Panašieji trikampiai: požymiai, panašumo koeficientas, plotų santykis ir Talio teorema

Panašieji trikampiai yra tos pačios formos, bet nebūtinai to paties dydžio trikampiai: jų atitinkami kampai lygūs, o atitinkamos kraštinės proporcingos. Tai devintos klasės tema, kurios prireikia ir per pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimą (PUPP) ir kuria remiasi trigonometrijos pradžia. Įdomiausia, kad PUPP formulių rinkinyje apie panašumą nėra nė vienos eilutės, nors jame išspausdinta sinuso, kosinuso ir tangento reikšmių lentelė, kuri smailiesiems kampams pati remiasi panašumu.

Šiame straipsnyje paaiškiname tris trikampių panašumo požymius, kaip rasti panašumo koeficientą ir atitinkamas kraštines, kur panašieji trikampiai slepiasi brėžinyje, ką teigia Talio teorema ir kodėl plotai keičiasi ne k, o k² kartų. Atskirai aptariame, kaip per PUPP vertinamas vienas sakinys „trikampiai yra panašieji“ ir kada už jį skiriamas taškas. Pavyzdžiai paremti atnaujinta matematikos bendrąja programa, Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) vertinimo gairėmis ir 2026 m. PUPP užduotimi.

Panašumas neatsiranda iš nieko. Penktoje klasėje mokomasi gretutinių ir kryžminių kampų, šeštoje — santykio, proporcijos ir trikampių lygumo požymių, septintoje — kampų, kurie gaunami dvi lygiagrečias tieses perkirtus trečiąja, aštuntoje — trikampio vidurio linijos. Devintoje klasėje visa tai susitinka viename uždavinyje, todėl panašumas dažnai išryškina ne naują, o seną spragą. Mokinys, kuris neatpažįsta vidaus priešinių kampų, neras ir panašiųjų trikampių, o tas, kuriam sunku sudaryti proporciją, neapskaičiuos nežinomos kraštinės ilgio. Kaip veikia pačios proporcijos, aiškinome straipsnyje apie proporcijas ir santykius, o trikampių rūšis, aukštines ir ploto formules aptarėme tekste apie trikampius.

Kas yra panašieji trikampiai

Du trikampiai vadinami panašiaisiais, kai vieno trikampio kampai atitinkamai lygūs kito trikampio kampams, o atitinkamų kraštinių ilgių santykiai lygūs tam pačiam skaičiui. Tas skaičius vadinamas panašumo koeficientu ir dažniausiai žymimas raide k. Bendrojoje programoje tai pateikta kaip tyrinėjimo išvada: devintoje klasėje, nagrinėjant panašiuosius trikampius, įsitikinama, kad jų atitinkami kampai lygūs, o atitinkamų kraštinių ilgių santykiai lygūs tam pačiam skaičiui, kuris pavadinamas trikampių panašumo koeficientu.

Paprasčiau tariant, panašieji trikampiai yra vienas kito padidinimas arba sumažinimas, lyg ta pati nuotrauka, atspausdinta skirtingu dydžiu. Jei trikampio ABC kraštinės lygios 3, 4 ir 5 cm, o trikampio KLM — 6, 8 ir 10 cm, antrasis yra dvigubai padidintas pirmasis: k = 2, o visi kampai liko tokie patys. Panašumas žymimas ženklu ∼, pavyzdžiui, △ABC ∼ △KLM. Raidžių tvarka čia ne papuošalas: ji parodo, kuri viršūnė kurią atitinka (A — K, B — L, C — M), todėl iš užrašo iš karto matyti, kurios kraštinės atitinka viena kitą.

Lygūs trikampiai yra atskiras panašiųjų atvejis, kai k = 1. Kai kurių rūšių trikampiai visada panašūs vienas į kitą: bet kurie du lygiakraščiai trikampiai, nes visi jų kampai lygūs 60°, ir bet kurie du statieji lygiašoniai trikampiai, nes jų kampai visada lygūs 90°, 45° ir 45°. O štai du bet kokie statieji trikampiai ar du bet kokie lygiašoniai trikampiai nebūtinai panašūs: vieno lygiašonio trikampio kampas prie viršūnės gali būti 20°, kito — 100°.

