tirpale, riebalai grietinėlėje, varis lydinyje ar sausosios medžiagos grybuose. Koncentracija rodo, kokią viso mišinio masės dalį sudaro grynoji medžiaga: koncentracija = grynosios medžiagos masė : viso mišinio masė. Chemijoje šis dydis vadinamas medžiagos masės dalimi ir žymimas graikiška raide ω, o išreikštas procentais — procentine koncentracija. Jis užrašomas tiek vieneto dalimis, tiek procentais: 0,16 ir 16 % reiškia tą patį. Kasdienėje kalboje ši sąvoka turi ir kitų pavadinimų: kalbėdami apie pieną ir grietinėlę, sakome „riebumas“, apie jūros vandenį — „druskingumas“, o apie aukso dirbinius — „praba“.

Iš šios formulės gaunami trys pavidalai, ir kiekvienas atsako į kitą klausimą. Kiek grynosios medžiagos yra mišinyje? Mišinio masę reikia padauginti iš koncentracijos: 400 g 5 % druskos tirpalo yra 400 · 0,05 = 20 g druskos ir 380 g vandens. Kokia mišinio koncentracija? Grynosios medžiagos masę reikia padalyti iš viso mišinio masės: į 240 g vandens įbėrus ir ištirpinus 60 g druskos, gaunama 300 g tirpalo, kurio koncentracija lygi 60 : 300 = 0,2, t. y. 20 %. Kokia mišinio masė? Grynosios medžiagos masę reikia padalyti iš koncentracijos: kad tirpale būtų 18 g cukraus, 12 % cukraus tirpalo reikia 18 : 0,12 = 150 g.

Antrajame pavyzdyje slypi dažna pradedančiųjų klaida: druskos masė dalijama iš vandens masės, ir gaunama 60 : 240 = 25 %. Koncentracija visada skaičiuojama dalijant iš viso mišinio, o ne vien iš vandens masės. Trečiajame pavyzdyje ta pati painiava pasireiškia atvirkščiai: atsakymu palaikoma vandens masė. Tirpalas sveria 150 g, o vandens jame yra 150 − 18 = 132 g.

Ši painiava tokia natūrali, kad ją galima rasti net oficialioje mokymo medžiagoje. Nacionalinės švietimo agentūros chemijos plakate „Tirpalo koncentracija“, paskelbtame portale emokykla.lt, pirmasis uždavinys savarankiškam mokymuisi toks pat kaip mūsų trečiasis pavyzdys: kiek gramų 12 % cukraus tirpalo reikia, kad jame būtų 18 g cukraus. Nurodytas atsakymas (tikrinta 2026 m. spalio 18 d.) — 132 g, t. y. vandens masė, nors tirpalo reikia 150 g. Tai ne priekaištas plakato autoriams, o geras priminimas, kodėl kiekviename uždavinyje verta savęs paklausti, ar ieškoma viso mišinio masės, ar tik jo dalies.

Pagrindinė taisyklė: grynosios medžiagos kiekis nesikeičia

Mišinių uždaviniai atrodo labai įvairūs, tačiau beveik visuose kartojasi ta pati mintis. Įpylus į tirpalą vandens, druskos jame nepadaugėja. Vandeniui išgaravus, druska lieka inde. Sumaišius du tirpalus, jų druskos masės sudedamos. Keičiasi tik viso mišinio masė, todėl keičiasi ir koncentracija. Vadinasi, patikimiausias sprendimo kelias visada tas pats: pirmiausia procentus paversti grynosios medžiagos gramais ar kilogramais, tada skaičiuoti su masėmis ir tik pabaigoje vėl grįžti prie procentų.

