Dalinys, daliklis, dalmuo ir kiti veiksmų komponentai: kaip juos atskirti ir rasti nežinomąjį

Kai vaikas paklausia, kuris skaičius yra dalinys, o kuris daliklis, ne vienas suaugęs suabejoja, nors mokykloje šiuos žodžius yra girdėjęs. Pavadinimai atrodo smulkmena, tačiau tai kalba, kuria vėliau užrašomos formulės: sumos kvadratas, kvadratų skirtumas, sandaugos logaritmas, dalmens išvestinė. Be to, pagal dabartinę matematikos bendrąją programą veiksmų komponentus įvardyti mokomasi tik penktoje klasėje, nors trūkstamo skaičiaus vaikas ieško jau pirmoje, o lygtis su raide sprendžia trečioje. Šiame straipsnyje rasite visus pavadinimus vienoje lentelėje, paprastą būdą rasti nežinomą komponentą neįsimenant šešių atskirų taisyklių ir paaiškinimą, kodėl šie žodžiai lydi mokinį iki pat brandos egzamino.

Kaip vadinami sudėties, atimties, daugybos ir dalybos komponentai

Veiksmų komponentai — tai skaičiai, su kuriais atliekamas veiksmas, ir to veiksmo rezultatas. Kiekvienas jų turi savo pavadinimą. Sudėtyje sudedami skaičiai vadinami dėmenimis, o rezultatas — suma. Atimtyje skaičius, iš kurio atimama, vadinamas turiniu, atimamas skaičius — atėminiu, o rezultatas — skirtumu. Daugyboje dauginami skaičiai vadinami dauginamaisiais, o rezultatas — sandauga. Dalyboje skaičius, kuris dalijamas, vadinamas daliniu, skaičius, iš kurio dalijama, — dalikliu, o rezultatas — dalmeniu.

Tokie pavadinimai vartojami ir NŠA portale emokykla.lt paskelbtame darbiniame dokumente „Sąvokos, žymenys, formulės“, kuriame 1–4 klasių matematikos sąvokos surašytos pagal klases, ir Visuotinės lietuvių enciklopedijos apibrėžimuose. Dalyboje galioja dvi taisyklės, kurias verta žinoti iš anksto. Pirma, dalijant su liekana, ji visada mažesnė už daliklį: jei dalijant iš 3 gaunama 3 ar didesnė liekana, dalmuo apskaičiuotas per mažas. Enciklopedijoje dalijant su liekana gautas dalmuo vadinamas nepilnuoju dalmeniu, o NŠA dokumente — sveikąja dalmens dalimi. Antra, iš nulio dalyti negalima — darbiniame dokumente parašyta, kad užrašas a : 0 neturi prasmės. O štai dalinys gali būti lygus nuliui: 0 : 5 = 0.

Dauginamasis, daugiklis ar dauginys: kodėl šaltiniai rašo skirtingai

Su daugyba susijusi dar viena painiava, apie kurią verta žinoti iš anksto. Minėtame NŠA dokumente abu dauginami skaičiai vadinami vienodai — dauginamaisiais (pirmuoju ir antruoju): dauginamasis · dauginamasis = sandauga. Visuotinėje lietuvių enciklopedijoje jie taip pat bendrai vadinami dauginamaisiais, tačiau, kai daugyba aiškinama kaip vienodų dėmenų suma, išskiriami du vaidmenys: dauginamasis, arba dauginys, yra kartojamas skaičius, o daugiklis rodo, kiek kartų jis kartojamas. Lietuviškoje Vikipedijoje pirmasis skaičius vadinamas dauginiu, antrasis — daugikliu, o kai kuriose mokymosi priemonėse rašoma „pirmas daugiklis, antras daugiklis, sandauga“.

Visi šie pavadinimai aprašo tą pačią daugybą, tik vieni skaičių vaidmenų neskiria, o kiti skiria. Kad pavadinimai susilieja, nieko keisto: sukeitus dauginamuosius vietomis, sandauga nepasikeičia (3 · 4 = 4 · 3), todėl dažniausiai nėra reikalo skirti, kuris skaičius yra kuris. Vaidmenys išsiskiria tik tada, kai daugyba suprantama kaip kartojama sudėtis: 5 · 3 = 5 + 5 + 5, čia kartojamas 5, o 3 rodo, kiek kartų. Namuose vartokite tą žodį, kurį vartoja vaiko mokytojas ar vadovėlis. Svarbiau, kad vaikas suprastų skaičiaus vaidmenį, nei kad pakartotų būtent tą terminą.

