Kvadratinė lygtis ir kvadratinė funkcija mokykloje stovi greta, todėl jas lengva supainioti. Lygtį ax² + bx + c = 0 daugelis dešimtokų išmoksta išspręsti beveik mechaniškai — įsistato skaičius į diskriminanto formulę ir užrašo vieną ar du atsakymus. Funkcija y = ax² + bx + c prašo kai ko kito: ne vieno atsakymo, o viso paveikslo. Jos grafikas yra parabolė — simetriška kreivė, kurią reikia mokėti nupiešti ir, svarbiausia, perskaityti. Būtent čia dalis mokinių suklumpa, nors lygtis jiems sekasi puikiai. Šiame straipsnyje nuosekliai einame nuo formulės iki grafiko: kas yra kvadratinė funkcija, kodėl parabolė atrodo būtent taip, kaip rasti jos viršūnę ir simetrijos ašį, kaip iš brėžinio matyti funkcijos sprendinius ir kurioje klasėje bei kuriame egzamine ši tema pasirodo.
Kas yra kvadratinė funkcija
Kvadratinė funkcija Visuotinėje lietuvių enciklopedijoje apibrėžiama paprastai: tai funkcija y = ax² + bx + c, kai a ≠ 0, o b ir c yra bet kokie realieji skaičiai. Sąlyga a ≠ 0 čia yra pati svarbiausia. Jei a būtų lygus nuliui, narys su x² dingtų, liktų y = bx + c, ir funkcija jau nebebūtų kvadratinė, o tiesinė — jos grafikas būtų tiesė, ne kreivė. Vadinasi, būtent koeficientas a prie x² ir daro funkciją kvadratinę.
Kiekvienas iš trijų koeficientų turi savo vaidmenį, ir tai verta įsidėmėti dar prieš piešiant grafiką. Koeficientas a lemia, į kurią pusę atsiveria parabolė ir kokia ji plati. Koeficientas c yra laisvasis narys, ir jis lygus funkcijos reikšmei, kai x = 0, nes tada abu nariai su x išnyksta ir lieka tik y = c. Todėl parabolė y ašį visada kerta taške, kurio aukštis lygus c. Koeficientas b poveikį daro sudėtingiau — jis pastumia parabolės viršūnę į šoną, ir apie tai kalbėsime atskirai. Funkcija apibrėžta su visais realiaisiais skaičiais: į x vietą galima įrašyti bet kokį skaičių, todėl parabolės šakos tęsiasi be galo į kairę ir į dešinę.
Kodėl grafikas yra parabolė
Paprasčiausia kvadratinė funkcija yra y = x². Jei suskaičiuosime kelias jos reikšmes, pamatysime simetriją: kai x lygus −3 ir 3, y abiem atvejais lygus 9; kai x lygus −2 ir 2, y lygus 4; kai x lygus −1 ir 1, y lygus 1. Priešingi x duoda tą pačią y reikšmę, nes keliant skaičių kvadratu minuso ženklas dingsta. Todėl taškai išsidėsto veidrodiškai abipus y ašies, o žemiausias taškas yra koordinačių pradžioje. Sujungus juos glotnia linija gaunama būdinga „dubenėlio“ formos kreivė — parabolė.
Visų kitų kvadratinių funkcijų grafikai yra tos pačios parabolės, tik pastumtos, apverstos ar praplatintos. Dėl to parabolę galima apibūdinti keliomis pastoviomis savybėmis, kurias verta mokėti atmintinai — tada net nematant brėžinio galima įsivaizduoti, kaip jis atrodys.
| Parabolės dalis | Ką ji rodo |
|---|---|
| Šakų kryptis | Kai a > 0, šakos atsiveria į viršų, o parabolė turi žemiausią tašką. Kai a < 0, šakos nukreiptos žemyn, o parabolė turi aukščiausią tašką. |
| Plotis | Kuo didesnis a modulis, tuo parabolė siauresnė; kuo a arčiau nulio, tuo ji labiau išsiplėtusi. |
| Viršūnė | Žemiausias arba aukščiausias kreivės taškas; jo abscisė x = −b / (2a). |
| Simetrijos ašis | Vertikali tiesė, einanti per viršūnę: x = −b / (2a). Abi parabolės pusės yra jos veidrodinis atspindys. |
| Susikirtimas su y ašimi | Taškas (0; c) — tiesiog laisvasis narys. |
| Susikirtimas su x ašimi | Taškai, kuriuose y = 0; jų gali būti du, vienas arba nė vieno — tiek, kiek sprendinių turi kvadratinė lygtis. |
Viršūnė: svarbiausias parabolės taškas
Viršūnė yra ta vieta, kur parabolė pakeičia kryptį: iki jos funkcija vienaip kyla ar leidžiasi, už jos — priešingai. Jei šakos nukreiptos į viršų, viršūnėje funkcija įgyja mažiausią reikšmę, o jei žemyn — didžiausią. Todėl viršūnė atsako į klausimą, kurio uždaviniuose prašoma dažniausiai: kada dydis pasiekia ekstremumą, tai yra mažiausią arba didžiausią įmanomą reikšmę.
