Trikampių lygumo požymiai: trys taisyklės su pavyzdžiais ir kodėl dviejų kraštinių neužtenka

Trikampių lygumo požymiai — tai taisyklės, pagal kurias galima nustatyti, kad du trikampiai yra lygūs, netikrinant visų šešių jų elementų. Pakanka trijų tinkamai parinktų lygybių: trikampiai lygūs, jei lygios jų trys kraštinės, jei lygios dvi kraštinės ir kampas tarp jų arba jei lygi kraštinė ir du prie jos esantys kampai. Ne kiekviena trijų elementų kombinacija tinka: dvi kraštinės ir kampas, esantis ne tarp jų, bendruoju atveju gali sudaryti du skirtingus trikampius, o trys lygūs kampai reiškia tik tai, kad trikampiai yra panašūs.

Šiame straipsnyje kiekvieną požymį paaiškiname pavyzdžiu, parodome, kodėl kai kurių kombinacijų neužtenka, aptariame stačiųjų trikampių atvejus ir tai, kaip lygius trikampius atpažinti brėžinyje. Atskirai aptariame įrodymo užrašymą, nes būtent jis lemia, ar bus skirti taškai: Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) patvirtintose pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo (PUPP) vertinimo gairėse pateikta pavyzdžių, kada už lygių trikampių pagrindimą taškas skiriamas, o kada — ne.

Lygumo požymiai — tema, kurios mokomasi anksti, o prireikia gerokai vėliau. Pagal matematikos bendrąją programą jie suformuluojami šeštoje klasėje braižant skriestuvu ir liniuote, o tuomet taikomi tik paprasčiausiais atvejais. Aštuntoje klasėje programa numato mokytis pagrįsti lygiašonio ir lygiakraščio trikampio savybes, devintoje ir dešimtoje — remtis įrodytais teiginiais įrodinėjant kitus, o patys požymiai pagal programą įrodomi tik trečioje gimnazijos klasėje, dalyko modulyje „Planimetrija“. PUPP formulių rinkinyje jų nėra, todėl dešimtokas juos turi mokėti atmintinai. Programos ir patikrinimų faktus tikrinome pirminiuose šaltiniuose: bendrojoje programoje, modulio „Planimetrija“ programoje, NŠA ilgalaikio plano pavyzdyje, NMPP ir PUPP užduočių aprašuose, PUPP vertinimo gairėse bei 2026 m. PUPP užduoties aptarime.

Kas yra lygieji trikampiai

Dvi figūros vadinamos lygiomis, kai jas galima sutapdinti, t. y. uždėtos viena ant kitos, jos sutampa. Taip lygias figūras apibūdina ir bendroji programa — tai aptariama jau ketvirtoje klasėje. Jei sutampa du trikampiai, sutampa ir visi jų elementai, todėl lygių trikampių atitinkamos kraštinės lygios, atitinkami kampai lygūs, o kartu lygūs ir jų perimetrai bei plotai.

Svarbiausias žodis čia — „atitinkami“. Lygumas žymimas lygybės ženklu, pavyzdžiui, △ABC = △KLM, ir raidžių tvarka šiame užraše parodo, kuri viršūnė kurią atitinka: A atitinka K, B — L, o C — M. Iš tokio užrašo galima iš karto perskaityti šešias lygybes: AB = KL, BC = LM, AC = KM, ∠A = ∠K, ∠B = ∠L ir ∠C = ∠M. Jei raidės surašomos bet kaip, užrašas gali teigti netiesą net tada, kai patys trikampiai lygūs.

Lygūs trikampiai brėžinyje gali būti pasukti, perkelti ar net apversti: padėtis plokštumoje lygumui neturi reikšmės. Vienas trikampis gali būti net kito veidrodinis atspindys, ir tada atitinkamas viršūnes tenka susirasti pagal lygius elementus, o ne pagal tai, kaip trikampiai atrodo.

Trys trikampių lygumo požymiai

Visi trys požymiai teigia tą patį: tam tikri trys elementai trikampį nusako vienareikšmiškai, todėl jei du trikampiai šiuos elementus turi lygius, sutaps ir likusieji trys. Požymiai skiriasi tik tuo, kurie trys elementai paimami.