Ir „dauginamasis“, ir „daugiklis“ vartojami ir vėliau. Penktoje klasėje sudėtiniai skaičiai skaidomi pirminiais dauginamaisiais, pavyzdžiui, 12 = 2 · 2 · 3, o algebroje prieš skliaustus iškeliamas bendras dauginamasis, dar vadinamas bendruoju daugikliu: 4a² + 4a = 4a(a + 1). Abu atvejus plačiau aprašėme straipsnyje apie skaidymą dauginamaisiais.

Kurioje klasėje ko mokomasi: nuo langelio iki x

Pagal matematikos bendrąją programą nežinomojo ieškoma gerokai anksčiau, nei išmokstami komponentų pavadinimai. Jau pirmoje klasėje mokomasi „lygybėse a + b = c, a − b = c nustatyti trūkstamą (nežinomą) skaičių (žymimą, pavyzdžiui, langeliu), kai kiti du skaičiai yra žinomi“ ir tekstinius uždavinius pavaizduoti lygybėmis, kuriose nežinomąjį žymi koks nors simbolis, pavyzdžiui, langelis. Antroje klasėje prisideda daugyba ir dalyba. Trečioje klasėje aptariamos sąvokos „lygtis“, „lygties nežinomasis“ ir „lygties sprendinys“, o nežinomąjį jau žymi raidė. Programoje pateiktas ir pavyzdys: lygtis x − 5 = 2 pakeičiama lygtimi x = 5 + 2. Tais pačiais metais mokomasi iš tekstinio uždavinio sąlygos ar schemos sudaryti paprasčiausią lygtį, o ketvirtoje klasėje tai tęsiama ir tą pačią situaciją mokomasi aprašyti skirtingomis lygtimis.

O reikalavimas komponentus įvardyti programoje atsiranda tik penktos klasės dalyje, kur rašoma: „Mokoma(si) įvardyti atliekamų veiksmų komponentus.“ Iki tol programos tekste žodžiai „suma“, „skirtumas“ ar „sandauga“ pasitaiko, bet atskiro reikalavimo mokėti komponentų pavadinimus nėra. Toje pačioje programos dalyje penktokas mokosi dalyti iš dviženklio skaičiaus ir sudaryti skaitinius reiškinius, taip pat susipažįsta su skaičiaus dalikliu bei kartotiniu.

Darbinio NŠA dokumento rengėjai patys kelia klausimų dėl šios tvarkos. Pirmos klasės skyriuje jie pateikia dėmens, sumos, turinio, atėminio ir skirtumo sąvokas, antros — dauginamojo, sandaugos, dalinio, daliklio ir dalmens, o pastabose klausia, kurioje klasėje komponentus tikslingiausia įvardyti. Tarp svarbiausių pirmos klasės gebėjimų jie įrašo ir „apskaičiuoti nežinomą dėmenį, turinį, atėminį“, nors pastabose rašo: „Gal vertėtų mokyti rasti nežinomą dėmenį, turinį, atėminį? Programoje tai numatyta 5 klasėje.“ Tėvams iš to verta padaryti vieną išvadą. Jei pratybose ar mokytojo užduotyse šie žodžiai pasirodo jau antroje ar trečioje klasėje, tai nėra klaida, o jei trečiokas jų dar nemoka, pagal programą tai dar nėra atsilikimas. Programa reikalauja komponentus įvardyti penktoje klasėje, todėl žodžius verta įtvirtinti per penktus mokslo metus, geriausia — prieš dalumo temą.

Kaip rasti nežinomą komponentą: šešios taisyklės

Nežinomojo radimas dažnai aiškinamas šešiomis taisyklėmis — po vieną kiekvienam komponentui, kuris gali būti nežinomas:

• Nežinomas dėmuo: iš sumos atimkite žinomą dėmenį. Jei □ + 5 = 12, tai □ = 12 − 5 = 7.
• Nežinomas turinys: prie skirtumo pridėkite atėminį. Jei □ − 5 = 7, tai □ = 7 + 5 = 12.
• Nežinomas atėminys: iš turinio atimkite skirtumą. Jei 12 − □ = 7, tai □ = 12 − 7 = 5.
• Nežinomas dauginamasis: sandaugą padalykite iš žinomo dauginamojo. Jei □ · 4 = 12, tai □ = 12 : 4 = 3.
• Nežinomas dalinys: dalmenį padauginkite iš daliklio. Jei □ : 3 = 4, tai □ = 4 · 3 = 12.
• Nežinomas daliklis: dalinį padalykite iš dalmens. Jei 12 : □ = 4, tai □ = 12 : 4 = 3.

