Paieškos langelyje surinkus „skaidymas dauginamaisiais“, to paties dalyko tuo pačiu metu ieško du visiškai skirtingi mokiniai. Penktokas nori žinoti, kaip 60 užrašyti kaip 2 · 2 · 3 · 5. Aštuntokas žiūri į 6a² + 9a ir nesupranta, ko iš jo prašoma. Abu vartoja tą patį terminą, abu jį girdėjo per pamoką, tik veiksmai už to termino slepiasi skirtingi, o tarp jų yra treji metai. Painiava prasideda būtent čia, ir ji nėra vaiko kaltė: taip tema pavadinta pačioje programoje.
Skaidymas dauginamaisiais yra viena iš tų mokyklinės matematikos vietų, kurioms programoje skirta vos viena eilutė, bet be kurių paskui nustoja veikti visas skyrius. Devintoje klasėje jis reikalingas trupmeniniams reiškiniams prastinti, dešimtoje — racionaliosioms lygtims spręsti, gimnazijoje — aukštesnio laipsnio lygtims. Jeigu aštuntoje klasėje šis įgūdis liko neišdirbtas, spraga pasirodo ne iš karto, ir kai pasirodo, atrodo, kad vaikas tiesiog „nesupranta trupmenų“.
Šis tekstas surenka į vieną vietą tai, kas mokykloje išbarstoma nuo penktos klasės iki gimnazijos: kokie skaidymo būdai apskritai egzistuoja, kurioje klasėje kiekvienas jų atsiranda, kokia tvarka juos verta bandyti ir ką apie juos sako egzaminų formulių rinkiniai. Pavyzdžiai paprasti tyčia — jeigu vaikas juos praeina be strigimo, temą jis moka.
Du skirtingi veiksmai, pavadinti tuo pačiu žodžiu
Pirmojo skaidymo mokoma penktoje klasėje, ir jis yra apie skaičius. Atnaujintos matematikos bendrosios programos penktos klasės turinyje apibrėžiamos daliklio, kartotinio, pirminio ir sudėtinio skaičiaus sąvokos, o toliau sakoma, kad nagrinėjamos situacijos, kuriose sudėtinį skaičių skaidome pirminiais dauginamaisiais, ir tyrinėjami įvairūs tokio skaidymo būdai. Tam yra aiški paskirtis: radus 60 = 2 · 2 · 3 · 5 ir 90 = 2 · 3 · 3 · 5, iš karto matyti didžiausias bendrasis daliklis ir mažiausias bendrasis kartotinis, o to reikia trupmenoms prastinti ir bendram vardikliui rasti.
Antrasis skaidymas ateina aštuntoje klasėje ir yra apie raides. Toje pačioje programoje aštuntos klasės algebros turinyje pirmiausia apibrėžiamos vienanario, dvinario, trinario ir daugianario sąvokos, išvedamos greitosios daugybos formulės, o paskui viena sakinio dalimi išvardijama visa tema: daugianariai skaidomi dauginamaisiais iškėlimu prieš skliaustus, greitosios daugybos formulių taikymu ir grupavimu. Trys būdai, trys žodžiai — ir visi trys sudėti į vieną programos sakinį.
Bendra abiem skaidymams yra viena mintis, ir ji vertesnė už bet kurią taisyklę: ir skaičius, ir reiškinys užrašomas daugiklių sandauga. Aštuntoje klasėje tai reiškia sumos pavertimą sandauga: buvo veiksmas su pliusais — liko vienas vientisas darinys iš daugiklių. Penktoje klasėje sumos nėra, bet rezultatas tos pačios rūšies, ir abiem atvejais po darbo lieka sandauga, su kuria galima daryti tai, ko su suma padaryti nepavyktų.
