Ar 51 yra pirminis skaičius? Nemažai vaikų ir suaugusiųjų atsakytų, kad taip: jis nelyginis, nesibaigia nei nuliu, nei penketu, o daugybos lentelėje jo nėra. Vis dėlto 51 = 3 · 17. Iki šimto yra ir daugiau skaičių, kurie tik atrodo pirminiai, pavyzdžiui, 57, 87 ar 91. Būtent dėl jų pirminių skaičių verta ne iškalti, o suprasti, kaip jie atpažįstami.
Šiame straipsnyje rasite pirminių skaičių lentelę iki 100, paaiškinimą, kaip ją per kelias minutes susidaryti patiems, ir paprastą būdą patikrinti, ar pirminis yra bet kuris kitas skaičius. Toliau aiškinamės, kaip skaičių išskaidyti pirminiais dauginamaisiais ir kaip iš skaidinių rasti didžiausiąjį bendrąjį daliklį (DBD) bei mažiausiąjį bendrąjį kartotinį (MBK) — be jų sunku suprastinti trupmenas ir rasti bendrą vardiklį. Pabaigoje pateikiame uždavinius su atsakymais ir tai, ko apie pirminius skaičius penktoje klasėje reikalauja Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) dokumentai. Kodėl visa dalumo tema penktokams svarbesnė, nei atrodo, plačiau rašėme straipsnyje apie dalumo požymius.
Kas yra pirminis skaičius
Pirminis skaičius yra natūralusis skaičius, turintis lygiai du skirtingus daliklius: vienetą ir patį save. Visuotinėje lietuvių enciklopedijoje jis dar vadinamas neskaidžiuoju skaičiumi, ir šis pavadinimas gerai nusako esmę: pirminio skaičiaus negalima užrašyti dviejų mažesnių už jį natūraliųjų skaičių sandauga. Pavyzdžiui, 7 dalijasi tik iš 1 ir iš 7, todėl jis pirminis.
Skaičius, turintis daugiau nei du daliklius, vadinamas sudėtiniu (dar — skaidžiuoju). Pavyzdžiui, 12 dalijasi iš 1, 2, 3, 4, 6 ir 12, todėl jį galima užrašyti sandauga net keliais būdais: 12 = 2 · 6 = 3 · 4.
Skirtumą lengviausia pamatyti su vienodais kubeliais ar sagomis. Iš dvylikos kubelių galima sudėti stačiakampį: 3 eiles po 4 arba 2 eiles po 6. Iš penkių ar septynių kubelių tokio stačiakampio, kurio abi kraštinės ilgesnės už vieną kubelį, sudėti nepavyks — jie išsirikiuos tik į vieną eilę. Kai kubelių daugiau nei vienas, būtent tai ir reiškia, kad jų skaičius pirminis. Tokia užduotis vaikui dažnai aiškesnė už bet kokį apibrėžimą, o atlikti ją galima ir prie virtuvės stalo.
Du skaičiai šioje temoje užima ypatingą vietą. Pirmasis — 2: tai mažiausias ir vienintelis lyginis pirminis skaičius. Visi kiti lyginiai skaičiai dalijasi iš 2, vadinasi, turi bent tris daliklius. Antrasis — 1, kuris nėra nei pirminis, nei sudėtinis. Apie jį verta pakalbėti atskirai.
Kodėl 1 nėra pirminis skaičius
Tai turbūt dažniausias klausimas apie pirminius skaičius. Trumpas atsakymas: skaičius 1 turi tik vieną daliklį — patį save, o pirminiam skaičiui reikia lygiai dviejų skirtingų daliklių. Todėl vienetas nėra pirminis, bet nėra ir sudėtinis.
Ilgesnis atsakymas paaiškina, kodėl matematikai taip susitarė. Jie remiasi vadinamąja pagrindine aritmetikos teorema: kiekvieną natūralųjį skaičių, didesnį už 1, galima vieninteliu būdu užrašyti pirminių skaičių sandauga, jei nekreipiame dėmesio į dauginamųjų tvarką. Pavyzdžiui, 12 = 2 · 2 · 3, ir kitokio skaidinio nėra. Jei vienetas būtų pirminis, tą patį skaičių būtų galima užrašyti be galo daugeliu būdų: 2 · 2 · 3, 1 · 2 · 2 · 3, 1 · 1 · 2 · 2 · 3 ir t. t. Skaidinys nebebūtų vienintelis, o daugelį taisyklių tektų formuluoti su išlygomis.