Rastą skaičių visada verta įrašyti į pradinę lygybę. Jei vaikas lygybėje □ − 5 = 7 rado 12, jis patikrina: 12 − 5 = 7, vadinasi, atsakymas teisingas. Darbiniame NŠA dokumente toks patikrinimas aprašytas trečios klasės lygtims, tačiau jis tinka bet kuriame amžiuje.

Taisyklės veikia, bet jose slypi spąstai. Dvi iš jų liepia atlikti tą patį veiksmą, kuris jau yra lygybėje: nežinomas atėminys randamas atimtimi, nežinomas daliklis — dalyba. Kitos keturios liepia atlikti atvirkštinį veiksmą. Todėl vaikas, kuris taisykles tik įsiminė, gali lengvai sumaišyti, pavyzdžiui, nežinomo turinio ir nežinomo atėminio radimą. Laimei, šešių taisyklių įsiminti nebūtina.

Užtenka dviejų minčių: visuma ir jos dalys

Visuotinėje lietuvių enciklopedijoje atimtis apibrėžiama kaip veiksmas, „kuriuo iš turimos sumos ir vieno dėmens randamas kitas dėmuo“. Kitaip tariant, turinys yra suma, atėminys — žinomas dėmuo, o skirtumas — ieškomas dėmuo. Dalyba ten apibrėžiama analogiškai: dalinys yra sandauga, daliklis — žinomas dauginamasis, o dalmuo — ieškomas dauginamasis. Vadinasi, kiekvienoje tokioje lygybėje yra visuma (suma, turinys, sandauga ar dalinys) ir jos dalys.

Iš to išplaukia dvi taisyklės vietoj šešių. Jei nežinoma visuma, dalys sujungiamos: sudedamos arba sudauginamos. Jei nežinoma dalis, iš visumos pašalinama žinoma dalis: ji atimama arba visuma iš jos padalijama. Pavyzdžiui, lygybėje 12 − □ = 7 visuma yra 12, nes iš šio skaičiaus atimama, o dalys — 7 ir ieškomas skaičius. Nežinoma dalis, todėl 12 − 7 = 5. Lygybėje □ : 3 = 4 nežinoma visuma, o dalys yra 3 ir 4, todėl 3 · 4 = 12.

Trečios klasės programa siūlo ir dar paprastesnį įrankį. Su tais pačiais trimis skaičiais mokomasi parašyti keturias lygybes, pavyzdžiui, 2 + 3 = 5, 3 + 2 = 5, 5 − 2 = 3 ir 5 − 3 = 2. Jei vaikas mato, kad skaičiai 5, 7 ir 12 sudaro tokį trejetą, jam tereikia išsirinkti tą lygybę, kurioje nežinomasis lieka vienas. Su daugyba ir dalyba tai atrodo taip: 3 · 4 = 12, 4 · 3 = 12, 12 : 3 = 4 ir 12 : 4 = 3.

Schemoje viršuje yra visuma, apačioje — jos dalys. Ta pati schema tinka visiems keturiems veiksmams, todėl vaikui nereikia atskirai įsiminti, kada sudėti, o kada atimti. Pagrindinėje straipsnio nuotraukoje matyti dvylika žetonų, sudėliotų į tris vienodus stulpelius po keturis: tai vienu metu ir 4 + 4 + 4 = 12, ir 3 · 4 = 12, ir 12 : 3 = 4.

Lygybės ženklas nėra komanda „rašyk atsakymą“

Nežinomojo paieškoje yra dar viena kliūtis — ji slypi ne pavadinimuose, o lygybės ženkle. Tyrėjai dažnai aprašo, kad vaikai jį supranta kaip nurodymą „čia parašyk atsakymą“, o ne kaip teiginį, kad abi pusės lygios. Tai gerai parodo uždavinys 8 + 4 = □ + 5, kuriuo vaikų supratimas tikrinamas daugelyje tyrimų. Dažna klaida — į langelį įrašyti 12, nes sudedama kairioji pusė, arba 17, nes sudedami visi matomi skaičiai. Teisingas atsakymas yra 7.