Viršūnės abscisė randama pagal formulę x = −b / (2a). Ją lengva prisiminti, nes tai tiesiog pusė diskriminanto formulės — ta jos dalis, kuri stovi prieš šaknies ženklą. Radus x, antroji koordinatė gaunama paprasčiausiai: tą reikšmę įstatome atgal į funkciją ir apskaičiuojame y. Pavyzdžiui, funkcijos y = x² − 4x + 3 viršūnės abscisė lygi x = −(−4) / (2 · 1) = 2. Įstatę dvejetą, gauname y = 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Vadinasi, viršūnė yra taške (2; −1), o kadangi a = 1 yra teigiamas, tai žemiausias funkcijos taškas — mažesnės reikšmės nei −1 ši funkcija niekada neįgyja.
Verta atkreipti dėmesį, kad viršūnės formulė nėra koks nors atskiras dydis, kurį kas nors padovanoja per egzaminą. Ji išvedama iš pačios funkcijos koeficientų, todėl svarbu mokėti būdą, o ne tikėtis rasti ją egzamino formulių lape. Simetrijos ašis — tai vertikali tiesė, einanti per viršūnę, ir ji aprašoma ta pačia lygtimi x = −b / (2a). Ašis parabolę dalija į dvi veidrodiškai vienodas puses, todėl, žinant vieną kreivės tašką, iškart žinomas ir jo atspindys kitoje ašies pusėje. Tai labai pagreitina piešimą: užtenka suskaičiuoti kelis taškus vienoje pusėje.
Kur parabolė kerta ašis ir kaip tai susiję su lygtimi
Būtent čia kvadratinė funkcija ir kvadratinė lygtis susitinka. Kai sprendžiame lygtį ax² + bx + c = 0, iš tikrųjų ieškome tų x reikšmių, su kuriomis funkcijos reikšmė lygi nuliui, tai yra tų taškų, kuriuose parabolė kerta x ašį. Todėl lygties sprendiniai grafike yra parabolės ir x ašies susikirtimo taškų abscisės. Kiek tų taškų, pasako diskriminantas: kai jis teigiamas, parabolė kerta ašį dviejuose taškuose, kai lygus nuliui — paliečia ją viename taške pačia viršūne, o kai neigiamas — ašies visai nepasiekia ir lygtis realiųjų sprendinių neturi. Kodėl diskriminantas tai nulemia, plačiau paaiškinome straipsnyje apie kvadratines lygtis.
Paimkime tą pačią funkciją y = x² − 4x + 3. Jos diskriminantas lygus (−4)² − 4 · 1 · 3 = 4, taigi teigiamas, ir šaknys yra 1 bei 3. Vadinasi, parabolė x ašį kerta taškuose (1; 0) ir (3; 0), o y ašį — taške (0; 3), nes c = 3. Dabar jau turime viską, ko reikia grafikui: viršūnę (2; −1), du susikirtimo su x ašimi taškus ir susikirtimą su y ašimi. Pažymėję šiuos keturis taškus ir žinodami, kad šakos atsiveria į viršų, parabolę nupiešime net nesudarydami ilgos reikšmių lentelės. Įsidėmėtina ir simetrija: taškai (1; 0) ir (3; 0) yra vienodu atstumu nuo simetrijos ašies x = 2, o jų vidurys kaip tik ir rodo viršūnės abscisę. Tai patogus būdas pasitikrinti, ar viršūnė suskaičiuota teisingai.
Trys tos pačios funkcijos pavidalai
Tą pačią kvadratinę funkciją galima užrašyti trimis būdais, ir kiekvienas iš jų tarsi iš anksto atskleidžia skirtingą informaciją. Įprastas, arba bendrasis, pavidalas y = ax² + bx + c iš karto parodo susikirtimą su y ašimi, nes tai laisvasis narys c. Viršūnės pavidalas y = a(x − x₀)² + y₀ tiesiogiai parodo viršūnės koordinates (x₀; y₀). Daugiklių, arba sandaugos, pavidalas y = a(x − x₁)(x − x₂) iš karto rodo, kur parabolė kerta x ašį, nes x₁ ir x₂ yra tie patys lygties sprendiniai.
Mūsų pavyzdys gražiai pereina iš vieno pavidalo į kitą. Funkciją y = x² − 4x + 3 galima užrašyti viršūnės pavidalu kaip y = (x − 2)² − 1 — ir skliaustuose iškart matome viršūnės abscisę 2, o gale — jos ordinatę −1. Tą patį galima užrašyti ir daugiklių pavidalu y = (x − 1)(x − 3), iš kurio iškart matome šaknis 1 ir 3. Visi trys užrašai aprašo tą pačią parabolę; skiriasi tik tai, kurią jos savybę jie parodo be papildomo skaičiavimo. Gebėjimas pasirinkti patogų pavidalą dažnai ir yra tai, kas atskiria mokinį, kuris temą tik atpažįsta, nuo mokinio, kuris ją tikrai supranta.