Trys trikampių panašumo požymiai

Pagal apibrėžimą reikėtų patikrinti visus tris kampus ir visas tris kraštinių poras. Požymiai leidžia apsieiti mažesniu duomenų kiekiu: užtenka parodyti dalį lygybių, o likusios gaunamos savaime. Programoje nurodyta, kad devintoje klasėje trikampių panašumo požymiai suformuluojami, o mokiniai mokosi rasti panašiųjų trikampių ir keturkampių nežinomų kraštinių ilgius, sudarydami proporcijas.

Uždaviniuose dažnai užtenka pirmojo požymio, nes kampų lygybę brėžinyje rasti lengviausia: tai gali būti bendras kampas, kryžminiai kampai, kampai prie lygiagrečių tiesių arba statieji kampai. Trečiojo kampo tikrinti nereikia, nes trikampio kampų suma visada lygi 180°: jei du kampai atitinkamai lygūs, lygūs ir tretieji. O tai, kad tokių trikampių kraštinės proporcingos, ir yra paties požymio turinys. Antrajame požymyje svarbiausi žodžiai yra „kampas tarp jų“. Jei lygus kampas yra ne tarp proporcingų kraštinių, trikampiai gali būti ir nepanašūs — ta pati išlyga galioja ir trikampių lygumo požymiams. Kadangi lygumo požymių mokomasi jau šeštoje klasėje, panašumo požymių patogu mokytis lyginant su jais. Požymiai pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų bei pagal tris kraštines atitinka lygumo požymius, tik vietoje lygių kraštinių kalbama apie proporcingas, o požymiui pagal du kampus kraštinių visai nereikia.

Panašumo koeficientas ir atitinkamos kraštinės

Panašumo koeficientas parodo, iš kokio skaičiaus reikia padauginti vieno trikampio kraštines, kad gautume atitinkamas kito trikampio kraštines. Jis gaunamas padalijus bet kurią kraštinę iš jai atitinkamos: jei △ABC ∼ △KLM, tai k = KL : AB = LM : BC = KM : AC. Svarbu nuspręsti, kuria kryptimi skaičiuojama. Dalijant didesniojo trikampio kraštinę iš atitinkamos mažesniojo trikampio kraštinės, gaunamas k > 1, o dalijant atvirkščiai — skaičius tarp 0 ir 1. Abu variantai teisingi, tik viename uždavinyje jų negalima maišyti.

Kurios kraštinės yra atitinkamos, nustatoma pagal kampus: atitinkamos kraštinės yra prieš lygius kampus. Jei trikampiai užrašyti viršūnėmis atitinkama tvarka, kraštines galima skaityti tiesiai iš užrašo. Jei žinomi visų kraštinių ilgiai, padeda dar paprastesnė taisyklė: trumpiausia kraštinė atitinka trumpiausią, ilgiausia — ilgiausią, o vidutinė — vidutinę. Ji veikia todėl, kad, padauginus visas kraštines iš to paties teigiamo skaičiaus, jų tvarka pagal ilgį nepasikeičia.

Būtent taip galima išspręsti 2026 m. PUPP 11-ąjį uždavinį. Jame pavaizduoti du panašūs keturkampiai ABCD ir KLMN: pirmojo kraštinės AB = 10, BC = 14, CD = 18 ir AD = 30, o antrojo ilgiausia kraštinė KN lygi 15. Reikėjo apskaičiuoti trumpiausios antrojo keturkampio kraštinės KL ilgį. Ilgiausia kraštinė atitinka ilgiausią, taigi k = 30 : 15 = 2, o trumpiausia — trumpiausią, vadinasi, KL = 10 : 2 = 5. NŠA užduoties aptarime pateikti du sprendimo būdai: sudarant kraštinių proporciją ir apskaičiuojant panašumo koeficientą. Uždavinys vertintas vienu tašku. Šį uždavinį ir du kitus tų metų PUPP keturkampių uždavinius (24-ąjį ir 30-ąjį) aptarėme straipsnyje apie keturkampius.

Atitinkamų kraštinių supainiojimas nėra smulkmena. PUPP vertinimo gairėse neteisingai užrašytas sąryšis, pavyzdžiui, proporcija AB : CD = BC : AD, priskiriamas loginėms klaidoms, o už tokį žingsnį taškas neskiriamas.