Klasikiniame JAV tyrime (Falkner, Levi ir Carpenter, 1999) teisingai neatsakė nė vienas iš 42 pirmokų, o iš 174 antrokų teisingai atsakė 6 proc., iš 208 trečiokų — 10 proc., iš 57 ketvirtokų ir 42 penktokų — po 7 proc. Šiuos duomenis lentelėje pateikia Farfan ir Schoen (2021) straipsnis, kuriame aštuonių anksčiau paskelbtų tyrimų rezultatai palyginti su daugiau nei 13 tūkst. Floridos mokinių atsakymais. Paskelbtų tyrimų vidurkis pusę teisingų atsakymų viršija tik penktoje klasėje (62 proc.), tačiau Floridos imtyje daugiau nei pusė mokinių teisingai atsakė jau trečioje klasėje, o penktoje — beveik trys ketvirtadaliai. Autoriai daro išvadą, kad vaikų supratimas nėra toks prastas, kaip rodo paskelbti tyrimai, nors tobulėti dar yra kur. Straipsnį galima perskaityti ERIC duomenų bazėje.

Visi šie duomenys surinkti JAV, todėl jų rezultatų nereikėtų tiesiogiai taikyti Lietuvos vaikams. Tačiau pačią klaidą atpažinti galima per minutę: parašykite vaikui 8 + 4 = □ + 5 ir paklauskite, kodėl jis įrašė būtent tokį skaičių. Jei atsakymas yra 12, padeda svarstyklių vaizdinys: kairėje lėkštėje 8 ir 4, dešinėje 5 ir dar kažkiek, o svarstyklės turi likti pusiausviros. Kodėl lygtį naudinga matyti kaip pusiausvyrą, plačiau aiškinome straipsnyje apie lygčių sprendimą.

Penktoje klasėje „daliklis“ įgauna antrą reikšmę

Toje pačioje penktos klasės programos dalyje, kurioje reikalaujama įvardyti veiksmų komponentus, apibrėžiamos ir naujos sąvokos: skaičiaus daliklis, skaičiaus kartotinis, pirminis ir sudėtinis skaičius. Čia reikia būti atidiems: žodis „daliklis“ nuo šiol turi dvi reikšmes.

Dalyboje 12 : 4 = 3 skaičius 4 yra daliklis, tai yra dalybos komponentas. Tačiau sakinys „4 yra skaičiaus 12 daliklis“ reiškia ką kita: kad 12 dalijasi iš 4 be liekanos. Šias dvi reikšmes gerai atskiria dalyba su liekana. Užraše 13 : 4 = 3 (liek. 1) skaičius 4 vis tiek yra daliklis, tačiau skaičiaus 13 daliklis jis nėra, nes 13 iš 4 be liekanos nesidalija. Panašiai vartojamas ir žodis „kartotinis“: 12 yra skaičiaus 4 kartotinis, nes 12 = 4 · 3.

Kartu sugrįžta ir dauginamieji: iš skaidinių pirminiais dauginamaisiais randamas didžiausiasis bendrasis daliklis ir mažiausiasis bendrasis kartotinis. Jei vaikas dar painioja daliklį su dalmeniu, nauja reikšmė šią painiavą gali padidinti, todėl prieš dalumo temą verta patikrinti, ar vaikas tvirtai žino senuosius pavadinimus. Kaip dalumo tema dėstoma penktoje klasėje, aprašėme straipsnyje apie dalumo požymius.

Kaip tie patys žodžiai skamba aštuntoje–dvyliktoje klasėse

Vyresnėse klasėse iš komponentų pavadinimų sudaromi formulių pavadinimai. Čia praverčia paprasta kalbos taisyklė: vardininku pavartotas žodis pasako paskutinį veiksmą, o kilmininku pavartoti žodžiai — tai, kas padaroma pirmiau. „Sumos kvadratas“ yra kvadratas, todėl pirmiausia sudedama, o paskui keliama kvadratu: (a + b)². „Kvadratų suma“ yra suma, todėl pirmiausia keliama kvadratu, o paskui sudedama: a² + b². Tarp aštuntos klasės greitosios daugybos formulių ypač lengva supainioti skirtumo kvadratą (a − b)² ir kvadratų skirtumą a² − b²: žodžiai tie patys, skiriasi tik jų tvarka. Kodėl (a + b)² nėra a² + b², aiškinome straipsnyje apie greitosios daugybos formules. Išplėstinio kurso programa trečioje gimnazijos klasėje tą pačią porą pakartoja su kubais: sumos kubas ir kubų suma.