Paskutinė eilutė svarbi, nes joje slypi dar viena dažna klaida. Įbėrus druskos, padidėja ne tik druskos, bet ir viso tirpalo masė. Pavyzdžiui, į 200 g 10 % tirpalo įbėrus 25 g druskos, druskos bus 20 + 25 = 45 g, o tirpalo — 225 g, todėl koncentracija lygi 45 : 225 = 0,2, t. y. 20 %. Kas dalija iš senosios masės, gauna 22,5 % — atsakymą, kuris atrodo įtikinamai, bet yra klaidingas.

Maišymas: kodėl procentų negalima sudėti

Klasikinis maišymo uždavinys buvo 2025 m. matematikos PUPP pagrindinės sesijos užduotyje — tai 29-asis uždavinys. Desertui pagal receptą reikia 250 g grietinėlės, kurios riebumas būtų ne mažesnis kaip 30 %. Mergina ketina sumaišyti 100 g 18 % ir 150 g 35 % riebumo grietinėlės. Reikėjo nustatyti, ar tokios grietinėlės riebumas atitiks recepto reikalavimą, ir pateikti sprendimą. Uždavinys buvo vertas 3 taškų.

Jei laikomasi pagrindinės taisyklės, sprendimas trumpas. Šimte gramų 18 % grietinėlės yra 18 g riebalų, o 150 g 35 % grietinėlės — 150 · 0,35 = 52,5 g riebalų. Sumaišius gaunama 250 g grietinėlės, kurioje yra 70,5 g riebalų, todėl jos riebumas lygus 70,5 : 250 = 0,282, t. y. 28,2 %. Tai mažiau nei 30 %, vadinasi, recepto reikalavimo tokia grietinėlė neatitiks.

Pagal 2025 m. vertinimo instrukciją pirmasis taškas skiriamas už teisingai apskaičiuotą riebalų masę bent vienos rūšies grietinėlėje, antrasis — už teisingai pasirinktą mišinio riebumo skaičiavimo būdą, trečiasis — už teisingai apskaičiuotą riebumą kartu su išvada. Įdomu, kad ir paprastas vidurkis, (18 + 35) : 2 = 26,5 %, yra mažesnis už 30 %, todėl išvada „neatitiks“ būtų ta pati. Tačiau vien teisinga išvada taškų neatneša: jie skiriami už riebalų masę, už sprendimo būdą ir už teisingai apskaičiuotą riebumą.

Kodėl negalima tiesiog sudėti procentų? Sudėję gautume 53 % — riebesnę grietinėlę nei bet kuri iš sumaišytųjų, o taip būti negali: mišinio koncentracija visada būna tarp sumaišytų mišinių koncentracijų. Paprastas vidurkis netinka todėl, kad grietinėlės kiekiai nevienodi. Riebesnės, 35 % grietinėlės paimta daugiau, todėl mišinio riebumas arčiau 35 % nei 18 %. Matematikos požiūriu mišinio koncentracija yra svertinis vidurkis: kiekviena koncentracija dauginama iš savo mišinio masės, sandaugos sudedamos ir dalijamos iš bendros masės. Paprastas vidurkis su svertiniu sutampa tik tada, kai sumaišomos lygios masės: 100 g 18 % ir 100 g 35 % grietinėlės iš tiesų duotų 26,5 % riebumo mišinį. Kuo skiriasi vidurkis ir kitos vidurinės reikšmės, aptarėme straipsnyje apie vidurkį, medianą ir modą.

Atsakymą galima patikrinti ir iš akies. Atstumai nuo mišinio koncentracijos iki sumaišytųjų koncentracijų yra atvirkščiai proporcingi sumaišytoms masėms: 28,2 − 18 = 10,2 ir 35 − 28,2 = 6,8, o 10,2 : 6,8 = 1,5 — lygiai tiek kartų daugiau paimta 35 % grietinėlės (150 : 100 = 1,5). Ši taisyklė primena svertą: kurio mišinio paimta daugiau, tas ir patraukia bendrą koncentraciją į savo pusę. Atvirkštinį proporcingumą plačiau aiškinome straipsnyje apie proporcijas.