Kurioje klasėje ir kuriame egzamine
Pagal matematikos bendrąją programą kvadratinė funkcija ir parabolė nagrinėjamos dešimtoje klasėje, kai mokiniai jau moka spręsti kvadratines lygtis ir pažįsta koordinačių plokštumą. Prieš tai, ankstesnėse klasėse, būna išnagrinėta bendroji funkcijos sąvoka — kas yra argumentas, reikšmė ir grafikas; kam ji skirta ir kodėl būtent nuo funkcijų matematika tampa ne vien skaičiavimu, rašėme straipsnyje apie funkcijų supratimą. Dešimtoje klasėje ši sąvoka pritaikoma konkrečiai parabolei, o gimnazijos klasėse tema pagilinama ir susiejama su išvestinėmis, nelygybėmis bei funkcijos tyrimu.
Matematikos valstybiniame brandos egzamine kvadratinė funkcija pasirodo ne tik kaip atskira užduotis, bet ir kaip įrankis kitose temose. Parabolės grafikas pasitelkiamas sprendžiant kvadratines nelygybes — iš brėžinio matyti, kur funkcija teigiama (parabolė virš ašies) ir kur neigiama (po ašimi). Ekstremumo uždaviniuose viršūnė padeda rasti didžiausią plotą ar mažiausias sąnaudas. Todėl mokiniui, kuris ruošiasi egzaminui, verta mokėti ne tik spręsti lygtį, bet ir greitai įsivaizduoti jos grafiką. Ką dar apima egzamino pirmoji dalis ir kaip joje vertinamos tokios temos, aptarėme straipsnyje apie matematikos VBE pirmąją dalį, o bendrą pasiruošimo planą — straipsnyje apie pasiruošimą matematikos VBE.
Kur parabolė slypi tikrame gyvenime
Kvadratinė funkcija nėra vien mokyklos abstrakcija. Kai kamuolį meti į viršų, jo aukštis laikui bėgant kinta būtent pagal kvadratinę funkciją, o skrydžio trajektorija piešia parabolę: kamuolys pakyla, pasiekia aukščiausią tašką — tai ir yra parabolės viršūnė — ir vėl leidžiasi. Tą patį matyti fontano vandens čiurkšlėse ar krepšinio kamuolio lanke. Būtent todėl viršūnės sąvoka tokia naudinga: ji atsako, kada ir kokiame aukštyje kūnas būna aukščiausiai.
Parabolė pasirodo ir ten, kur reikia ko nors kuo daugiau arba kuo mažiau. Tarkime, turime 20 metrų tvoros ir norime aptverti kuo didesnio ploto stačiakampį. Jei viena kraštinė yra x metrų, kita lygi 10 − x, o plotas A = x · (10 − x) = −x² + 10x. Tai kvadratinė funkcija, kurios šakos nukreiptos žemyn, o jos viršūnė yra ties x = 5. Vadinasi, didžiausią plotą, 25 kvadratinius metrus, gausime, kai stačiakampis bus kvadratas, kurio kraštinė lygi 5 metrams. Tokio tipo samprotavimu remiasi daugybė praktinių uždavinių — nuo didžiausio pelno iki mažiausių medžiagų sąnaudų, ir visus juos vienija ta pati parabolės viršūnė.
Kaip padėti mokiniui, kai parabolė nesiseka
Jei vaikui ar paaugliui ši tema sunki, pirmiausia verta išsiaiškinti, kur tiksliai užstringa. Vienas dalykas yra nemokėti suskaičiuoti viršūnės; visai kitas — mokėti ją suskaičiuoti, bet nesuprasti, ką tas taškas reiškia grafike. Pirmuoju atveju trūksta technikos ir padeda pratybos; antruoju trūksta vaizdinio supratimo, ir čia labiausiai padeda piešimas — kelios ranka nubraižytos parabolės dažnai nuveikia daugiau nei dešimt išspręstų lygčių. Naudinga klausti vaiko ne „koks atsakymas“, o „kaip tai atrodys grafike“ — ar šakos bus į viršų, ar žemyn, kur bus viršūnė, kiek kartų kreivė kirs ašį.
Kai spragų susikaupia daugiau arba kai artėja egzaminas, dažnai greičiausias kelias yra individualios pamokos, kuriose korepetitorius pamato, kurioje vietoje nutrūksta mintis, ir dirba tiksliai ties ja. Platformoje galima rasti matematikos korepetitorių pagal klasę ir tikslą — ir dešimtokui, kuriam tema dar nauja, ir dvyliktokui, kuris kartoja ją prieš egzaminą. Konkretesnių patarimų, į ką atkreipti dėmesį paskutinėje klasėje, rasite straipsnyje apie matematikos korepetitorių abiturientui. Namuose savarankiškai pasitreniruoti padeda ir užduočių rinkiniai pagal klasę — nuo dešimtos klasės pagrindų iki VBE lygio, surinkti žemiau.