Kodėl apskritai reikia paversti sumą sandauga
Atsakymas telpa į vieną sakinį, kurį verta pasakyti vaikui garsiai: sandaugą galima prastinti, o sumos — ne. Tai ne susitarimas ir ne mokytojo kaprizas, o tiesioginė dalybos savybės pasekmė. Trupmenoje 12 : 18 skaitiklį ir vardiklį galima dalyti iš 6 tik todėl, kad abu jie yra sandaugos: 12 = 6 · 2, o 18 = 6 · 3. Kai skaitiklyje yra suma, bendro daugiklio tiesiog nėra, kol jis neiškeltas.
Su raidėmis tai matyti dar geriau. Reiškinio (x² − 4) : (x + 2) suprastinti neįmanoma tol, kol viršuje stovi skirtumas. Pritaikius formulę viršus virsta sandauga (x − 2)(x + 2), ir tada (x + 2) nusiprastina iš abiejų pusių, o lieka x − 2. Vienas veiksmas, bet be jo uždavinys neturi eigos.
Antroji priežastis yra lygtys. Sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas jos daugiklis lygus nuliui, o sumai tokios taisyklės nėra. Todėl programa aštuntoje klasėje nepilnąsias kvadratines lygtis liepia spręsti būtent reiškinį skaidant tiesiniais dauginamaisiais: iš x² − 5x = 0 iškėlus x, gaunama x(x − 5) = 0, ir iš karto matyti abu sprendiniai. Tas pats mechanizmas vėliau veikia kvadratinėse lygtyse ir gimnazijos racionaliosiose lygtyse.
Pirmasis būdas: bendro dauginamojo iškėlimas prieš skliaustus
Šis būdas atrodo kaip nauja aštuntos klasės taisyklė, bet iš tikrųjų yra daug anksčiau išmoktas dėsnis, skaitomas atgal. Skirstomumo dėsnį raidėmis programa liepia užrašyti jau penktoje klasėje, o šeštoje jis pritaikomas raidiniams reiškiniams kartu su panašiųjų narių sutraukimu ir reiškinio prastinimu. Skirstomumo dėsnis yra a(b + c) = ab + ac. Perskaičius jį iš dešinės į kairę, gaunama ab + ac = a(b + c), ir tai jau yra iškėlimas prieš skliaustus. Naujo veiksmo nėra — pasikeitė tik kryptis.
Pati procedūra trumpa. Randamas didžiausias bendras skaitinis daugiklis, po to kiekviena raidė, esanti visuose nariuose, imama mažiausiu savo laipsniu. Reiškinyje 6a²b + 9ab² bendras skaitinis daugiklis yra 3, raidė a abiejuose nariuose yra bent pirmuoju laipsniu, b — taip pat, todėl prieš skliaustus keliauja 3ab, o viduje lieka 2a + 3b.
Klaida čia dažna ir labai atpažįstama: iškėlus visą narį, jo vietoje nepaliekamas vienetas. Reiškinyje 4a² + 4a bendras daugiklis yra 4a, ir antrasis narys po iškėlimo virsta vienetu, todėl teisingas atsakymas yra 4a(a + 1). Vaikai dažnai parašo 4a(a) ir patys nemato, kad reiškinys pasikeitė. Paprasčiausias namų patikrinimas — atskliausti atgal: jeigu grįžta pradinis reiškinys, skaidymas teisingas.
Antrasis būdas: greitosios daugybos formulės atvirkščiai
Aštuntoje klasėje programa liepia išvesti ir taikyti greitosios daugybos formules, ir čia pat pažymi, kad kubų formulės šioje klasėje nenagrinėjamos. Skaidant jos naudojamos priešinga kryptimi nei mokantis daugybos.
Iš skirtumo a² − b² gaunama sandauga (a − b)(a + b); reiškinys x² − 9 yra (x − 3)(x + 3), o 4x² − 25 yra (2x − 5)(2x + 5). Iš trinario a² + 2ab + b² gaunamas kvadratas (a + b)², o iš a² − 2ab + b² — kvadratas (a − b)². Programa aštuntoje klasėje to prašo atsargiai: mokoma paprastais atvejais iš kvadratinio trinario išskirti dvinario kvadratą, tai yra pertvarkyti trinarį taip, kad jame atsirastų dvinario kvadratas.