Matematikos istorijoje tai ne visada buvo savaime aišku. C. Caldwellas ir Y. Xiongas, apžvelgę pirminių skaičių sampratą nuo senovės Graikijos iki mūsų dienų, rašo, kad skirtingais laikais kai kurie matematikai pirmuoju pirminiu skaičiumi laikė vienetą („What is the Smallest Prime?“, 2012). Šiandien susitarimas vienareikšmis: mažiausias pirminis skaičius yra 2.
Pirminių skaičių lentelė iki 100
Iki 100 yra 25 pirminiai skaičiai. Juos patogiausia įsiminti dešimtimis:
| Skaičiai | Pirminiai skaičiai | Kiek |
|---|---|---|
| 1–10 | 2, 3, 5, 7 | 4 |
| 11–20 | 11, 13, 17, 19 | 4 |
| 21–30 | 23, 29 | 2 |
| 31–40 | 31, 37 | 2 |
| 41–50 | 41, 43, 47 | 3 |
| 51–60 | 53, 59 | 2 |
| 61–70 | 61, 67 | 2 |
| 71–80 | 71, 73, 79 | 3 |
| 81–90 | 83, 89 | 2 |
| 91–100 | 97 | 1 |
Iš lentelės matyti keli dėsningumai. Visi pirminiai skaičiai, išskyrus 2 ir 5, baigiasi skaitmenimis 1, 3, 7 arba 9 — kitaip jie dalytųsi iš 2 arba iš 5. Tačiau atvirkščiai teigti negalima: skaičiai 9, 21, 27, 33, 39, 49, 51, 57, 63, 69, 77, 81, 87, 91, 93 ir 99 taip pat baigiasi šiais skaitmenimis, bet yra sudėtiniai.
Didėjant skaičiams, pirminiai skaičiai apskritai retėja, nors ir netolygiai: pirmojoje dešimtyje jų yra keturi, o paskutinėje — tik vienas, 97. Iki 1000 pirminių skaičių yra 168, mažiausias triženklis pirminis skaičius yra 101, o didžiausias — 997. Dar keli dažnai ieškomi faktai: vienaženkliai pirminiai skaičiai yra 2, 3, 5 ir 7, mažiausias dviženklis — 11, o didžiausias dviženklis — 97.
Pirminių skaičių poros, kurios skiriasi dviem, pavyzdžiui, 11 ir 13 ar 71 ir 73, vadinamos pirminiais dvyniais. Iki šimto tokių porų yra aštuonios: 3 ir 5, 5 ir 7, 11 ir 13, 17 ir 19, 29 ir 31, 41 ir 43, 59 ir 61, 71 ir 73. Ar tokių porų apskritai yra be galo daug, matematikai iki šiol nežino.
Eratosteno rėtis: kaip pirminius skaičius rasti patiems
Lentelę iki 100 vaikas gali susidaryti pats, ir tai daug naudingiau nei ją iškalti. Šis daugiau nei dviejų tūkstančių metų senumo būdas priskiriamas senovės graikų mokslininkui Eratostenui (apie 276–194 m. pr. Kr.), vadovavusiam garsiajai Aleksandrijos bibliotekai. Pasakojama (taip rašoma ir Visuotinėje lietuvių enciklopedijoje), kad jis surašydavo skaičius ant papiruso, o sudėtinius pradurdavo, todėl papirusas tapdavo panašus į rėtį.
- Surašykite skaičius nuo 1 iki 100 į lentelę po dešimt kiekvienoje eilutėje. Skaičių 1 praleiskite: jis nėra pirminis.
- Apibraukite 2 ir išbraukite visus kitus jo kartotinius: 4, 6, 8 ir t. t. Šiame žingsnyje išbraukiami net 49 skaičiai.