Kur panašieji trikampiai slepiasi brėžinyje

Ne visada uždavinio sąlygoje parašyta, kad trikampiai panašūs. Dažnai jie paslėpti brėžinyje, ir didžioji darbo dalis — juos pamatyti. Mokykliniuose uždaviniuose ypač dažnos trys situacijos.

Pirmoji situacija — tiesė, lygiagreti trikampio kraštinei. Jei trikampio ABC viduje nubrėžta atkarpa DE lygiagreti kraštinei BC (taškas D yra kraštinėje AB, taškas E — kraštinėje AC), atsiranda mažas trikampis ADE, panašus į visą trikampį ABC. Kampas A jiems bendras, o kampai prie viršūnių D ir B lygūs kaip atitinkamieji kampai prie lygiagrečių tiesių. Čia slypi viena klastingiausių vietų: lygiagrečiųjų atkarpų santykis DE : BC lygus santykiui AD : AB (dalies ir visos kraštinės), o ne AD : DB. Tarkime, AD = 4, DB = 2, o DE = 6. Kadangi AB = 4 + 2 = 6, panašumo koeficientas k = AB : AD = 6 : 4 = 1,5, todėl BC = DE · k = 6 · 1,5 = 9. Jei mokinys parašo DE : BC = AD : DB, gauna BC = 3, nors BC turi būti ilgesnė už DE. Šiuo atveju toks atsakymas pats save išduoda, todėl verta įprasti patikrinti, ar gauta didesniojo trikampio kraštinė tikrai ilgesnė.

Antroji situacija primena smėlio laikrodį: dvi lygiagrečios atkarpos ir dvi tiesės, kurios kertasi tarp jų. Taip atrodo trapecija su įstrižainėmis. Tarkime, trapecijos ABCD pagrindai AD = 12 ir BC = 4, o įstrižainės kertasi taške O. Trikampiai AOD ir COB panašūs: kampai prie taško O lygūs kaip kryžminiai, o kampai OAD ir OCB — kaip vidaus priešiniai prie lygiagrečių tiesių AD ir BC bei kirstinės AC. Panašumo koeficientas k = AD : BC = 3, todėl taškas O įstrižainę AC dalija santykiu 3 : 1. Jei AC = 10, tai AO = 7,5, o OC = 2,5. Kampų prie lygiagrečių tiesių pavadinimus ir savybes aptarėme straipsnyje apie kampus matematikoje.

Trečioji situacija — aukštinė, nuleista į stačiojo trikampio įžambinę. Ji padalija trikampį į du mažesnius stačiuosius trikampius, ir visi trys trikampiai — abu mažieji ir didysis — yra panašūs. Šį atvejį verta aptarti atskirai.

Stačiasis trikampis: aukštinė į įžambinę ir trigonometrija

Tarkime, trikampio ABC kampas C status, o CH yra aukštinė, nuleista į įžambinę AB. Ji padalija trikampį į du stačiuosius trikampius ACH ir CBH. Pirmasis turi bendrą kampą A su dideliuoju trikampiu, antrasis — bendrą kampą B, o statųjį kampą turi visi trys. Todėl pagal du kampus visi trys trikampiai yra panašūs. Iš šio panašumo išplaukia patogus sąryšis: aukštinės kvadratas lygus įžambinės atkarpų sandaugai, CH² = AH · HB. Jei AH = 4, o HB = 9, tai CH² = 36 ir CH = 6. Šio sąryšio nėra nei PUPP formulių rinkinyje, nei bendrojoje programoje, todėl pagal vertinimo gaires pilnojo sprendimo uždavinyje jį reikia užrašyti simboliais, CH² = AH · HB, o ne vien 4 · 9 = 36. Kadangi AB = 4 + 9 = 13, panašiai randami ir statiniai: AC² = AH · AB = 4 · 13 = 52, o BC² = HB · AB = 9 · 13 = 117, t. y. AC = 2√13, o BC = 3√13. Patikrinimas pagal Pitagoro teoremą parodo, kad skaičiuota teisingai: 52 + 117 = 169 = 13².