Svarbiausia žinoti, ko nėra. Kvadratų sumos a² + b² per mokyklinį kursą suskaidyti neįmanoma, ir tai ne spraga, o faktas: tokio pavidalo daugiklių su įprastais skaičiais tiesiog nėra. Kubų formulės, tai yra (a + b)³ ir (a − b)³ bei a³ + b³ ir a³ − b³, atsiranda tik gimnazijos trečioje klasėje ir tik išplėstiniame kurse, kur programa prašo jomis naudotis ir keliant dvinarį trečiuoju laipsniu, ir skaidant daugianarį.
Trečiasis būdas: grupavimas
Grupavimas iš keturių būdų reikalauja daugiausia pasirinkimo: prieš skaičiuojant reikia nuspręsti, kaip narius suskirstyti, ir mechaniškai to padaryti nepavyks. Dažniausiai jis pasitelkiamas, kai narių yra keturi, o bendro daugiklio visiems keturiems nėra. Tada nariai suskirstomi poromis taip, kad kiekvienoje poroje bendras daugiklis atsirastų, o iškėlus jį abiejose porose liktų vienodi skliaustai.
Reiškinyje xy − 5x + 4y − 20 pirmoje poroje iškeliamas x ir lieka x(y − 5), antroje iškeliamas 4 ir lieka 4(y − 5). Dabar visas reiškinys yra x(y − 5) + 4(y − 5), tai yra suma su bendru daugikliu (y − 5), ir jį iškėlus gaunama (y − 5)(x + 4). Visas triukas — pirmame žingsnyje pasirinkti tokį skirstymą, po kurio skliaustai sutaptų.
Jeigu skliaustai nesutampa, reiškinys nėra neskaidus — tiesiog pasirinktas ne tas grupavimas, ir narius reikia perstatyti. Antra dažna kliūtis yra ženklas: kai prieš antrąją porą stovi minusas, iškeliamas neigiamas daugiklis, ir tada abiejų narių ženklai skliaustuose apsiverčia. Būtent šią vietą verta įtraukti į klaidų analizę, nes ženklo klaidos čia kartojasi.
Ketvirtasis būdas ateina tik devintoje klasėje
Aštuntokas, gavęs suskaidyti x² − 5x + 6, dažnai jaučiasi apgautas, ir iš dalies pagrįstai: formulės, kuri tai padarytų vienu žingsniu, jis dar neturi. Aštuntos klasės priemonėmis tai vis dėlto įmanoma — vidurinį narį išskaidžius į du, x² − 2x − 3x + 6, toliau veikia grupavimas. Bendroji programa kvadratinio trinario sąvoką apibrėžia ir jo skaidymo dauginamaisiais formulę įrodo tik devintoje, tai yra pirmoje gimnazijos klasėje, ir daro tai iškart po kvadratinės lygties sprendinių formulės. Tvarka logiška, nes formulė remiasi lygties sprendiniais: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), kur x₁ ir x₂ yra atitinkamos kvadratinės lygties sprendiniai.
Praktiškai tai reiškia, kad devintoje klasėje kiekvienas kvadratinis trinaris, kurio diskriminantas nėra neigiamas, skaidomas per du žingsnius: surandamas diskriminantas ir abu sprendiniai, o paskui jie įrašomi į skliaustus. Kai diskriminantas neigiamas, sprendinių nėra, ir toks trinaris nesiskaido. Trinarį x² − 5x + 6 atitinkanti lygtis turi sprendinius 2 ir 3, todėl trinaris lygus (x − 2)(x − 3). Patikrinti galima atskliaudus atgal — ir šį patikrinimą verta daryti visada, nes ženklus čia sukeisti lengva.
Tais pačiais metais programa įveda ir trupmeninio racionaliojo reiškinio sąvoką bei prašo mokytis tokius reiškinius pertvarkyti ir prastinti. Abi temos stovi viena šalia kitos ne atsitiktinai: prastinti be skaidymo neįmanoma, todėl devinta klasė yra tiksliai ta vieta, kur aštuntos klasės skola tampa matoma pažymyje.