- Pirmasis neišbrauktas skaičius po dvejeto yra 3. Apibraukite jį ir išbraukite dar neišbrauktus jo kartotinius: 9, 15, 21 ir t. t. Išbraukiama dar 16 skaičių.
- Tą patį pakartokite su 5 (dar išbraukiami 6 skaičiai: 25, 35, 55, 65, 85 ir 95) ir su 7 (dar 3 skaičiai: 49, 77 ir 91).
- Visi neišbraukti skaičiai, išskyrus praleistą vienetą, yra pirminiai. Jų yra lygiai 25.
Kodėl galima sustoti ties septynetu? Jei skaičius iki 100 yra sudėtinis, jį galima užrašyti dviejų mažesnių skaičių sandauga, ir bent vienas iš jų yra ne didesnis už 10, nes 11 · 11 = 121 jau viršija šimtą. O kiekvienas skaičius nuo 2 iki 10 dalijasi iš 2, 3, 5 arba 7. Vadinasi, iš 2, 3, 5 arba 7 dalijasi ir kiekvienas sudėtinis skaičius iki 100, todėl po keturių žingsnių jis jau bus išbrauktas.
Eratosteno rėtis tinka ir didesniems skaičiams. Norint rasti visus pirminius skaičius iki 200, dar reikėtų išbraukti 11 ir 13 kartotinius, nes 13 · 13 = 169 neviršija 200, o kito pirminio skaičiaus kvadratas, 17 · 17 = 289, jau viršija. Pasak tos pačios enciklopedijos, pats Eratostenas taip sudarė pirminių skaičių lentelę iki 1000.
Kaip greitai patikrinti, ar skaičius pirminis
Rėtis patogus, kai reikia visų pirminių skaičių iš eilės. Kai klausiama apie vieną konkretų skaičių, greičiau jį patikrinti dalyba. Taisyklė tokia: didesnį už 1 skaičių pakanka dalyti iš pirminių skaičių, kurių kvadratas neviršija tikrinamo skaičiaus. Jei skaičius nesidalija nė iš vieno jų, jis pirminis.
Pavyzdžiui, tikrinant 97 užtenka keturių bandymų. Skaičius 97 nesidalija iš 2 (jis nelyginis), iš 3 (jo skaitmenų suma lygi 16), iš 5 (jis nesibaigia nei 0, nei 5) ir iš 7 (7 · 13 = 91, o 7 · 14 = 98). Kito pirminio skaičiaus, 11, kvadratas yra 121, o tai jau daugiau už 97, todėl toliau tikrinti nebereikia: 97 yra pirminis. Su skaičiumi 143 tenka eiti toliau, nes 11 · 11 = 121 neviršija 143. Iš 2, 3, 5 ir 7 skaičius 143 nesidalija, bet 143 = 11 · 13, vadinasi, jis sudėtinis.
Pirmuosius tris bandymus sutrumpina dalumo požymiai: iš 2 dalijasi lyginiai skaičiai, iš 3 — skaičiai, kurių skaitmenų suma dalijasi iš 3, o iš 5 — skaičiai, kurie baigiasi 0 arba 5. Dalumo iš 7 požymio bendrojoje programoje nėra, todėl šį bandymą tenka atlikti dalijant.
Verta įsidėmėti ir kelis „apgaulingus“ skaičius iki šimto, kurie dažnai palaikomi pirminiais: 51 = 3 · 17, 57 = 3 · 19, 87 = 3 · 29 ir 91 = 7 · 13. Pirmuosius tris išduoda skaitmenų suma (6, 12 ir 15 dalijasi iš 3), o 91 — tik bandymas jį padalyti iš 7.
Skaidymas pirminiais dauginamaisiais: du būdai
Kiekvieną sudėtinį skaičių galima užrašyti vien pirminių skaičių sandauga. Tai vadinama skaidymu pirminiais dauginamaisiais. Matematikos bendrojoje programoje nurodyta, kad penktoje klasėje „tyrinėjami įvairūs skaičiaus skaidymo pirminiais dauginamaisiais būdai“, todėl nenustebkite, jei vaiko sąsiuvinyje pamatysite ne tą būdą, kurio mokėtės patys. Svarbiausia, kad rezultatas visada tas pats: kad ir kaip skaidytume, gausime tuos pačius pirminius dauginamuosius. Tai ir teigia jau minėta pagrindinė aritmetikos teorema.