Devintoje klasėje panašumas tampa ir trigonometrijos pamatu. Bendrojoje programoje rašoma, kad, apibrėžus sinusą, kosinusą ir tangentą stačiajame trikampyje ir skaičiuojant panašiųjų trikampių kraštinių ilgių santykius, įsitikinama, jog sinuso, kosinuso ir tangento reikšmės nepriklauso nuo trikampio dydžio. Kitaip tariant, visi statieji trikampiai su tuo pačiu smailiuoju kampu yra panašūs, todėl priešinio statinio ir įžambinės santykis priklauso tik nuo kampo. Šis santykis ir vadinamas kampo sinusu. Dėl to smailiųjų kampų sinusų, kosinusų ir tangentų reikšmes galima surašyti į vieną lentelę, tinkančią bet kokio dydžio trikampiams; tokia lentelė, papildyta 90°–150° kampais, išspausdinta ir PUPP formulių rinkinyje. Kaip iš šios idėjos auga trigonometrija, aiškinome straipsnyje apie trigonometriją.

Talio teorema ir jos išvada trikampiui

Talio teorema teigia, kad lygiagrečios tiesės, kertančios dvi kampo kraštines, atkerta jose proporcingas atkarpas. Jei pirmojoje kraštinėje atkarpų santykis yra 2 : 3, toks pat santykis bus ir antrojoje. Teisingas ir atvirkštinis teiginys, jei atkarpos skaičiuojamos nuo kampo viršūnės: jei tiesės DE ir BC kampo A kraštinėse atkerta atkarpas, kurioms AD : DB = AE : EC, tos tiesės lygiagrečios. Trikampiui tai reiškia, kad tiesė, lygiagreti vienai kraštinei, kitas dvi kraštines dalija tuo pačiu santykiu ir atkerta trikampį, panašų į duotąjį. Pavyzdyje su lygiagrečia tiese, kai AD = 4 ir DB = 2, o AE = 5, atkarpa EC turi būti lygi 2,5, nes 4 : 2 = 5 : 2,5.

Dvi proporcijos čia dažnai painiojamos, todėl verta jas atskirti. Kraštinių dalys proporcingos tarpusavyje: AD : DB = AE : EC. O lygiagrečiųjų atkarpų santykis lygus mažojo ir didžiojo trikampių kraštinių santykiui: DE : BC = AD : AB. Pirmoji proporcija yra Talio teorema, antroji išplaukia iš trikampių ADE ir ABC panašumo.

Ieškant informacijos angliškai, verta žinoti, kad pavadinimai nesutampa. Anglų kalba „Thales's theorem“ dažniausiai vadinamas visai kitas teiginys: įbrėžtinis kampas, kuris remiasi į skersmenį, yra status. Mūsų Talio teorema angliškai vadinama „intercept theorem“. Matematikos bendrojoje programoje Talio vardas apskritai neminimas: ten kalbama apie panašiuosius trikampius ir proporcijų sudarymą, o Talio teoremą galima laikyti viena iš panašumo išvadų.

Teorema pavadinta senovės graikų mąstytojo Talio iš Mileto vardu. Vėlesni antikos autoriai pasakoja, kad Egipte jis išmatavo piramidės aukštį pagal jos šešėlį. Pagal vieną pasakojimą Talis laukė akimirkos, kai žmogaus šešėlis tampa lygus jo ūgiui. Plutarchas pasakoja kitaip: prie piramidės šešėlio galo Talis pastatė lazdą ir palygino du saulės spindulių sudarytus trikampius. Matematikos istorijos archyvas „MacTutor“ primena, kad Talio raštų neišliko, todėl šiuos pasakojimus reikia vertinti atsargiai. Vis dėlto pati idėja, kad aukštį galima rasti iš šešėlių santykio, yra grynas panašumas, ir ją nesunku išbandyti kieme. Kaip šešėliais išmatuoti medžio aukštį, aprašėme straipsnyje apie trikampius.

Perimetrai, plotai ir tūriai: k, k² ir k³

Jei trikampiai panašūs su koeficientu k, jų perimetrų santykis taip pat lygus k: kiekviena kraštinė pailgėja k kartų, vadinasi, k kartų pailgėja ir jų suma. Su plotu yra kitaip. Plotas turi du matmenis, ir abu jie padidėja k kartų, todėl panašiųjų figūrų plotų santykis lygus k². Erdvėje prisideda trečias matmuo, taigi panašiųjų kūnų tūrių santykis lygus k³. Plotų ir tūrių taisyklę trumpai pateikia ir Visuotinė lietuvių enciklopedija. Programoje panašiųjų figūrų perimetrų ir plotų dėsningumai nagrinėjami dešimtoje klasėje.