Tvarka, kuria verta bandyti
Mokiniai dažniausiai stringa ne todėl, kad nemoka nė vieno būdo, o todėl, kad nežino, kurį imti pirmą. Tvarka yra pastovi ir ją verta išmokti kaip vieną sakinį — nuo paprasčiausio veiksmo prie sudėtingiausio.
- Pirmiausia visada ieškoma bendro dauginamojo visiems nariams ir jis iškeliamas prieš skliaustus; po to dažnai skliaustuose lieka kur kas paprastesnis reiškinys.
- Toliau žiūrima, ar tai nėra greitosios daugybos formulė: dviejų narių skirtumas su kvadratais arba trinaris, kurio kraštiniai nariai yra kvadratai.
- Jeigu narių keturi, bandomas grupavimas poromis, o skirstymas keičiamas tol, kol skliaustai sutampa.
- Jeigu liko kvadratinis trinaris ir nė vienas ankstesnis būdas netiko, nuo devintos klasės naudojama sprendinių formulė.
Ta pati tvarka galioja ir tada, kai vienas skaidymas neužbaigia darbo. Reiškinys 2x³ − 8x pirmiausia duoda 2x(x² − 4), o skliaustuose likęs skirtumas dar kartą skaidomas formule į (x − 2)(x + 2). Galutinis atsakymas yra 2x(x − 2)(x + 2): skaidyti reikia tol, kol nė vienas daugiklis nebeskaidomas.
Ką apie skaidymą sako egzaminų formulių rinkiniai
Čia paaiškėja dalykas, kurio dauguma mokinių nežino iki pat egzamino dienos, nors jis keičia pasiruošimo planą. Formulių rinkinius per patikrinimus duoda pati agentūra, ir jų turinys skiriasi.
| Formulių rinkinys | Skyrius „Greitoji daugyba“ | Kvadratinio trinario skaidymas |
|---|---|---|
| PUPP, 10 klasė | (a + b)², (a − b)², (a − b)(a + b) | Atspausdintas atskiru skyriumi |
| Matematikos VBE, bendrasis kursas | (a + b)², (a − b)², (a − b)(a + b) | Nėra |
| Matematikos VBE, išplėstinis kursas | Tik kubų formulės | Nėra |
Lentelę verta perskaityti dukart. Būtent šiai temai dešimtokas per PUPP gauna daugiau pagalbos negu abiturientas: jo rinkinyje kvadratinio trinario skaidymo formulė atspausdinta atskira eilute kartu su paaiškinimu, kad x₁ ir x₂ yra atitinkamos kvadratinės lygties sprendiniai. Nė viename iš dviejų brandos egzamino rinkinių tos formulės nėra. Išplėstinio kurso rinkinio skyriuje „Greitoji daugyba“ atspausdintos tik kubų formulės, o kvadratų nėra — tas rinkinys parašytas taip, tarsi paprastosios formulės jau būtų savaime aiškios.
Dar svarbiau tai, ko nėra niekur. Nei iškėlimo prieš skliaustus, nei grupavimo nerasite nė viename rinkinyje: tai ne formulės, o veiksmų eiga, ir į formulių rinkinius ji neįtraukiama. Susumavus išeina taip: pirmasis ir trečiasis būdai nepasirodo nė viename lape; aštuntoje klasėje naudojamos greitosios daugybos formulės atspausdintos PUPP ir bendrojo kurso rinkiniuose, o išplėstinio kurso lape jų vietoje stovi tik kubų formulės; ketvirtojo būdo formulė yra tik PUPP rinkinyje. Būtent todėl šios temos mokomasi ne skaitant, o sprendžiant.