Skiedimas ir drėkinimas: kai įpilama vandens

Įpylus vandens, grynosios medžiagos kiekis nesikeičia, o mišinio masė padidėja tiek, kiek įpilta vandens. Pavyzdžiui, į 300 g 10 % druskos tirpalo įpylus 200 g vandens, druskos lieka tiek pat — 30 g, o tirpalo masė padidėja iki 500 g. Naujoji koncentracija lygi 30 : 500 = 0,06, t. y. 6 %. Ji sumažėjo tiek kartų, kiek kartų padidėjo tirpalo masė: 500 : 300 ir 10 : 6 yra tas pats santykis.

Dažniau klausiama atvirkščiai: kiek vandens reikia įpilti, kad tirpalas taptų silpnesnis. Kiek vandens reikia įpilti į tuos pačius 300 g 10 % tirpalo, kad gautume 4 % tirpalą? Druskos ir toliau bus 30 g, tik dabar ji turės sudaryti 4 % visos masės. Vadinasi, visas tirpalas turės sverti 30 : 0,04 = 750 g, todėl vandens reikia įpilti 750 − 300 = 450 g. Pažymėję įpilamo vandens masę x g, tą patį galime užrašyti lygtimi 0,04 · (300 + x) = 30, iš kurios x = 450. Patikrinimas: 30 : 750 = 0,04.

Bendrojoje programoje minimi ir drėkinimo uždaviniai. Jie sprendžiami lygiai taip pat: sudrėkinus grūdus, sėklas ar kitą produktą, sausosios medžiagos kiekis nesikeičia, padidėja tik vandens kiekis ir bendra masė. Džiovinimas yra atvirkštinis procesas, ir jį aptarsime šiek tiek vėliau.

Garinimas: 2026 m. PUPP uždavinys ir klausimas „5 % ko?“

2026 m. matematikos PUPP pagrindinės sesijos 28-asis uždavinys, taip pat vertas 3 taškų, buvo apie garinimą. Į indą įpilta 2 kg 16 % druskos tirpalo. Pirmą kartą pakaitinus, išgaravo 5 % tirpale buvusio vandens, o antrą kartą — dar 5 % vandens, likusio po pirmo kaitinimo. Reikėjo apskaičiuoti, kiek procentų druskos yra tirpale po dviejų kaitinimų, atsakymą pateikiant 1 procento tikslumu.

Sprendžiant svarbu nepasiklysti tarp trijų dydžių: druskos, vandens ir viso tirpalo. Druskos yra 2 · 0,16 = 0,32 kg, ir ši masė nesikeičia. Vandens iš pradžių yra 2 − 0,32 = 1,68 kg. Po pirmo kaitinimo jo lieka 1,68 · 0,95 = 1,596 kg, po antro — 1,596 · 0,95 = 1,5162 kg. Visas tirpalas tada sveria 1,5162 + 0,32 = 1,8362 kg, o druskos dalis jame lygi 0,32 : 1,8362 ≈ 0,174, t. y. maždaug 17 %. Uždavinio sąlygą ir sprendimą galima rasti Nacionalinės švietimo agentūros paskelbtame 2026 m. užduoties aptarime, o patvirtintoje vertinimo instrukcijoje numatyta po vieną tašką už pradinę vandens masę (1,68 kg), už vandens masę po abiejų kaitinimų (1,5162 kg) ir už atsakymą.

Visas uždavinio sunkumas telpa į klausimą „5 % ko?“. Sąlygoje kalbama apie 5 % vandens, o ne apie 5 % tirpalo ir ne apie tai, kad druskos koncentracija kaskart padidėja 5 %. Jei mokinys mano, kad kaskart išgaruoja 5 % viso tirpalo masės (2 · 0,95 · 0,95 = 1,805 kg), jis gauna maždaug 17,7 %, o suapvalinęs — 18 %. Jei pačią koncentraciją du kartus iš eilės padidina 5 procentais (16 · 1,05 · 1,05 ≈ 17,6), vėl gauna 18 %. Abu atsakymai klaidingi. O jei vietoj dviejų kartų po 5 % iš karto atima 10 % vandens (1,68 · 0,9 = 1,512 kg), gauna 17,47 % ir, suapvalinęs iki sveikųjų, tuos pačius 17 %. Apvalinimas čia paslepia klaidą, todėl svarbu užrašyti ir tarpinius rezultatus: instrukcijoje atskiras taškas numatytas būtent už vandens masę po abiejų kaitinimų.