Pirmasis būdas — vadinamasis dauginamųjų medis. Skaičių užrašome bet kurių dviejų dauginamųjų sandauga, pavyzdžiui, 360 = 36 · 10, ir kiekvieną dauginamąjį skaidome toliau: 36 = 6 · 6, 6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5. Skaidyti baigiame tada, kai visos „medžio šakos“ baigiasi pirminiais skaičiais. Šis būdas patogus, nes galima pradėti nuo to, ką vaikas mato iš karto, pavyzdžiui, nuo daugybos lentelės.
Antrasis būdas — skaidymas stulpeliu. Skaičių iš eilės dalijame iš mažiausio pirminio skaičiaus, iš kurio jis dalijasi, o gautus dalmenis rašome vieną po kito, kol gauname 1:
| Skaičius | Dalijame iš |
|---|---|
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Dešiniajame stulpelyje liko visi pirminiai dauginamieji: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Septintoje klasėje, kai apibrėžiamas laipsnis, ta pati sandauga rašoma trumpiau: 360 = 2³ · 3² · 5. Abu būdai duoda tą patį rezultatą, tik stulpelis tvarkingesnis ir jame sunkiau ką nors praleisti.
Dažna klaida — sustoti per anksti. Užrašas 60 = 6 · 10 teisingas, bet tai dar ne skaidymas pirminiais dauginamaisiais, nes nei 6, nei 10 nėra pirminiai. Teisingas atsakymas yra 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Pasitikrinti paprasta: sudauginę visus dauginamuosius turime vėl gauti pradinį skaičių, o kiekvienas dauginamasis turi būti pirminis.
DBD ir MBK: ką jie reiškia ir kaip juos rasti
Didžiausiasis bendrasis daliklis (DBD) yra didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio dalijasi visi duoti skaičiai. Mažiausiasis bendrasis kartotinis (MBK) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš visų duotų skaičių. Kasdienėje kalboje ir paieškoje dažnai sakoma trumpiau — „didžiausias bendras daliklis“ ir „mažiausias bendras kartotinis“, — bet tai tie patys dalykai. DBD ir MBK užrašuose skaičiai dažnai atskiriami kabliataškiu, pavyzdžiui, DBD(12; 18), kad jų nebūtų galima supainioti su dešimtainiu skaičiumi 12,18.
Mažų skaičių DBD ir MBK galima rasti surašant daliklius ir kartotinius. Skaičiaus 12 dalikliai yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12, o skaičiaus 18 dalikliai — 1, 2, 3, 6, 9 ir 18. Bendri dalikliai yra 1, 2, 3 ir 6, didžiausias iš jų — 6, todėl DBD(12; 18) = 6. Skaičiaus 12 kartotiniai yra 12, 24, 36, 48 ir t. t., o skaičiaus 18 kartotiniai — 18, 36, 54 ir t. t. Mažiausias bendras kartotinis yra 36, todėl MBK(12; 18) = 36.
Kai skaičiai didesni, surašinėti ilgai, todėl pasitelkiamas skaidymas. Paimkime 24 ir 36: 24 = 2 · 2 · 2 · 3, o 36 = 2 · 2 · 3 · 3. DBD lygus bendrų pirminių dauginamųjų sandaugai: kiekvieną bendrą dauginamąjį imame tiek kartų, kiek jis pasikartoja tame skaidinyje, kuriame jo yra mažiau. Abiem skaidiniams bendri yra du dvejetai ir vienas trejetas, todėl DBD(24; 36) = 2 · 2 · 3 = 12.
MBK sudaromas kitaip: imame visus pirminius dauginamuosius, kiekvieną tiek kartų, kiek daugiausia kartų jis pasikartoja viename skaidinyje. Dvejetas daugiausia kartojasi tris kartus (skaičiaus 24 skaidinyje), trejetas — du kartus (skaičiaus 36 skaidinyje), todėl MBK(24; 36) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72.