Kiek taškų už tai gali būti
Tiksliai suskaičiuoti, kiek taškų duoda vienas skaidymo veiksmas, neįmanoma, nes užduotys skirstomos ne pagal temas, o pagal mokymo turinio sritis. Vis dėlto srities svoris parodo kryptį. Bendrųjų programų prieduose nurodyta, kad PUPP užduotyje sričiai „Modeliai ir sąryšiai“, kuriai priklauso visa algebra, tenka 55 procentai taškų, geometrijai ir matavimams — 40, o duomenims ir tikimybėms — 5. Aštuntos klasės nacionaliniame patikrinime tai sričiai tenka 30 procentų, o matematikos brandos egzamine, tiek bendrojo, tiek išplėstinio kurso, pirmojoje dalyje — 60, antrojoje — 50 procentų.
Pats PUPP pagal užduoties aprašą yra 50 taškų ir 150 minučių, o iš priemonių leidžiami lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas ir atspausdintas formulių rinkinys. Skaičiuotuvas čia padeda mažiau, nei tikimasi: skaidymas yra veiksmas su raidėmis, o ne skaičiavimas, todėl taškai už šią dalį priklauso nuo to, ar mokinys atpažįsta pavidalą, ir nuo to, ar užrašo sprendimą taip, kad vertintojas matytų kiekvieną žingsnį.
Trys klaidos, kurios kartojasi kiekviename sąsiuvinyje
Pirmoji jau minėta: iškėlus visą narį, jo vietoje nepaliekamas vienetas. Antroji — bandymas skaidyti sumą a² + b², kurios skaidyti negalima; dažniausiai vaikas parašo (a + b)², nes taip atrodo gražiau, ir praranda visą uždavinį. Trečioji klaida brangiausiai kainuoja nuo devintos klasės: trupmenoje prastinamas ne daugiklis, o narys. Reiškinį (x + 3) : 3 mokiniai suprastina į x, nors trejetas viršuje yra sumos narys, o ne daugiklis, ir prastinti jo negalima.
Trečioji klaida gerai parodo, kodėl skaidymas svarbus ne savaime. Kol mokinys nemato skirtumo tarp sumos ir sandaugos, jis daro tą pačią klaidą lygtyse, nelygybėse ir funkcijų apibrėžimo srityje. Vienas tiksliai įtvirtintas įgūdis čia sutvarko kelis skyrius iš karto, todėl jį verta pasitikrinti vieną iš pirmųjų.
Kaip to išmokstama namuose
Skaidymas priklauso prie tų temų, kuriose supratimas ateina greitai, o atpažinimas — lėtai. Paaiškinti keturis būdus galima per vieną vakarą; atpažinti, kurį iš jų imti, išmokstama tik išsprendus kelias dešimtis tos pačios rūšies pavyzdžių iš eilės. Todėl čia lemia ne aiškinimo kokybė, o kiekis, ir teminis uždavinynas tam tinka geriau už vadovėlį: jame tos pačios rūšies pratimų eina ne keli, o ištisas skyrius.
Praktinis namų planas paprastas. Pirmiausia patikrinama, ar vaikas iš tikrųjų stringa — duodama dešimt mišrių reiškinių ir žiūrima ne į atsakymus, o į tai, ar jis pasako, kurį būdą renkasi ir kodėl. Jeigu pasirinkimas svyruoja, reikia ne aiškinimo, o kiekio. Mūsų parduotuvėje tam skirti teminiai rinkiniai eina per tą pačią grandinę: šeštos klasės teminiai uždaviniai įtvirtina skirstomumo dėsnį ir panašiųjų narių sutraukimą, septintos klasės rinkinys dviem analogiškais variantais leidžia tą pačią temą spręsti dukart ir pasitikrinti antru variantu, o progimnazijos 5–8 klasių teminio kartojimo uždaviniai duoda būtent tą kiekį vienos temos pratimų, kurio vadovėlyje nėra.
Aštuntokui, kuriam ši tema vyksta dabar, tinka Bortkevičiaus matematikos testai 8 klasei trumpiems kasdieniams pasitikrinimams ir Mockaus 5–8 klasių kurso kartojimas su pasiruošimu aštuntos klasės patikrinimui, jeigu kartu ruošiamasi pavasario patikrinimui. Abi šios knygos ir likusi progimnazijos klasėms skirta medžiaga sudėtos Bortkevičiaus knygų ir Mockaus knygų skyriuose.