Šiam uždaviniui praverčia ir formulių rinkinys, kurį mokiniai gauna per patikrinimą. Jame yra sudėtinių procentų formulė: pradinė dydžio reikšmė dauginama iš (1 ± p/100) tiek kartų, kiek kartų dydis keitėsi. Čia ją reikia taikyti vandens masei: 1,68 · (1 − 5/100)² = 1,5162. Tačiau formulių rinkinyje, pateiktame PUPP užduoties aprašo priede, koncentracijos formulės ar mišinio taisyklės nėra. O pritaikius sudėtinių procentų formulę ne tam dydžiui — druskos koncentracijai ar viso tirpalo masei, — gaunamas tas pats klaidingas 18 % atsakymas. Formulė padeda tik tam, kas žino, kokiam dydžiui ją taikyti. Kokias formules mokiniai gauna per egzaminus, o kurias turi mokėti patys, apžvelgėme straipsnyje apie egzaminų formulynus.

Garinimo uždavinį galima ir apversti. Kiek vandens reikėtų išgarinti iš tų pačių 2 kg 16 % tirpalo, kad gautume 20 % tirpalą? Visa druska (0,32 kg) turi sudaryti penktadalį tirpalo masės, todėl tirpalas turi sverti 0,32 : 0,2 = 1,6 kg. Vadinasi, išgarinti reikia 2 − 1,6 = 0,4 kg vandens. Apvalinimo taisykles, kurios tokiuose uždaviniuose taip pat svarbios, aptarėme straipsnyje apie skaičių apvalinimą.

Džiovinimas: kodėl agurkai netenka pusės masės

Džiovinimo uždaviniai — tas pats garinimas, tik su produktais. Sausosios medžiagos kiekis nesikeičia, o išgaruoja vanduo. Klasikinis pavyzdys nustebina ir mokinius, ir suaugusiuosius. Tarkime, 100 kg agurkų 99 % masės sudaro vanduo. Po kelių dienų sandėlyje vanduo sudaro jau 98 % agurkų masės. Kiek dabar sveria agurkai? Intuicija sako, kad beveik tiek pat, nes vandens dalis sumažėjo tik vienu procentiniu punktu. Tačiau sausosios medžiagos agurkuose yra 1 kg, ir iš pradžių ji sudarė 1 %, o dabar — jau 2 % masės. Vadinasi, agurkai sveria 1 : 0,02 = 50 kg, t. y. perpus mažiau. Angliškai ši užduotis vadinama „bulvių paradoksu“, nes joje kalbama ne apie agurkus, o apie bulves.

Kasdieniškesnis pavyzdys — grybai. Šviežiuose grybuose yra 90 % vandens, džiovintuose — 20 %. Kiek džiovintų grybų gausime iš 10 kg šviežių? Sausosios medžiagos yra 10 · 0,1 = 1 kg, o džiovintuose grybuose ji sudaro 80 % masės. Vadinasi, džiovintų grybų bus 1 : 0,8 = 1,25 kg. Klaidingas, bet dažnas samprotavimas — atimti procentus: „vandens sumažėjo nuo 90 % iki 20 %, vadinasi, masė sumažėjo 70 %“, ir tada gaunami 3 kg. Tačiau 90 % ir 20 % yra skirtingų masių dalys, todėl jų atimti negalima.