Atsakymą patikrinti padeda paprasta savybė: dviejų skaičių DBD ir MBK sandauga lygi pačių skaičių sandaugai. Iš tiesų 12 · 72 = 864 ir 24 · 36 = 864. Dar paprastesnis patikrinimas — sveikas protas: DBD negali būti didesnis už mažesnįjį skaičių, o MBK negali būti mažesnis už didesnįjį. Jei vaikas gauna DBD(24; 36) = 72, jis greičiausiai sukeitė sąvokas vietomis.
Vyresniems mokiniams ir besiruošiantiems olimpiadoms verta žinoti ir Euklido algoritmą, kuriuo DBD randamas net neskaidant skaičių. Didesnįjį skaičių dalijame iš mažesniojo su liekana, tada daliklį — iš liekanos, ir taip tol, kol liekana tampa lygi nuliui. Paskutinis daliklis ir yra DBD. Pavyzdžiui, 252 = 1 · 198 + 54, 198 = 3 · 54 + 36, 54 = 1 · 36 + 18, 36 = 2 · 18, todėl DBD(252; 198) = 18.
Dar viena sąvoka, kurią lengva supainioti, — tarpusavyje pirminiai skaičiai. Taip vadinami skaičiai, kurių DBD lygus 1, pavyzdžiui, 8 ir 15. Patys jie nebūtinai yra pirminiai: nei 8, nei 15 pirminiai nėra, tačiau bendro daliklio, didesnio už 1, jie neturi. Dviejų tarpusavyje pirminių skaičių MBK lygus jų sandaugai: MBK(8; 15) = 120.
Kam to reikia: trupmenos ir uždaviniai iš gyvenimo
Bendrojoje programoje DBD ir MBK eina iš karto prieš trupmenas, ir tai neatsitiktinai. DBD leidžia trupmeną suprastinti iki galo vienu žingsniu. Pavyzdžiui, DBD(24; 36) = 12, todėl 24/36 = 2/3: ir skaitiklį, ir vardiklį padalijome iš 12. Galima prastinti ir po truputį — iš 2, dar kartą iš 2, tada iš 3, — tik tada lengviau ką nors praleisti. Trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra tarpusavyje pirminiai, jau suprastinta iki galo.
MBK savo ruožtu yra mažiausias bendras vardiklis. Norint sudėti 5/24 ir 7/36, reikia bendro vardiklio, o mažiausias toks yra MBK(24; 36) = 72: 5/24 + 7/36 = 15/72 + 14/72 = 29/72. Plačiau apie tai rašėme straipsnyje „Veiksmai su trupmenomis“. Skaidymas pravers ir vėliau. Aštuntoje klasėje, mokantis iškelti skaičių prieš šaknies ženklą, ieškoma, iš kokio didžiausio natūraliojo skaičiaus kvadrato dalijasi pošaknis, pavyzdžiui, √72 = √(36 · 2) = 6√2. Apie tai daugiau rasite straipsnyje apie laipsnius ir šaknis, o tą pačią idėją, pritaikytą raidiniams reiškiniams, — straipsnyje apie skaidymą dauginamaisiais.
Bendrojoje programoje minimi ir probleminiai uždaviniai, kuriuose reikia rasti kelių skaičių (mažiausią) bendrąjį kartotinį ar (didžiausią) bendrąjį daliklį. Svarbiausia juose — iš situacijos atpažinti, ko ieškoma. Padeda vienas klausimas: ar ką nors dalijame į lygias dalis (tada ieškome daliklio), ar laukiame, kol kas nors sutaps (tada ieškome kartotinio).