Trečioje gimnazijos klasėje apibrėžiamas ir aritmetinės progresijos skirtumas. Tai skirtumas tarp bet kurio nario ir prieš jį einančio nario: sekoje 3, 7, 11, 15 jis lygus 7 − 3 = 4. 2026 m. matematikos brandos egzamino formulių lapuose raidė d paaiškinta vienu žodžiu — „skirtumas“, o sumos žymuo — žodžiais „pirmųjų n narių suma“. Daugiau apie tai rašėme straipsnyje apie sekas ir progresijas.

Logaritmų savybės aprašomos tais pačiais žodžiais: sandaugos logaritmas lygus logaritmų sumai, o dalmens logaritmas — logaritmų skirtumui. Vidurinio ugdymo matematikos programos įgyvendinimo rekomendacijų projekte (2023 m.) jų paskirtis apibūdinta taip: savybės „įgalina sandaugą pakeisti suma, dalmenį – skirtumu, laipsnį – sandauga“. Išplėstinio kurso programa ketvirtoje gimnazijos klasėje įveda sandaugos ir dalmens išvestinės taisykles, o trigonometrijoje tangentas yra sinuso ir kosinuso dalmuo. Mokiniui, kuris žemesnėse klasėse išmoko, kas yra sandauga ir dalmuo, šie sakiniai skamba pažįstamai. Tam, kuris neišmoko, kiekviena tokia taisyklė atrodo kaip dar viena atskira formulė. Plačiau rašėme straipsniuose apie logaritmus, išvestines ir trigonometriją.

Ką rodo tyrimai apie matematikos žodyną

Ar žodžių mokėjimas susijęs su matematikos rezultatais, tyrinėta nemažai. 2021 m. žurnale „The Elementary School Journal“ paskelbtoje metaanalizėje Xin Lin, Peng Peng ir Jiangang Zeng apibendrino 40 tyrimų, kuriuose dalyvavo 7 988 tiriamieji. Matematikos žodynas čia reiškia matematikos sąvokų ir terminų išmanymą. Jo ir matematikos rezultatų ryšys buvo vidutinio stiprumo, o su sudėtingesniais, kelių žingsnių uždaviniais jis buvo stipresnis nei su paprastesniais, baziniais uždaviniais. Toks santykis išliko ir mokiniams augant. Ryšys liko vidutinis ir statistiškai reikšmingas net atsižvelgus į kalbos supratimo ir kognityvinius gebėjimus.

Tai koreliaciniai duomenys, todėl jie neįrodo, kad vien išmokti pavadinimai pagerins pažymį. Be to, metaanalizė apima visą matematikos žodyną, ne vien veiksmų komponentų pavadinimus. Vis dėlto jos rezultatai leidžia manyti, kad žodyno spragos labiausiai gali atsiliepti kelių žingsnių uždaviniuose. Autoriai daro prielaidą, kad matematikos žodynas gali būti priemonė, palengvinanti matematinį samprotavimą. Santrauką galima rasti žurnalo puslapyje.

Kaip įtvirtinti pavadinimus namuose

Pavadinimų nereikia kalti kaip užsienio kalbos žodžių. Jie įsitvirtina, kai vartojami kalbant apie tikrus uždavinius. Ruošiant namų darbus, užtenka paklausti: „Kuris skaičius čia yra dalinys?“, „Kokio komponento ieškai?“, „Kas šioje lygybėje yra visuma?“ Toks klausimas trunka kelias sekundes, bet kiekvieną kartą priverčia vaiką pavadinimą susieti su konkrečiu skaičiumi.

Gerai veikia ir vertimo žaidimas: vienas pasako reiškinį žodžiais, kitas užrašo jį skaičiais, ir atvirkščiai. Pavyzdžiui, „skaičių 20 ir 4 skirtumo ir skaičiaus 3 sandauga“ yra (20 − 4) · 3 = 48, nes vardininku pavartotas žodis „sandauga“ pasako, kad paskutinis veiksmas yra daugyba. O „skaičiaus 20 ir skaičių 4 bei 3 sandaugos skirtumas“ yra 20 − 4 · 3 = 8. Skaičiai tie patys, atsakymai skirtingi — viską lemia gramatika. Tokie pratimai kartu lavina ir veiksmų eiliškumo supratimą — plačiau rašėme straipsnyje apie veiksmų eiliškumą.