Lydiniai ir aukso praba

Lydinių uždaviniuose vietoj druskos ir vandens yra metalai, bet taisyklė ta pati. Kasdienybėje dažnai sutinkamas pavyzdys — aukso praba. Visuotinė lietuvių enciklopedija prabą apibrėžia kaip tauriojo metalo masės dalių skaičių tūkstantyje lydinio masės dalių; metrinėje sistemoje ji reiškiama promilėmis. Taigi 585 prabos aukso dirbinyje iš kiekvieno tūkstančio lydinio masės dalių 585 dalys yra auksas, t. y. 58,5 %. Tokios prabos žiede, sveriančiame 4 g, yra 4 · 0,585 = 2,34 g aukso. Promilėmis matuojamas ir jūros vandens druskingumas. 2012 m. PUPP uždavinyje reikėjo nustatyti, kiek kartų Danijos sąsiaurio vanduo, kurio druskingumas 3 %, sūresnis už vandenį ties Palanga, kurio druskingumas 6 promilės. Atsakymas — 5 kartus, nes 3 % yra 30 promilių.

Tipinis lydinių uždavinys su dviem nežinomaisiais atrodo taip. Turime du vario lydinius: viename vario yra 30 %, kitame — 60 %. Kiek kilogramų kiekvieno lydinio reikia, kad gautume 12 kg lydinio, kuriame vario būtų 40 %? Pažymėkime pirmojo lydinio masę x kg, o antrojo — y kg. Iš bendros masės gaunama lygtis x + y = 12, iš vario masės — 0,3x + 0,6y = 0,4 · 12 = 4,8. Iš pirmosios lygties y = 12 − x, todėl 0,3x + 0,6 · (12 − x) = 4,8, 0,3x + 7,2 − 0,6x = 4,8, −0,3x = −2,4 ir x = 8. Vadinasi, reikia 8 kg pirmojo ir 4 kg antrojo lydinio. Patikrinimas: 0,3 · 8 + 0,6 · 4 = 2,4 + 2,4 = 4,8 kg vario.

Sverto taisyklė čia duoda atsakymą beveik iš karto. Norimi 40 % nuo 30 % skiriasi 10, o nuo 60 % — 20 procentinių punktų, todėl pirmojo ir antrojo lydinio masių santykis turi būti 20 : 10, t. y. 2 : 1. Lydinio, kurio sudėtis artimesnė norimai, reikia dvigubai daugiau. Taip pasitikrinti verta visada, tačiau per egzaminą užrašomas visas sprendimas. Lygčių sistemų sprendimo būdus plačiau aptarėme straipsnyje apie lygčių sistemas.

Lentelės būdas: kai sąlyga virsta lygtimi

Kai sąlyga ilgesnė, padeda paprasta lentelė. Kiekvienam sumaišomam mišiniui skiriama po eilutę, dar viena eilutė skiriama gautam mišiniui, o stulpeliai visada tie patys: mišinio masė, koncentracija ir grynosios medžiagos masė. Paskutinis stulpelis gaunamas sudauginus du ankstesnius, o lygtis užrašoma iš jo: grynosios medžiagos masių suma sumaišomuose mišiniuose lygi jos masei gautame mišinyje.

Pavyzdys. Kiek gramų 40 % ir kiek 10 % druskos tirpalo reikia sumaišyti, kad gautume 600 g 20 % tirpalo? Pažymėkime 40 % tirpalo masę x g, tada 10 % tirpalo masė lygi (600 − x) g.

Iš paskutinio stulpelio gaunama lygtis 0,4x + 0,1 · (600 − x) = 120. Atskliaudę gauname 0,4x + 60 − 0,1x = 120, t. y. 0,3x = 60 ir x = 200. Reikia 200 g 40 % ir 400 g 10 % tirpalo. Patikrinimas: 80 + 40 = 120 g druskos. Sverto taisyklė rodo tą patį: norimi 20 % nuo 40 % skiriasi 20, o nuo 10 % — 10 procentinių punktų, todėl 40 % ir 10 % tirpalų masių santykis turi būti 10 : 20, t. y. 1 : 2.