Pavyzdžiui, turime 24 obuolius ir 36 kriaušes ir norime sudaryti kuo daugiau vienodų krepšelių, kad būtų panaudoti visi vaisiai. Krepšelių skaičius turi būti ir 24, ir 36 daliklis, o kadangi krepšelių norime kuo daugiau, ieškome DBD(24; 36) = 12. Kiekviename krepšelyje bus po 2 obuolius ir 3 kriaušes. Kitas pavyzdys: iš stotelės tuo pačiu metu išvažiuoja du autobusai. Vienas kursuoja kas 12 minučių, kitas — kas 18 minučių. Kada jie vėl išvažiuos kartu? Laikas turi dalytis ir iš 12, ir iš 18, o ieškome pirmojo tokio momento, todėl skaičiuojame MBK(12; 18) = 36. Autobusai vėl išvažiuos kartu po 36 minučių.
Ko apie pirminius skaičius reikalaujama penktoje klasėje
Pagal matematikos bendrąją programą pirminiai skaičiai yra penktos klasės tema. Programoje nurodyta, kad apibrėžiamos sąvokos „skaičiaus daliklis, skaičiaus kartotinis; pirminis skaičius, sudėtinis skaičius; lyginis skaičius, nelyginis skaičius“, nagrinėjami skirtingi skaidymo pirminiais dauginamaisiais būdai ir sprendžiami uždaviniai, kuriuose reikia rasti kelių skaičių „(mažiausią) bendrąjį kartotinį, (didžiausią) bendrąjį daliklį“. Atkreipkite dėmesį: žodžiai „mažiausią“ ir „didžiausią“ programoje parašyti skliaustuose.
Ką tai reiškia praktiškai, rodo NŠA parengtas matematikos slenkstinio pasiekimų lygio (mokymosi turinio minimumo) aprašas 5–6 klasėms. Jame surašyta, ką turi mokėti mokinys, kad gautų ne mažesnį kaip 4 balų įvertinimą. Penktos klasės minimumas šioje temoje gana kuklus. Mokinys:
- supranta sąvokas „daliklis“, „kartotinis“, „pirminis skaičius“, „sudėtinis skaičius“, „lyginis skaičius“ ir „nelyginis skaičius“ ir žino pirminius skaičius iki 13 imtinai;
- moka pirminiais dauginamaisiais išskaidyti ne didesnį kaip 50 skaičių;
- moka rasti bent vieną dviejų skaičių iki 20 bendrą daliklį ir skaičių iki 10 bent vieną bendrą kartotinį;
- sprendžia realaus turinio uždavinius, kuriuose reikia rasti vieno skaičiaus daliklius arba kartotinius.
Kitaip tariant, ketvertui gauti nebūtina mokėti rasti didžiausiojo bendrojo daliklio ar mažiausiojo bendrojo kartotinio — pakanka rasti bent vieną bendrą daliklį ir bent vieną bendrą kartotinį. Su šiuo minimumu dera ir minėti skliaustai programoje. Vis dėlto aukštesniam įvertinimui ir, svarbiausia, tolesnėms temoms to neužtenka. Sudedant trupmenas su skirtingais vardikliais, mažiausias bendras vardiklis yra būtent MBK, o vaikas, mokantis rasti tik kokį nors bendrą kartotinį, skaičiuos su didesniais skaičiais ir dažniau klys.
Minimumo apraše pateikta ir pavyzdinė užduotis, kurią verta išbandyti namuose: skaičius 1, 2, 3, 9, 10, 11, 12 ir 13 reikia surašyti į lentelę su stulpeliais „Pirminiai skaičiai“ ir „Sudėtiniai skaičiai“. Teisingas atsakymas: pirminiai skaičiai yra 2, 3, 11 ir 13, sudėtiniai — 9, 10 ir 12, o 1 nepatenka nė į vieną stulpelį. Jei vaikas vienetą įrašo į pirminių skaičių stulpelį, verta grįžti prie apibrėžimo. Kai kuriose kitose pavyzdinėse užduotyse prašoma išskaidyti skaičių 26 (26 = 2 · 13), užrašyti skaičių 12 ir 18 bendrą daliklį (tinka, pavyzdžiui, 2, 3 arba 6) ir skaičių 6 ir 8 vieną bendrą kartotinį (pavyzdžiui, 24).
