Trigonometrinės formulės: kurios duodamos per egzaminą, o kurias reikia mokėti mintinai

Prieš egzaminą dažniausiai klausiama to paties: ar formules duos. Duos — matematikos PUPP ir abiejų kursų valstybinio brandos egzamino užduotis lydi atspausdintas formulių rinkinys. Tik rinkiniai yra trys ir jie skirtingi, o skirtumas ne visada toks, kokio tikimasi. 2026 m. išplėstinio (A) kurso lape nėra nei lygybės sin²α + cos²α = 1, nei sąryšio tg α = sin α / cos α, nors dešimtokas abi šias formules per PUPP gauna atspausdintas. Šiame straipsnyje surašyta, kurios trigonometrinės formulės yra kiekviename iš trijų lapų, ko nėra nė viename, kurioje klasėje kiekviena jų atsiranda pagal matematikos bendrąją programą ir ką realiai reikia mokėti mintinai.

Trumpai: kas duodama, o ko teks mokėti

Jei reikia atsakymo per pusę minutės, jis toks. Toliau paaiškinta, iš kur kiekvienas skirtumas atsiranda.

• Pagrindinės lygybės sin²α + cos²α = 1 ir tg α = sin α / cos α įrodomos devintoje klasėje. PUPP ir bendrojo (B) kurso lapuose jos atspausdintos, išplėstinio (A) kurso lape — ne.
• Dvigubo kampo ir sumos formulės (sin 2α, cos 2α, sin(α ± β) ir kitos) yra tik A kurso lape. B kurso ir PUPP lapuose jų nėra, nes šių temų nėra nei bendrajame kurse, nei pagrindinio ugdymo programoje.
• Reikšmių lentelę duoda visi trys lapai, bet tik PUPP lentelė siekia bukuosius kampus — 120°, 135° ir 150°.
• Redukcijos formulių, tokių kaip sin(180° − α) = sin α, nėra nė viename lape, nors jos įrodomos dešimtoje klasėje.
• Nuo 2026 m. rugsėjo bendrajame kurse nebeliko su tangentu susijusių temų, todėl 2027 m. B kurso lapas gali atrodyti kitaip nei šiemetinis.

Nuo stačiojo trikampio iki vienetinio apskritimo

Trigonometrija mokykloje prasideda devintoje klasėje ir pradžioje yra grynas geometrijos skyrius: bendrojoje programoje tema „Įvadas į trigonometriją“ priskirta sričiai „Geometrija ir matavimai“. Sinusas, kosinusas ir tangentas apibrėžiami stačiajame trikampyje kaip kraštinių ilgių santykiai, o skaičiuojant panašiųjų trikampių atitinkamų kraštinių santykius įsitikinama, kad tos reikšmės nepriklauso nuo trikampio dydžio. Būtent dėl to kampo sinusas apskritai turi prasmę: didesniame trikampyje pasikeičia abi kraštinės, o jų santykis lieka toks pat.

Toje pačioje devintoje klasėje programa liepia ne priminti, o įrodyti dvi lygybes: sin²α + cos²α = 1 ir tg α = sin α / cos α. Įrodymas trumpas. Stačiajame trikampyje su įžambine c ir statiniais a bei b sinusas lygus a / c, kosinusas — b / c, todėl sin²α + cos²α = (a² + b²) / c², o pagal Pitagoro teoremą a² + b² = c², taigi visa trupmena lygi vienetui. Tada sudaroma 30°, 45° ir 60° kampų reikšmių lentelė, mokomasi naudotis skaičiuotuvu ir sprendžiami taikymo uždaviniai — programoje kaip pavyzdžiai nurodyti objekto aukščio nustatymas, kelio nuolydžio radimas, lėktuvo pakilimo kampas ir atstumas iki neprieinamos vietos.

Dešimtoje klasėje kampas išeina už stačiojo trikampio ribų. Apibrėžiamas vienetinis apskritimas ir posūkio kampas, o sinusas, kosinusas ir tangentas apibrėžiami visiems kampams nuo 0° iki 180°. Programoje atskirai parašyta, kad išsiaiškinama, kaip apskaičiuojamos 120°, 135° ir 150° kampų sinuso ir kosinuso reikšmės, ir įrodomos formulės sin(180° − α) = sin α bei cos(180° − α) = −cos α. Tais pačiais metais įrodoma trikampio ploto formulė S = ½ · a · b · sin C, taip pat kosinusų ir sinusų teoremos bei sinusų teoremos sąryšis su apie trikampį apibrėžto apskritimo spinduliu. Kaip visa tai susiję su pačia figūra, rašėme straipsnyje apie trikampius.