Lentelė naudinga ir dėl to, kad iš jos lengva perrašyti sprendimą į egzamino formą: kiekviena eilutė tampa sprendimo žingsniu su aiškiai įvardytu dydžiu. Jei uždavinyje masės visai neduotos, pavyzdžiui, nurodytas tik tirpalų santykis, namie patogu pabandyti su konkrečiu skaičiumi, tarkime, su 100 g. Per egzaminą taip daryti neverta. PUPP vertinimo gairėse nurodyta, kad, jei mokinys procentų uždavinyje vietoj parametro pasirenka konkretų skaičių ir gauna teisingą atsakymą, jis praranda vieną tašką. Tokiu atveju masę reikėtų pažymėti raide.

Kaip per PUPP vertinami mišinių uždaviniai

Abu pastarųjų metų pagrindinės sesijos uždaviniai — grietinėlės ir druskos tirpalo — buvo pilnojo sprendimo uždaviniai, verti po 3 taškus ir vertinami rankiniu būdu. 2025 m. pagrindinės sesijos užduotyje rankiniu būdu buvo vertinami penki uždaviniai po 3 taškus, ir grietinėlės uždavinys buvo vienintelis tekstinis tarp jų. 2026 m. tarp rankiniu būdu vertintų ir daugiau nei vieno taško vertų uždavinių vienintelis tekstinis buvo druskos tirpalo uždavinys. Pakartotinių sesijų užduotyse kelių taškų mišinio uždavinio, vertinamo rankiniu būdu, nebuvo. Dveji metai dar nėra taisyklė, ir kitais metais tekstinis uždavinys gali būti apie ką kita. Vis dėlto programa šią temą dešimtoje klasėje įvardija tiesiogiai, o PUPP užduoties apraše nurodyta, kad iš dešimtos klasės turinio į patikrinimą neįtraukiamos tik duomenų ir tikimybių temos.

Mišinių uždaviniams ypač svarbi vertinimo taisyklė įrašyta Nacionalinės švietimo agentūros patvirtintose PUPP vertinimo gairėse. Pagal esminių sampratų taisyklę šiurkščia klaida laikomas atvejis, kai sprendime naudojami procentai, nenurodant, kurio skaičiaus dalis skaičiuojama, o už šiurkščią klaidą taškas neskiriamas. Gairėse pateiktas tokios klaidos pavyzdys — užrašas 200 − 5 % = 190. O procentų prilyginimas dešimtainiam skaičiui klaida nelaikomas: gairėse kaip tinkami pateikiami užrašai 0,28 = 28 %, 200 · 5 % = 10; 200 − 10 = 190 ir 200 − 200 · 5 % = 190. Kitaip tariant, mokinys gali drąsiai rašyti 0,16 vietoj 16 %, bet visada turi parodyti, kokio dydžio dalį skaičiuoja. Garinimo uždavinyje tai reiškia, kad reikia aiškiai užrašyti, kad išgaravo 5 % vandens masės, ir tą masę apskaičiuoti, o ne rašyti „−5 %“ prie neaiškaus skaičiaus.

Per PUPP galima naudotis skaičiuotuvu ir išspausdintu formulių rinkiniu, o sprendimas rašomas elektroninėje sistemoje, į tam skirtą langelį su matematinių simbolių juosta. Taigi kliūtis yra ne pats skaičiavimas, o samprotavimas ir jo užrašymas. Kaip užrašyti sprendimą, kad už jį būtų skirti visi taškai, aptarėme straipsnyje apie matematikos sprendimo užrašymą, o kaip skaityti vertinimo instrukciją — straipsnyje apie vertinimo instrukciją. Ankstesnių metų užduotis nemokamai skelbia Nacionalinė švietimo agentūra; kur jas rasti, aprašėme apžvalgoje apie NMPP, PUPP ir VBE užduočių archyvą.