Devintokui ir dešimtokui reikia jau kitokio kiekio. Devintos klasės bandomųjų egzaminų rinkinys parodo, kaip skaidymas atrodo viso uždavinio viduryje, dešimtos klasės pagrindų stiprinimo uždavinynas skirtas tiems, kam pagrindai atėjo su skylėmis, o dešimtos klasės uždavinynas „siekiantiems daugiau“ — tiems, kam įprastų pratimų jau per mažai. Prieš PUPP naudingiausi yra PUPP užduočių pavyzdžiai pagal atnaujintą programą ir 5–10 klasių kartojimo uždaviniai su atsakymais; visa PUPP medžiaga sudėta PUPP skyriuje.
Abiturientui skaidymas jau nebėra tema, o įrankis, todėl jam tinka dvyliktos klasės uždavinyno pirma dalis ir antra dalis, o pasirengimui pagal egzamino sandarą — medžiaga pirmajai VBE daliai, antrosios dalies užduočių pavyzdžiai ir visas VBE skyrius. Kadangi kvadratinio trinario skaidymo formulės brandos egzamino lapuose nėra, po ranka verta turėti formulių ir taisyklių rinkinį arba matematikos atmintinę.
Sąžininga pastaba pabaigai: jeigu vaikas dešimt mišrių reiškinių suskaido be svyravimo ir pats pasako, kodėl rinkosi vieną ar kitą būdą, pirkti nereikia nieko. Papildoma medžiaga čia sprendžia vienintelę problemą — kiekio trūkumą, o ne supratimo.
Kada verta korepetitoriaus
Skaidymas yra trumpa tema, todėl korepetitoriaus prireikia ne dėl jos pačios, o dėl to, kas po ja slypi. Jeigu vaikas klysta ne skaidydamas, o veikdamas su ženklais ar laipsniais, problema yra anksčiau, ir spręsti reikia ją — tokiais atvejais padeda namų diagnozė, o jeigu jos neužtenka, kelios pamokos su matematikos korepetitoriumi, kuris pirmiausia patikrina pamatus, o ne varo pirmyn pagal vadovėlį.
Antras aiškus signalas — kai skaidymas namuose pavyksta, o kontroliniame ne. Tai jau ne žinių, o atpažinimo ir laiko problema, ir ji sprendžiama kitaip: sprendžiant mišrias užduotis be temos pavadinimo viršuje. Tokiam darbui užtenka kelių pamokų, todėl prasminga pradėti nuo trumpo kurso ir pažiūrėti rezultatą; kiek tai kainuoja, surašyta kainų puslapyje, o tinkamą mokytoją galima rasti korepetitorių sąraše.
Trumpai
Skaidymas dauginamaisiais reiškia sumos pavertimą sandauga, ir tai daroma dėl vienos priežasties: sandaugą galima prastinti ir prilyginti nuliui, o sumos — ne. Penktoje klasėje taip skaidomi skaičiai, aštuntoje — daugianariai. Bendroji programa aštuntoje klasėje įvardija tris būdus: iškėlimą prieš skliaustus, greitosios daugybos formulių taikymą ir grupavimą; ketvirtasis, kvadratinio trinario formulė, atsiranda devintoje klasėje. Bandyti juos verta būtent ta tvarka.
Egzaminų lapai šiam įgūdžiui padeda mažai. PUPP rinkinyje atspausdintos trys greitosios daugybos formulės ir kvadratinio trinario skaidymo formulė, bendrojo kurso brandos egzamino rinkinyje — tik trys formulės, o išplėstinio kurso rinkinyje iš viso skyriaus lieka tik kubų formulės. Iškėlimo ir grupavimo nėra niekur, nes tai ne formulės, o veiksmų eiga. Todėl šios temos mokomasi kiekiu: keliomis dešimtimis to paties tipo pavyzdžių iš eilės, geriausia iš teminio uždavinyno, o ne iš vadovėlio.