Brėžinys paaiškina, kodėl bukojo kampo sinusas nėra naujas dalykas. Kampus 30° ir 150° atitinkantys spinduliai baigiasi vienodame aukštyje, todėl jų sinusai sutampa, o horizontaliai tie taškai nukrypę į priešingas puses, todėl kosinusai skiriasi tik ženklu. Tai ir yra dvi dešimtos klasės redukcijos formulės, tik nupieštos. Mokiniui, kuris tai mato, nereikia atskirai kalti bukųjų kampų reikšmių: užtenka smailiųjų kampų lentelės ir vieno klausimo, į kurią pusę nukrypęs taškas.

Trečioje gimnazijos klasėje trigonometrija pereina iš geometrijos į skaičius

Gimnazijos III klasėje pasikeičia ne tik temų sunkumas. Bendrojoje programoje trigonometrija persikelia iš srities „Geometrija ir matavimai“ į sritį „Skaičiai ir skaičiavimai“, o kiek vėliau — į „Modeliai ir sąryšiai“. Praktiškai tai reiškia, kad sinusas nustoja būti trikampio kraštinių santykiu ir tampa skaičiumi, priskiriamu bet kuriam posūkio kampui, o paskui — funkcija su grafiku, periodu ir nuliais. Daug vienuoliktokų, kuriems geometrinė trigonometrija sekėsi, čia staiga pajunta, kad nieko nebesupranta, nors formulės atrodo pažįstamos. Apie tai, ką dar keičia šie mokslo metai, rašėme straipsnyje apie matematiką 11 klasėje.

Nuo šios vietos bendrasis ir išplėstinis kursai išsiskiria. Bendrajame kurse tema vadinasi „Sinusas, kosinusas“ — tangento joje nebėra. Mokomasi naudojantis vienetiniu apskritimu rasti tikslias sinuso ir kosinuso reikšmes visiems dažniausiai pasitaikantiems kampams nuo −360° iki 360°, įsitikinama, kad reikšmės kartojasi kas 360° ir visada priklauso intervalui nuo −1 iki 1, įrodomos lygybės sin(−α) = −sin α ir cos(−α) = cos α, apibrėžiami arksinusas ir arkkosinusas kartu su jų reikšmių sritimis. Išplėstiniame kurse ta pati tema vadinasi „Sinusas, kosinusas ir tangentas“, prisideda tangentų tiesė ir, svarbiausia, kampų matavimas radianais: mokomasi laipsnių skaičių keisti radianų skaičiumi ir atvirkščiai.

Ketvirtoje gimnazijos klasėje bendrojo kurso mokinys sprendžia trigonometrines lygtis su sinusu ir kosinusu, o pertvarkydamas reiškinius remiasi keturiomis formulėmis: sin²α + cos²α = 1, sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α ir periodiškumo lygybėmis. Išplėstiniame kurse ta pati tema apima ir nelygybes, o programoje surašytos septynios formulės, kurias mokinys turi mokėti įrodyti: sin(α ± β), cos(α ± β), 1 + tg²α = 1 / cos²α, tg(α ± β), tg 2α, sin 2α ir cos 2α. Perskaičius šį sąrašą matyti, kad jis beveik sutampa su tuo, kas A kurso lape ir atspausdinta. Beveik — nes viena iš septynių formulių ten nepateko, ir apie ją toliau.

Trys formulių lapai — trys skirtingi rinkiniai

Per PUPP formulių rinkinys yra užduoties aprašo priedas: apraše tarp priemonių išvardyti lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas ir išspausdintas formulių rinkinys. Per valstybinį brandos egzaminą lapas taip pat duodamas, tik jis nevienodas: rinkiniai parengti atskirai bendrajam ir atskirai išplėstiniam kursui. Lentelėje surašyta, kaip trys rinkiniai skiriasi trigonometrijos dalyje. Ji sudaryta pagal 2026 m. Nacionalinės švietimo agentūros paskelbtus rinkinius ir PUPP aprašo priedą.