Dažniausios klaidos
Pirmoji klaida — laikyti 1 pirminiu skaičiumi. Ją ištaisyti padeda apibrėžimas su žodžiu „lygiai“: pirminis skaičius turi lygiai du skirtingus daliklius, o vienetas — tik vieną. Antroji — manyti, kad visi nelyginiai skaičiai yra pirminiai. Pakanka prisiminti 9, 15, 21 ar 25, ir ši mintis išsisklaido. Trečioji — skaidant sustoti per anksti, pavyzdžiui, 60 užrašyti sandauga 6 · 10 ir laikyti tai galutiniu atsakymu.
Ketvirtoji klaida — sumaišyti DBD ir MBK. Čia padeda jau minėtas sveiko proto patikrinimas: DBD negali būti didesnis už mažesnįjį skaičių, o MBK — mažesnis už didesnįjį. Penktoji — ieškant DBD paimti visus skaidinių dauginamuosius, o ne tik bendrus. Jei klaidos atrodo atsitiktinės, verta pažiūrėti giliau: dažnai jų priežastis ne pirminiai skaičiai, o lėta dalyba ar nepakankamai gerai išmokta daugybos lentelė. Kaip atpažinti, kokia klaida kartojasi, rašėme straipsnyje apie klaidų analizę matematikoje.
Kodėl pirminiai skaičiai svarbūs ne tik mokykloje
Pirminių skaičių yra be galo daug. Tai įrodė dar Euklidas savo „Pradmenyse“ (III a. pr. Kr.), ir įrodymo idėja tokia paprasta, kad ją supras ir šeštokas. Tarkime, kad visi pirminiai skaičiai surašyti į baigtinį sąrašą. Sudauginkime juos visus ir prie sandaugos pridėkime 1. Gautas skaičius nesidalija nė iš vieno sąrašo skaičiaus, nes dalijant visada lieka liekana 1. Vadinasi, jis arba pats yra pirminis, arba dalijasi iš kokio nors pirminio skaičiaus, kurio sąraše nėra. Bet kuriuo atveju sąraše buvo ne visi pirminiai skaičiai.
Didžiausio pirminio skaičiaus nėra, tačiau yra didžiausias žinomas. Pagal savanoriško projekto GIMPS duomenis, tai skaičius, kurį gauname dvejetą pakėlę 136 279 841 laipsniu ir atėmę vienetą. Jį 2024 m. spalį rado projekto dalyvis Luke’as Durantas. Užrašytas įprastai, šis skaičius turi 41 024 320 skaitmenų — jų užtektų daugiau nei dešimčiai tūkstančių knygos puslapių.
Pirminiai skaičiai kasdien saugo ir mūsų duomenis. 1978 m. paskelbta RSA šifravimo sistema remiasi tuo, kad du didelius pirminius skaičius sudauginti lengva, o žinant tik jų sandaugą rasti pačius skaičius nepaprastai sunku. Panašiomis idėjomis grindžiama dalis saugaus ryšio internete ir skaitmeninių parašų.
Pirminių skaičių pasitaiko ir gamtoje. Šiaurės Amerikoje gyvena periodinės cikados, kurių lervos po žeme praleidžia 13 arba 17 metų. Viena hipotezių teigia, kad tokie ilgi ir pirminiais skaičiais išreikšti ciklai padeda rečiau sutapti su plėšrūnų gyvenimo ciklais. O neatsakytų klausimų netrūksta: dar XVIII a. Christianas Goldbachas iškėlė hipotezę, kad kiekvieną lyginį skaičių, didesnį už 2, galima užrašyti dviejų pirminių skaičių suma (4 = 2 + 2, 10 = 3 + 7, 100 = 3 + 97). Kompiuteriais ji patikrinta milžiniškiems skaičiams, tačiau įrodyti jos iki šiol niekam nepavyko.
Užduotys su atsakymais
Šias užduotis galima spręsti kartu su vaiku. Skaičiuotuvo nereikia.
- Kurie iš šių skaičių yra pirminiai: 1, 2, 9, 17, 21, 29, 39, 51, 53, 91?
- Išrinkite visus pirminius skaičius nuo 20 iki 40.
- Išskaidykite pirminiais dauginamaisiais skaičius 84 ir 225.
- Raskite DBD(18; 30) ir MBK(18; 30).