Kurioje klasėje to mokomasi

Pagal matematikos programą pačių mišinių uždavinių mokomasi dešimtoje klasėje, tačiau jiems reikalingi įrankiai renkami nuo penktos. Lentelėje nurodyta, kada jie atsiranda pagal matematikos ir chemijos bendrąsias programas. Mokytojai ir vadovėliai paprastus mišinių uždavinius kartais pateikia ir anksčiau, todėl lentelė rodo, nuo kada mokinys turi visus reikiamus įrankius, o ne tai, kada jis pirmą kartą išvys tokį uždavinį.

Lentelė atskleidžia ir įdomų dalyką: chemija prie tirpalų ateina anksčiau nei matematika. Medžiagos masės dalies mišinyje ar tirpale mokomasi aštuntoje klasėje, o chemijos bendrojoje programoje jos apskaičiavimas pateikiamas kaip paprasčiausios, vieno žingsnio užduoties pavyzdys. Devintoje klasėje chemijoje jau sprendžiami uždaviniai, kai tirpalai skiedžiami arba sumaišomi. Matematikos programoje šie uždaviniai įvardyti dešimtai klasei, o PUPP uždaviniuose, kaip matėme, tenka atlikti kelis žingsnius ir kiekviename jų nesupainioti, kokio dydžio dalį skaičiuojame. Todėl chemijos namų darbai aštuntoje ir devintoje klasėse — gera proga pasiruošti ir dešimtos klasės matematikai. Aštuntos klasės chemijos sunkumus aptarėme straipsnyje apie chemiją 8 klasėje, medžiagos kiekį ir molį — straipsnyje apie molinę masę, o procentų pagrindus — straipsnyje apie procentų skaičiavimą.

Dažniausios klaidos

Mišinių uždaviniuose tos pačios klaidos kartojasi labai dažnai, todėl jas verta žinoti iš anksto:

• sudedami procentai, nors mišinys negali būti stipresnis už stipriausią jo dalį;
• imamas paprastas vidurkis, nors sumaišomos nevienodos masės;
• painiojama tirpalo ir vandens masė: koncentracija skaičiuojama dalijant iš vandens, o ne iš viso tirpalo masės;
• neatsakoma į klausimą „5 % ko?“ ir imama ne to dydžio — vandens, tirpalo ar druskos — dalis, apie kurį kalbama sąlygoje;
• įbėrus medžiagos ar įpylus vandens, pamirštama pakeisti viso mišinio masę;
• kelis kartus iš eilės mažinant procentais, viskas atimama iš karto, pavyzdžiui, 10 % vietoj dviejų kartų po 5 %.

Beveik visų šių klaidų galima išvengti, jei mokinys įpranta prie kiekvieno procento užrašyti, kokio dydžio dalis tai yra, ir prieš skaičiuodamas įvertina, kur turėtų būti atsakymas. Mišinio koncentracija visada yra tarp sumaišytųjų; įpylus vandens, ji sumažėja, o vandeniui išgaravus — padidėja. Jei gautas atsakymas šios paprastos logikos neatitinka, klaida padaryta kažkur anksčiau. Tokį patikrinimą verta paversti įpročiu, nes jis užtrunka vos kelias sekundes.

Su kuo treniruotis: uždavinynai prieš PUPP

Norint išmokti spręsti mišinių uždavinius, reikia ne naujų formulių, o daug skirtingų sąlygų, kuriose ta pati taisyklė pasirodo vis kitu pavidalu. Dešimtokams pirmiausia verta rinktis medžiagą, parengtą pagal atnaujintą programą. Vaidoto Mockaus leidinys „10 klasės matematikos PUPP užduočių pavyzdžiai (atnaujinta programa)“ skirtas būtent pasiruošti patikrinimui pagal atnaujintą matematikos bendrąją programą. Kam svarbu matyti visą sprendimo eigą, tinka 10 klasės matematikos pagrindų stiprinimo uždavinynas: jame 287 uždaviniai PUPP temoms, tarp jų ir tekstiniai, o atskirame 185 puslapių faile pateikti sprendimai, kurių eiga parodyta žingsnis po žingsnio. Tekstiniuose uždaviniuose tai ypač naudinga, nes matyti, kuriame žingsnyje padaryta klaida.