Iš lentelės matyti keli dalykai, kurių iš anksto nesitikima. Pirma, PUPP rinkinys yra vienintelis, kurio reikšmių lentelėje yra 120°, 135° ir 150° kampai su neigiamomis kosinuso reikšmėmis. Būtent ties bukaisiais kampais dažniausiai pametamas minusas, ir būtent dešimtokui tos reikšmės duodamos. Antra, sąryšis 1 + tg²α = 1 / cos²α atspausdintas B kurso lape, nors įrodyti jį programa liepia A kurso mokiniui. Trečia, abiejų kursų lapai reikšmes pateikia skirtingai: B kurso lape lygčių sprendiniai užrašyti laipsniais, su 180° · k ir 360° · k, o A kurso lape — radianais, su πk ir 2πk. Vienuoliktoje klasėje išmokti keisti laipsnius radianais yra ne formalumas, o sąlyga suprasti savo paties egzamino lapą. Kaip apskritai skiriasi abu kursai ir ką tai keičia stojant, aiškinome straipsnyje apie matematikos A ir B lygį, o visų dalykų formulynus palyginome atskirame straipsnyje apie egzaminų formulynus.

Kodėl išplėstinio kurso lape nėra sin²α + cos²α = 1

Tai ne apsirikimas. A kurso lapo trigonometrijos skyrelis skirtas toms formulėms, kurių mokomasi vienuoliktoje ir dvyliktoje klasėse: dvigubo kampo, sumos ir skirtumo. Pagrindinė trigonometrinė tapatybė į jį nepateko todėl, kad ji priklauso devintos klasės medžiagai ir laikoma savaime žinoma. Ta pati logika matyti ir kitur tame pačiame lape: greitosios daugybos skyrelyje surašytos tik kubų formulės, o kvadrato formulė (a ± b)² lape neatspausdinta, nors ja naudojamasi nuolat. Bendrojo kurso lapas sudarytas atsargiau ir bazines lygybes primena.

Praktinė išvada paprasta: išplėstinio kurso mokiniui pagrindinė tapatybė turi būti ne užrašyta, o įsisavinta. Kad tai nėra savaime suprantama, rodo Rutgerso universiteto tyrėjo Keitho Weberio 2005 m. tyrimas, paskelbtas žurnale „Mathematics Education Research Journal“. Viename iš dviejų stebėtų universiteto trigonometrijos kursų, dėstytų tradicinėmis paskaitomis, po šešių savaičių 31 studentui buvo pateiktas iš anksto neskelbtas darbas. Paprašyti paaiškinti, kodėl sin²θ + cos²θ = 1, matematiškai pagrįstą atsakymą — nubrėžti bet kokį statųjį trikampį ir pritaikyti Pitagoro teoremą — pateikė keturi studentai. Dar penki tapatybę „pagrindė“ patikrinę vieną atskirą atvejį, o dvidešimt du jokio pagrindimo neužrašė. Paprašyti apytiksliai įvertinti sin 340°, teisingai atsakė penki. Pats Weberis pabrėžia, kad abi tyrime stebėtos klasės aprašomos kaip atskiri atvejai, kad jis sąmoningai vengia jas lyginti ir kad išvados yra preliminarios.

Tyrimas atliktas su universiteto studentais kitoje šalyje, todėl skaičių tiesiogiai perkelti į Lietuvos gimnaziją nereikia. Bet pati tendencija atpažįstama iš karto: formulė, kuri atrodo paprasta, dažnai mokama kaip tekstas, o ne kaip teiginys, kurį galima atkurti. Kai lapo, kuriame ji užrašyta, nebelieka, iškrinta visa grandinė — nes būtent iš šios tapatybės randamas kosinusas, kai žinomas sinusas.

Ko nėra nė viename lape

Yra formulių, kurių per egzaminą negaus niekas, nors jų prireikia labai dažnai. Redukcijos formulės — sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α, sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α ir periodiškumo lygybės — visos įrodomos pamokose, bet nė viename lape neužrašytos. Nėra nei pusinio kampo formulių, nei formulių, kuriomis sinusų suma verčiama sandauga, nei arksinuso ir arkkosinuso reikšmių sričių. Nėra ir Pitagoro teoremos — apie tai rašėme atskirai.