Ši taisyklė sunkiai įsimenama ne todėl, kad sudėtinga, o todėl, kad prieštarauja intuicijai. Geteborgo universiteto tyrėjos Jenny Svanteson Wester ir Angelika Kullberg 2020 m. straipsnyje aprašo, kaip keturiolikmečiai mokėsi mastelio, ir apžvelgia ankstesnius tyrimus apie vadinamąją tiesiškumo iliuziją: 12–16 metų mokiniai linkę manyti, kad, padvigubinus visas kraštines, dvigubai padidėja ir plotas, ir tūris. Viename iš jų cituojamų tyrimų, kuriame dalyvavo 10–16 metų mokiniai, 60–80 % atsakė, kad, padvigubinus drugelio piešinio ilgį ir plotį, jo plotas padvigubės, o teisingai atsakė mažiau nei 10 %. Iš stebėtų pamokų tyrėjos daro praktišką išvadą: ilgio ir ploto pokyčius verta nagrinėti kartu, o ne atskirai.

Intuiciją pataisyti padeda keli kasdieniai pavyzdžiai. Nuotraukos, padidintos nuo 10 × 15 iki 20 × 30 cm, kraštinės pailgėja dvigubai, bet plotas padidėja nuo 150 iki 600 cm², t. y. keturis kartus. A serijos popieriaus lapai yra panašūs stačiakampiai: A4 lapo matmenys yra 210 × 297 mm, A3 — 297 × 420 mm. A3 lapo plotas lygiai dvigubai didesnis, tačiau jo kraštinės ilgesnės ne dvigubai, o tik maždaug 1,41 karto, t. y. √2 karto. Tą patį galima pamatyti ir tangrame, kiniškoje dėlionėje iš septynių detalių. Visi penki jos trikampiai yra statieji lygiašoniai, taigi panašūs, nors būna trijų dydžių: mažojo, vidutinio ir didžiojo trikampių atitinkamų kraštinių santykis yra 1 : √2 : 2, o plotų — 1 : 2 : 4.

Plotų taisyklė padeda ir ten, kur trikampių iš viso nėra. 2026 m. PUPP 27-ajame uždavinyje buvo skritulio išpjova AOB, kurios kampas lygus 60°, o plotas — 13,5π. Dviejų apskritimų, kurių centras — taškas O, lankai dalijo spindulį OA į tris lygias dalis, ir reikėjo rasti dviejų nuspalvintų sričių plotų skirtumą. NŠA aptarime spinduliai pažymėti r, 2r ir 3r, todėl skritulių plotai yra πr², 4πr² ir 9πr², t. y. jų santykis lygus 1 : 4 : 9. Tai ir yra k²: išpjovos su tuo pačiu kampu yra panašios figūros. Pastebėjus šį santykį, mažiausios išpjovos plotą galima rasti iš karto: 13,5π : 9 = 1,5π, o dvigubai didesnio spindulio išpjovos — 4 · 1,5π = 6π. Išorinio žiedo išpjovos plotas lygus 13,5π − 6π = 7,5π, todėl ieškomas skirtumas yra 7,5π − 1,5π = 6π. Uždavinys vertintas vienu tašku. Tą pačią taisyklę su planais ir žemėlapiais aptarėme straipsnyje apie mastelį.

Ko nėra PUPP formulių rinkinyje

PUPP užduotis atliekama kompiuteriu, o mokinys gali naudotis lapu užrašams, skaičiuotuvu ir išspausdintu formulių rinkiniu. Rinkinyje, be kita ko, yra greitosios daugybos formulės, laipsnių ir šaknų savybės, kvadratinės lygties sprendinių formulė, trigonometrinių reikšmių lentelė, sinusų ir kosinusų teoremos, trikampio ploto formulės, daugiakampio kampų sumos formulė ir skritulio išpjovos formulės. Panašumo požymių, panašumo koeficiento, plotų santykio k², Talio teoremos ir sąryšio CH² = AH · HB jame nėra, todėl visa tai reikia žinoti mintinai. Kas dar duodama per kitus patikrinimus, palyginome straipsnyje apie egzaminų formulynus.