Stipresniems mokiniams tinka uždavinynas „siekiantiems daugiau“ su 359 uždaviniais ir išsamiais sprendimais. Prie jo galima užsisakyti 60 minučių individualią pamoką, per kurią su mokytoju aptariamos svarbiausios uždavinyno užduotys ir padarytos klaidos. Spausdintų knygų mėgėjams tinka Mockaus pagrindinės mokyklos 5–10 klasių kartojimo uždaviniai su atsakymais. PUPP leidinius rasite parduotuvės PUPP matematikos skiltyje, o kitas to paties autoriaus knygas — Mockaus knygų skiltyje.

Jaunesniems mokiniams svarbiausia sutvirtinti procentų pagrindus, nes be jų mišinių uždaviniai dešimtoje klasėje atrodys sunkūs. Septintokams skirti Mockaus 7 klasės matematikos kurso teminiai uždaviniai su dviem analogiškais variantais, o aštuntokams — darbo sąsiuvinis „Pakartokime 5–8 klasės matematikos kursą ir pasirenkime 8 klasės NMPP“ su dvylika kurso kartojimo užduočių ir atsakymais knygos gale. Aštuntokai, stojantys į gimnazijas, stojamųjų egzaminų pobūdžio užduotis gali išbandyti 9 klasės matematikos bandomųjų egzaminų rinkinyje: jame šeši A, B ir C lygio egzaminai su detaliais sprendimais.

Kada verta kreiptis į korepetitorių

Mišinių uždaviniuose iš šalies lengva pamatyti, kur tiksliai stringa mokinys. Jei jis vis sudeda procentus, nežino, iš kurio skaičiaus dalyti, arba teisingai sprendžia tik tuos uždavinius, kurie labai panašūs į ką tik matytą pavyzdį, verta šias vietas peržiūrėti su mokytoju. Dažnai pakanka kelių pamokų, kad mokinys įprastų taikyti taisyklę apie nesikeičiantį grynosios medžiagos kiekį. Dešimtokams prieš PUPP tinkamą mokytoją padės rasti matematikos korepetitoriaus 10 klasei puslapis, kitų klasių mokiniams — bendras matematikos korepetitorių puslapis, o jei tirpalų uždaviniai nesiseka per chemijos pamokas, — chemijos korepetitorių puslapis.

Trumpai

Mišinių ir tirpalų uždaviniai remiasi viena formule: grynosios medžiagos masė lygi mišinio masei, padaugintai iš koncentracijos. Įpylus ar išgarinus vandens, grynosios medžiagos kiekis nesikeičia, o sumaišius du mišinius, jų grynosios medžiagos masės sudedamos. Procentų sudėti negalima, o paprastas vidurkis tinka tik sumaišius lygias mases; mišinio koncentracija visada būna tarp sumaišytųjų ir arčiau koncentracijos to mišinio, kurio paimta daugiau. Chemijoje tirpalų skiedimo ir maišymo uždaviniai sprendžiami jau devintoje klasėje, matematikos bendrojoje programoje lydinių, mišinių, tirpalų, džiovinimo ir drėkinimo uždaviniai įvardyti dešimtai klasei, o 2025 ir 2026 m. PUPP pagrindinės sesijos užduotyse buvo po vieną tokį 3 taškų vertą uždavinį. Vertinant svarbus ne tik atsakymas: taškai skiriami už sprendimo žingsnius, o šiurkščia klaida laikoma, kai procentai naudojami, nenurodant, kurio skaičiaus dalis skaičiuojama.