- Raskite DBD(48; 60; 84).
- Raskite MBK(4; 6; 9).
- Suprastinkite trupmeną 84/126.
- Turime 42 raudonas ir 56 baltas rožes. Kiek daugiausia vienodų puokščių galima sudaryti, kad būtų panaudotos visos rožės? Kiek kiekvienos spalvos rožių bus vienoje puokštėje?
- Vienas švyturys sužiba kas 8 sekundes, kitas — kas 12 sekundžių. Ką tik jie sužibo kartu. Po kiek sekundžių jie vėl sužibs kartu?
Atsakymai: 1) 2, 17, 29 ir 53; 2) 23, 29, 31 ir 37; 3) 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 225 = 3 · 3 · 5 · 5; 4) DBD(18; 30) = 6, MBK(18; 30) = 90; 5) 12; 6) 36; 7) 2/3, nes DBD(84; 126) = 42; 8) 14 puokščių, kiekvienoje po 3 raudonas ir 4 baltas rožes; 9) po 24 sekundžių.
Jei suklydote 1 arba 2 užduotyje, grįžkite prie lentelės ir Eratosteno rėčio, jei 3 — prie skaidymo pirminiais dauginamaisiais, jei 4–7 — prie DBD ir MBK skaičiavimo, o jei 8 arba 9 — prie klausimo, ar dalijame į lygias dalis, ar laukiame, kol kas nors sutaps. Daugiau idėjų trumpiems pasitikrinimams rasite straipsnyje apie matematikos testus savikontrolei.
Kada verta kreiptis į korepetitorių
Pirminių skaičių tema trumpa, ir daugeliui vaikų užtenka kelių vakarų praktikos: susidaryti lentelę, išskaidyti keliolika skaičių ir išspręsti kelis uždavinius su DBD ir MBK. Sunerimti verta tada, kai vaikas užstringa ne dėl pačių pirminių skaičių, o dėl to, kas po jais slypi: lėtai dalija, nemoka atmintinai daugybos lentelės arba painioja veiksmų komponentus ir nesupranta, kuo daliklis skiriasi nuo kartotinio. Tokios spragos vėliau sugrįžta trupmenose, šaknyse ir algebroje, todėl jas geriau užtaisyti anksčiau.
Edtalk platformoje galite rasti matematikos korepetitorių 5 klasei arba 6 klasei, kuris padės sutvirtinti dalumo, pirminių skaičių ir trupmenų pagrindus. Pamokos vyksta internetu arba gyvai, o visus matematikos korepetitorius galite peržiūrėti puslapyje „Matematikos korepetitoriai“. Kaip atrodo visas penktos ir šeštos klasės matematikos kursas, aptarėme straipsniuose apie matematiką 5 klasėje ir matematiką 6 klasėje.
Trumpai
Pirminis skaičius turi lygiai du skirtingus daliklius: vienetą ir patį save. Mažiausias pirminis skaičius yra 2, ir tai vienintelis lyginis pirminis skaičius, o 1 nėra nei pirminis, nei sudėtinis. Iki 100 yra 25 pirminiai skaičiai. Visus juos galima rasti Eratosteno rėčiu: praleidus vienetą, išbraukti kitus 2, 3, 5 ir 7 kartotinius. Vienam didesniam už 1 skaičiui patikrinti užtenka jį padalyti iš pirminių skaičių, kurių kvadratas neviršija tikrinamo skaičiaus.
Kiekvienas sudėtinis skaičius vieninteliu būdu (neatsižvelgiant į dauginamųjų tvarką) išskaidomas pirminiais dauginamaisiais, o iš skaidinių randami DBD ir MBK: pirmasis padeda suprastinti trupmenas, antrasis — rasti bendrą vardiklį. Penktoje klasėje ketvertui gauti reikia suprasti pagrindines sąvokas, žinoti pirminius skaičius iki 13 imtinai, mokėti išskaidyti skaičius iki 50 ir rasti bent vieną bendrą daliklį bei bendrą kartotinį, tačiau norint drąsiai dirbti su trupmenomis verta išmokti daugiau.