PUPP užduoties apraše nurodyta, kad patikrinime gali būti uždavinių iš visų devintos klasės temų, o iš dešimtos — iš visų, išskyrus duomenų ir tikimybių sritį. Taigi į patikrinimą patenka ir devintos klasės panašumo požymiai, ir dešimtos klasės panašiųjų figūrų perimetrų bei plotų dėsningumai. Užduotį sudaro 30–35 uždaviniai, už kuriuos iš viso galima gauti 50 taškų, o patikrinimas trunka 150 minučių. Kitas matematikos PUPP vyks 2027 m. gegužės 12 d., o pakartotinė sesija — birželio 21 d. Kiek taškų reikia ketvertui, aiškinome straipsnyje apie PUPP vertinimą 2027 m.

Kaip PUPP vertina sakinį „trikampiai panašūs“

NŠA patvirtintose matematikos PUPP vertinimo gairėse panašumas minimas ne kartą, ir iš jų galima suprasti, už ką skiriami taškai. Pirmiausia, kai uždavinio sąlygoje parašyta „parodykite“, „pagrįskite“ arba „argumentuokite“, užtenka paaiškinti, kodėl pasirenkamas sprendimo būdas. Gairėse pateikiami tokie pavyzdžiai: „pagal Pitagoro teoremą“, „AB ⊥ KL“, „trikampiai ABC ir KMN yra panašieji“. Įrodyti faktų nebūtina, o už pagrindimą skiriamas atskiras taškas.

Gairėse aptariamas toks pavyzdys. Trapecijos ABCD įstrižainė AC statmena šoninei kraštinei CD, trikampio ACD plotas lygus 36 cm², o CD = 1,5 · AB. Reikia apskaičiuoti trikampio ABC plotą ir atsakymą argumentuoti. Brėžinyje trapecijos pagrindai BC ir AD lygiagretūs, o kampas B status, todėl trikampiai ABC ir ACD panašūs. Jų panašumo koeficientas k = CD : AB = 1,5, plotų santykis lygus 1,5² = 2,25, o ieškomas plotas — 36 : 2,25 = 16 cm². Jei mokinys parašo tik skaičiavimą 36 : 1,5² = 16, jis negauna pirmojo taško, skiriamo už argumentavimą, nors atsakymas teisingas. Jei prieš skaičiavimą parašoma, kad trikampiai ABC ir ACD panašūs, ir užrašomas k = CD : AB = 1,5, skiriami visi taškai. O jei sąlygoje žodžio „argumentuokite“ nebūtų, visi taškai būtų skiriami ir už vieną skaičiavimą.

Įrodymo uždaviniuose reikalaujama daugiau. Juose reikia pagrįsti kiekvieną teiginį, kurio nėra sąlygoje, ir kiekvienas toks pagrindimas vertinamas atskiru tašku. Gairės tai iliustruoja tuo pačiu brėžiniu, tik šįkart reikia įrodyti, kad trikampiai ABC ir ACD panašūs. Sprendimas, kuriame užrašyta, kad kampai ABC ir ACD statūs, o kampai BCA ir CAD lygūs, todėl pagal du kampus trikampiai panašūs, taško negauna, nes nepagrįsta, kodėl kampai BCA ir CAD lygūs. Taško negauna ir sprendimas, kuriame kampų lygybė pagrįsta, bet nepadaryta išvada. Taškas skiriamas, kai parašyta, kad kampai BCA ir CAD lygūs kaip vidaus priešiniai kampai prie lygiagrečių tiesių BC ir AD bei kirstinės AC, ir padaryta išvada, kad trikampiai panašūs. Žodžio „įrodyta“ rašyti nebūtina, o požymio pavadinimo galima ir nenurodyti, jei išvardyti visi reikiami sąryšiai.