Iš to išplaukia trumpas sąrašas, kurį verta žinoti mintinai net turint lapą. Reikia mokėti pagrindinę tapatybę ir iš jos išvestą kosinuso radimą, redukcijos taisykles bent vienetinio apskritimo pavidalu, smailiųjų kampų reikšmes ir arksinuso bei arkkosinuso reikšmių sritis. Visa kita dažniausiai galima rasti lape — jei mokinys žino, kurioje jo vietoje ieškoti. Tai atskiras įgūdis: lapą verta ne kartą turėti po ranka sprendžiant namuose, o ne pamatyti jį pirmą kartą pačiame egzamine. Kurias formules apskritai verta mokėti mintinai, o kurias gauni per egzaminą, surašėme atskirame straipsnyje. Namuose lapą patogu pakeisti Vaidoto Mockaus matematikos formulių ir taisyklių rinkiniu: pagal leidinio aprašymą jame surinktos mokyklinio kurso formulės su taikymo pavyzdžiais, taisyklės, funkcijų grafikai ir lentelės.

Ką 2026 m. pakoreguota programa išėmė iš bendrojo kurso

Nuo 2026 m. rugsėjo galioja pakoreguotos septynių dalykų bendrosios programos. Švietimo, mokslo ir sporto ministerijos pranešime rašoma, kad III–IV gimnazijos klasių B kurse atsisakoma su tangentu susijusių temų, A kurse – parametrinių lygčių nagrinėjimo, o abiejuose kursuose nebelieka „Įvado į statistinę duomenų analizę“. Bendrojo kurso mokiniui tai reiškia, kad tangento vidurinio ugdymo pakopoje nebelieka visai: temos pavadinime jo nėra, o ketvirtos gimnazijos klasės lygtys sudaromos tik su sinusu ir kosinusu. Devintos klasės tangentas stačiajame trikampyje lieka, nes jis priklauso pagrindinio ugdymo programai.

Praktinis niuansas toks, kad 2026 m. bendrojo kurso formulių lapas tangento formules dar turi. Tai suprantama — jis parengtas tam egzaminui, kuris vyko pagal ankstesnę programą. Nacionalinė švietimo agentūra 2026 m. rugsėjo 2 d. paskelbė, kad 2026–2027 mokslo metų NMPP, PUPP ir abiejų brandos egzamino dalių matematikos užduotys bus rengiamos pagal patikslintą programą, o užduočių aprašų projektus žadėta parengti iki mokinių rudens atostogų ir paskelbti viešai. Todėl šiemetinis abiturientas turėtų pasitikrinti savo kurso lapą, kai jis bus paskelbtas, o ne remtis praeitų metų kopija. Kas dar pasikeitė kituose dalykuose, surašėme straipsnyje apie 2026–2027 m. bendrųjų programų pakeitimus.

Kaip šias formules išmokti taip, kad jos liktų

Trigonometrinių formulių sąrašas atrodo ilgas, bet iš tikrųjų jis trumpesnis, negu atrodo. Iš dviejų sumos formulių — sin(α + β) ir cos(α + β) — išvedamos beveik visos kitos. Įrašius α vietoje β gaunamos dvigubo kampo formulės: sin 2α = 2 sin α cos α ir cos 2α = cos²α − sin²α. Skirtumo formulės gaunamos pakeitus β ženklą ir pasinaudojus tuo, kad sinusas yra nelyginė, o kosinusas — lyginė funkcija. Tangento formulės išplaukia padalijus sinuso formulę iš kosinuso formulės. Mokinys, kuris tai padaro popieriuje bent kartą, po to nebekala septynių eilučių — jis atkuria jas per pusę minutės.

Antras dalykas, kuris sutaupo daugiausia laiko, yra vienetinis apskritimas. Jį verta mokėti nusibraižyti iš atminties per dešimt sekundžių: apskritimas, dvi ašys, pažymėti 30°, 45° ir 60° taškai pirmame ketvirtyje. Turint tokį brėžinį, bukojo kampo reikšmės, ženklai ketvirčiuose, periodiškumas ir net lygties sprendinių skaičius nurodytame intervale matomi akimis, o ne prisimenami. Būtent todėl trigonometriją verta mokytis su pieštuku ir popieriumi, o ne skaitant santrauką — apie skirtumą tarp popieriaus ir ekrano rašėme atskirai.

Trečia, verta anksti išsiaiškinti skaičiuotuvo režimus. Skaičiuotuvas, paliktas radianų režime, teisingai išspręstą uždavinį paverčia neteisingu atsakymu ir nepraneša apie klaidą. Vienuoliktokui, kuris tais pačiais metais mokosi keisti laipsnius radianais, tai ypač aktualu. Ką moka ir ko nemoka mokyklinis skaičiuotuvas, surašėme straipsnyje apie naudojimąsi moksliniu skaičiuotuvu, o kurie modeliai leidžiami per egzaminą — atskirame gide.