Būkite atsargūs su vadinamųjų raktinių žodžių sąrašais, kuriuose, pavyzdžiui, žodis „liko“ visada reiškia atimtį. Uždavinyje „Jonas atidavė 5 lipdukus ir jam liko 7. Kiek lipdukų jis turėjo?“ žodis „liko“ yra, bet ieškoma visumos, todėl reikia sudėti: 7 + 5 = 12. Kai vaikas klausia savęs ne „kokį žodį matau?“, o „ar ieškau visumos, ar dalies?“, jam lengviau pasirinkti veiksmą. Kodėl tekstinių uždavinių žodžiai klaidina, aiškinome atskirame straipsnyje.

Kokios užduotys tinka treniruotėms

Pavadinimams ir nežinomojo radimui įtvirtinti labiausiai tinka trumpos, bet reguliarios užduotys. Audronio Bortkevičiaus matematikos testai trumpi, todėl patogu spręsti po vieną per dieną. Aprašyme nurodyta, kad knygelės sudėliotos pagal trimestrus ir atitinka klasės programą. Yra testai 2 klasei, 3 klasei ir 4 klasei, o visą seriją rasite Bortkevičiaus knygų skyriuje. Antrokui tinka ir atsisiunčiamas 37 puslapių rinkinys „2 klasės matematikos pagrindai“ su atsakymų raktu, todėl klaidas galima taisyti iš karto.

Jei pirmiausia norite išsiaiškinti, kur vaikas stringa, tinka žinių diagnostika. 3 klasės self-check rinkinukas pagal aprašymą padeda atskirti vienkartines klaidas nuo tikrų spragų, o 4 klasės rinkinukas apima matematiką, lietuvių ir anglų kalbas. Trečios klasės rinkinio užduotis galima aptarti ir per matematikos žinių diagnostikos pamoką 3–4 klasėms. Vyresniems progimnazijos mokiniams, kartojantiems 5–8 klasių kursą, skirti Vaidoto Mockaus progimnazijos 5–8 klasių kartojimo uždaviniai, o taisyklę greitai pasitikrinti padeda Mockaus matematikos atmintinė bei formulių ir taisyklių rinkinys. Visas pratybas rasite skyriuje „Pratybos“, o Mockaus leidinius — Mockaus knygų skyriuje.

Kada verta kreiptis į korepetitorių

Vien dėl pavadinimų korepetitoriaus dažniausiai nereikia — juos galima įtvirtinti namuose. Pagalbos verta ieškoti tada, kai sunkumai gilesni: vaikas spėlioja, kurį veiksmą atlikti, rastų skaičių nepatikrina, o penktoje klasėje dalumo ir trupmenų temos jam atrodo nesuprantamos, nes po jomis slypi nesutvirtinti pagrindai. Tokiu atveju padeda tikslinis darbas — ne viso kurso kartojimas, o tos vietos, kurioje stringama, radimas ir kelios pamokos būtent jai.

Edtalk platformoje rasite matematikos korepetitorių 2 klasei, 3 klasei, 4 klasei ar 5 klasei, o visą pradinukams skirtų mokytojų pasiūlą — pradinukų puslapyje. Vyresniems mokiniams skirtą pasiūlą rasite matematikos korepetitorių puslapyje ir bendrame korepetitorių sąraše. Kaip suprasti, ar pagalbos reikia, kai pradinukas dar negauna pažymių, aiškinome straipsnyje apie korepetitorių pradinukui.

Trumpai svarbiausia

Sudėtyje dėmenys sudaro sumą, atimtyje iš turinio atimamas atėminys ir gaunamas skirtumas, daugyboje dauginamieji sudaro sandaugą, o dalyboje dalinys dalijamas iš daliklio ir gaunamas dalmuo. Dauginami skaičiai kartu vadinami dauginamaisiais. Kai skiriami vaidmenys, kartojamas skaičius vadinamas dauginamuoju arba dauginiu, o skaičius, rodantis, kiek kartų jis kartojamas, — daugikliu. Pagal programą trūkstamo skaičiaus vaikas ieško nuo pirmos klasės, lygtis su raide sprendžia nuo trečios, o komponentų pavadinimų reikalaujama penktoje, kur žodis „daliklis“ įgauna ir antrą reikšmę. Šešias nežinomojo radimo taisykles galima pakeisti dviem mintimis: nežinomą visumą randame sujungę dalis, o nežinomą dalį — iš visumos pašalinę žinomą dalį. Galiausiai šie žodžiai yra ne pradinukų smulkmena, o kalba, kuria užrašomos aštuntos klasės formulės ir progresijų, logaritmų bei išvestinių taisyklės.