Dar viena gairių vieta nuramins tuos, kurie mėgsta parašyti daugiau, nei reikia. Jei mokinys nurodo, kad trikampiai panašūs, nes lygūs visi trys jų kampai, nors užtektų dviejų, toks pagrindimas laikomas pertekliniu, ir taškas vis tiek skiriamas. Iš gairių pavyzdžių galima susidaryti trumpą kontrolinį sąrašą, kurį verta prisiminti prieš pereinant prie kito uždavinio:

• Ar parašyta, kurie trikampiai panašūs? Geriausia juos užrašyti viršūnėmis atitinkama tvarka, nes tada lengviau sudaryti proporciją.
• Ar nurodyta kiekvienos kampų lygybės ar kraštinių proporcingumo priežastis, pavyzdžiui, bendras kampas, kryžminiai kampai, kampai prie lygiagrečių tiesių ar statieji kampai?
• Ar proporcija sudaryta tik iš atitinkamų kraštinių ir ar lygiagrečiųjų atkarpų santykis prilygintas santykiui AD : AB, o ne AD : DB?
• Ar padaryta aiški išvada, o skaičiavimo uždavinyje atsakymas įrašytas į atsakymo laukelį?

Kaip užrašyti sprendimą, kad vertintojas rastų kiekvieną žingsnį, plačiau aptarėme straipsnyje apie matematikos sprendimo užrašymą.

Tipinės klaidos ir kaip jas pastebėti

Daugumą panašumo klaidų galima pastebėti dar prieš baigiant uždavinį. Pirmoji — supainiotos atitinkamos kraštinės. Ją dažnai lemia skubėjimas: lyginamos kraštinės, kurios brėžinyje yra arčiau viena kitos, o ne tos, kurios yra prieš lygius kampus. Nuo šios klaidos saugo paprastas įprotis — užrašyti panašius trikampius viršūnėmis atitinkama tvarka ir proporciją skaityti tiesiai iš užrašo.

Antroji — kraštinės dalis vietoje visos kraštinės. Ji jau minėta kalbant apie lygiagrečią tiesę: lygiagrečiųjų atkarpų santykis lygus santykiui AD : AB, o ne AD : DB. Kai DB trumpesnė už AD, šią klaidą išduoda pats atsakymas: gauta didesniojo trikampio kraštinė būna trumpesnė už atitinkamą mažesniojo trikampio kraštinę.

Trečioji — plotas dauginamas iš k, o ne iš k². Kai kraštinės pailgėja tris kartus, plotas padidėja devynis kartus. Pasitikrinti padeda greitas eskizas: trys trikampio vidurio linijos jį padalija į keturis lygius mažus trikampius, kurių kiekvieno kraštinės dvigubai trumpesnės. Vadinasi, dvigubai ilgesnių kraštinių trikampio plotas yra keturis kartus didesnis.

Ketvirtoji — požymis pritaikytas be reikiamos sąlygos, pavyzdžiui, imamas kampas, kuris nėra tarp proporcingų kraštinių, arba kampai, kurie brėžinyje tik atrodo lygūs. Remtis galima tik tuo, kas duota sąlygoje arba išplaukia iš žinomų savybių, o ne tuo, kaip atrodo piešinys. Penktoji — nepadaryta išvada: įrodymo uždavinyje sprendimas, kuriame yra tik teisingos lygybės be sakinio, kad trikampiai panašūs, taško negauna.

Kaip pasitreniruoti namuose

Panašumui suprasti nereikia daug priemonių. Liniuote ir matlankiu nubraižykite du skirtingo dydžio trikampius, kurių du kampai atitinkamai lygūs, pavyzdžiui, abiejuose yra 40° ir 75° kampai. Išmatavus kraštines ir padalijus kiekvieną vieno trikampio kraštinę iš atitinkamos kito trikampio kraštinės, visi trys santykiai bus beveik vienodi — tai pirmasis požymis, patikrintas savo rankomis. Antrasis pratimas — išmatuoti A4 ir A3 lapus ir įsitikinti, kad dvigubai didesnio lapo kraštinės ilgesnės tik maždaug 1,41 karto. Trečiasis — tangramas: iš dviejų mažųjų trikampių sudėti vidutinį, o iš vidutinio ir dviejų mažųjų — didįjį. Taip plotų santykis 1 : 2 : 4 matyti be jokių skaičiavimų.

Uždaviniams spręsti geriausiai tinka rinkiniai, kuriuose pateikti ne tik atsakymai, bet ir sprendimai. Panašumo uždavinyje svarbus ne tik skaičius, bet ir pagrindimo sakinys, todėl verta palyginti savo sprendimo eilutes su pavyzdiniu sprendimu ir pažiūrėti, ar nepraleistas nė vienas pagrindimas. Devintokų tėvams, norintiems susidaryti bendrą vaizdą, pravers ir mūsų gidas apie matematiką 9 klasėje.