Kaip namuose patikrinti, ar formulės suprantamos

Patikrinimui nereikia nei uždavinyno, nei matematikos išmanymo — užtenka keturių klausimų ir popieriaus lapo. Pirmas: kodėl sin²α + cos²α = 1? Atsakymas turi būti brėžinys ir Pitagoro teorema, o ne „todėl, kad taip yra formulėje“. Antras: kam lygus cos 150°, jei žinome, kad cos 30° = √3 / 2? Teisingas atsakymas su minusu rodo, kad mokinys vienetiniu apskritimu moka naudotis. Trečias: žinoma, kad sin α = 0,6 ir kad kampas smailusis — kam lygus cos α? Tai vienas žingsnis iš pagrindinės tapatybės ir kartu dažnas egzamino pratimas.

Ketvirtas klausimas skirtas vyresniems: iš kur atsiranda formulė sin 2α = 2 sin α cos α? Jei mokinys prisimena, kad tai tiesiog sin(α + α), jis formulių nekala. Jei atsako „taip parašyta lape“, verta grįžti prie sumos formulių. Nė vienas iš šių klausimų nėra egzaminas ir neteisingas atsakymas nėra nesėkmė — tai tiesiog rodyklė, nuo kurios temos verta pradėti kartoti. Trumpi reguliarūs pasitikrinimai čia naudingesni už vieną ilgą kartojimą prieš atsiskaitymą — kodėl, aiškinome straipsnyje apie matematikos testus savikontrolei.

Kai reikia nuoseklios medžiagos, o ne pavienių pratimų, dešimtokui prieš PUPP tinka 10 klasės matematikos pagrindų stiprinimo uždavinynas: pagal aprašymą jame 287 uždaviniai su atskiru 185 puslapių sprendimų failu, kuriame eiga išdėstyta žingsnis po žingsnio. Vienuoliktokui, kuris ruošiasi pirmajai brandos egzamino daliai, skirta Vaidoto Mockaus pasirengimo VBE pirmajai daliai medžiaga, kurios pirmoje dalyje pateikti teminiai uždaviniai pagal atnaujintą programą, o antroje — egzamino užduočių pavyzdžiai.

Kada verta kreiptis į korepetitorių

Trigonometrija yra viena tų temų, kurias kartojant savarankiškai dažnai nepavyksta pajudėti į priekį, nes spraga slypi anksčiau, negu atrodo. Dvyliktokas, kuriam nesiseka trigonometrinės lygtys, dažnai iš tikrųjų nesupranta vienetinio apskritimo, o tai dešimtos klasės medžiaga. Vienuoliktokas, kuris painioja ženklus, greičiausiai niekada nebuvo įsitikinęs, kad bukojo kampo kosinusas neigiamas. Sprendimų knygelė tokiu atveju parodo, kaip reikėjo spręsti, bet neparodo, kurioje vietoje mąstymas nukrypo — tą gali padaryti tik žmogus, stebintis sprendimą gyvai.

Ženklai, kad laikas ieškoti pagalbos, gana aiškūs. Ta pati klaida kartojasi kelias savaites. Mokinys moka formulę, bet nežino, kurią iš jų taikyti. Per atsiskaitymus prarandami taškai būtent trigonometrijos uždaviniuose, nors algebra sekasi. Arba mokinys sprendžia tik tuos uždavinius, kurie panašūs į matytus, ir sustoja, kai sąlyga suformuluota kitaip.

Edtalk platformoje galite rasti matematikos korepetitorių pagal klasę ir tikslą — pavyzdžiui, 11 klasei, kai prasideda vienetinis apskritimas ir radianai, arba 12 klasei, kai lieka trigonometrinės lygtys ir nelygybės prieš patį egzaminą. Dalykų ir miestų sąrašą galima peržiūrėti ir bendrame korepetitorių puslapyje. Tokiam darbui užtenka tikslinio plano: ne viso kurso kartojimo, o vienos temos, kurioje stringama, ir kelių uždavinių iš eilės, kol sprendimo kelias tampa savas. Kaip suplanuoti visus metus iki egzamino, aprašėme straipsnyje apie pasiruošimą matematikos VBE.