Su kuo treniruotis: uždavinynai ir knygos

Panašumo uždavinius verta spręsti ne atskirai, o kartu su kitomis devintos ir dešimtos klasės temomis, nes uždaviniuose panašumas neretai susipina su Pitagoro teorema, plotais ir trigonometrija. Pavyzdžiui, 10 klasės matematikos pagrindų stiprinimo uždavinyne yra 287 uždaviniai pagrindams įtvirtinti ir pasiruošti PUPP, tarp jų geometrijos, plotų ir tūrių uždaviniai, o atskirame 185 puslapių faile pateikti sprendimai su eiga žingsnis po žingsnio. Toks formatas patogiausias tikrinant pagrindimą: matyti ne tik atsakymas, bet ir tai, kokiu sakiniu sprendimas pagrįstas.

Stipresniems mokiniams, kuriems standartinių užduočių per maža, skirtas 10 klasės matematikos uždavinynas „siekiantiems daugiau“: 359 uždaviniai ir atskiras failas su išsamiais sprendimais ir paaiškinimais. Kartu su juo galima užsisakyti ir 60 minučių gilinimo pamoką, per kurią mokytojas su mokiniu aptaria svarbiausius šio uždavinyno uždavinius ir padarytas klaidas.

Tiems, kurie mieliau dirba su spausdintomis knygomis, tinka Vaidoto Mockaus 10 klasės matematikos PUPP užduočių pavyzdžiai, parengti pagal atnaujintą programą, ir pagrindinės mokyklos 5–10 klasių matematikos kartojimo uždaviniai su atsakymais. Pastarojoje knygoje pateikti viso 5–10 klasių kurso teminio kartojimo uždaviniai, todėl, jei panašumas stringa dėl senesnių spragų, galima grįžti ir prie ankstesnių temų, nuo kurių jis priklauso. Abi knygas rasite parduotuvės PUPP matematikos skiltyje, o daugiau to paties autoriaus leidinių — Mockaus knygų skiltyje.

Mokantis praverčia ir Mockaus matematikos atmintinė, kurioje trumpai surinktos kurso formulės, taisyklės ir grafikai. Tik verta prisiminti, kad į patikrinimą jos atsinešti negalima: iš formulių per PUPP turėsite tik išspausdintą formulių rinkinį, todėl to, ko jame nėra, reikia išmokti. Jei neaišku, kurioje vietoje nutrūksta grandinė nuo proporcijų iki panašumo, pirmąją pamoką su mokytoju verta skirti diagnostikai; individualių pamokų pasiūlą rasite korepetitorių paslaugų skiltyje.

Kada verta kreiptis į korepetitorių

Panašumas yra viena iš temų, kuriose pagalba greitai duoda rezultatų, nes klaidos kartojasi ir jas nesunku pamatyti iš šalies. Jei mokinys moka požymius, bet brėžinyje panašių trikampių neranda, jei proporcija vis sudaroma iš neatitinkamų kraštinių arba jei sprendimai teisingi, bet taškai prarandami dėl trūkstamo pagrindimo, verta šias vietas peržiūrėti su mokytoju. Devintokams tinkamą mokytoją padės rasti matematikos korepetitoriaus 9 klasei puslapis, dešimtokams prieš PUPP — matematikos korepetitoriaus 10 klasei puslapis, o kitų klasių mokiniams — bendras matematikos korepetitorių puslapis.

Trumpai

Panašieji trikampiai — tos pačios formos trikampiai: jų atitinkami kampai lygūs, o atitinkamos kraštinės proporcingos su tuo pačiu koeficientu k. Panašumui įrodyti užtenka vieno iš trijų požymių: dviejų lygių kampų, dviejų proporcingų kraštinių ir lygaus kampo tarp jų arba trijų proporcingų kraštinių. Atitinkamos kraštinės yra prieš lygius kampus, perimetrai keičiasi k kartų, plotai — k² kartų, o panašiųjų kūnų tūriai — k³ kartų. PUPP formulių rinkinyje nė vienos iš šių taisyklių nėra, o uždavinyje su žodžiu „argumentuokite“ už vieną sakinį, kad trikampiai panašūs, gali būti skiriamas atskiras taškas.