Požymis pagal tris kraštines turi aiškią praktinę prasmę. Iš trijų lentjuosčių sukaltas trikampis yra standus: kol jungtys laikosi, jo kampai nepasikeis. Keturkampis rėmas nėra standus — iš tų pačių keturių lentjuosčių galima gauti ir stačiakampį, ir pakrypusį lygiagretainį. Todėl mediniai vartai dažnai sutvirtinami įstriža lenta, kuri padalija rėmą į du trikampius, o stogų ir tiltų santvaros sudaromos iš trikampių.

Požymyje pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų svarbiausi yra paskutiniai žodžiai. Kampas turi būti tas, kurį sudaro abi lygios kraštinės, t. y. esantis jų bendroje viršūnėje. Jei kampas yra kitoje vietoje, šis požymis netaikomas. Kodėl taip yra, parodysime toliau.

Požymis pagal kraštinę ir du prie jos esančius kampus reikalauja, kad abiejų kampų viršūnės būtų tos kraštinės galuose. Kadangi trikampio kampų suma lygi 180°, du lygūs kampai reiškia, kad lygus ir trečiasis. Todėl lygumui įrodyti pakanka kraštinės ir bet kurių dviejų kampų, jei tik kraštinė abiejuose trikampiuose yra atitinkama, pavyzdžiui, abiejuose trikampiuose ji yra prieš lygius kampus. Taip šis požymis kartais ir formuluojamas: pagal kraštinę ir du kampus.

Rašant įrodymą požymį aiškiausia įvardyti pagal turinį, pavyzdžiui, „pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų“, nors, kaip parodysime toliau, NŠA vertinimo gairėse nurodyta, kad pakanka išvardyti visas tris lygybes. Angliškuose šaltiniuose požymiai trumpinami raidėmis SSS, SAS ir ASA (angl. side „kraštinė“, angle „kampas“), ir šias santrumpas verta atpažinti, jei mokomasi iš angliškų vaizdo įrašų.

Iš kur požymiai atsiranda: šeštokas juos atranda braižydamas

Šeštoje klasėje lygumo požymiai neįrodinėjami. Bendrojoje programoje rašoma, kad skriestuvu ir liniuote mokomasi atidėti atkarpai lygią atkarpą, nubraižyti kampui lygų kampą ir trikampiui lygų trikampį, o braižant trikampiui lygų trikampį „įsitikinama, kad užduotis atliekama ir turint tik tris tam tikrus trikampio elementus“. Apibendrinus pavienius brėžinius, suformuluojama taisyklė apie trikampio egzistavimą ir suformuluojami trikampių lygumo požymiai. NŠA parengtame šeštos klasės ilgalaikio plano pavyzdyje visai šiai temai, pavadintai „Braižymas“, preliminariai numatytos keturios pamokos iš 100, kurias planas paskirsto temoms (dar 44 pamokas mokytojas skirsto savo nuožiūra).

Per tiek pamokų požymius galima suformuluoti, bet kad jie įsitvirtintų, paprastai reikia daugiau praktikos. Tą patį tyrimą nesunku pakartoti namuose. Paprašykite vaiko nubraižyti trikampį, kurio kraštinės 5 cm, 6 cm ir 7 cm: atidėti 5 cm atkarpą, o iš jos galų skriestuvu nubrėžti 6 cm ir 7 cm spindulio lankus. Lankai susikerta dviejuose taškuose, po vieną abipus atkarpos, ir bet kuris iš jų gali būti trečioji viršūnė. Kad ir kaip vaikas pradėtų, iškirpti trikampiai sutaps — vieną galbūt teks apversti. Tai ir yra požymis pagal tris kraštines.

Tada pabandykite su kraštinėmis 3 cm, 4 cm ir 8 cm. Lankai nesusikirs, nes 3 + 4 < 8, ir trikampio nubraižyti nepavyks. Taip vaikas pats atranda trikampio nelygybę: kiekviena trikampio kraštinė turi būti trumpesnė už kitų dviejų sumą. Apie ją ir kitas trikampių savybes plačiau rašėme straipsnyje apie trikampius, o ko dar šeštokas mokosi per metus, aptarėme straipsnyje apie matematiką 6 klasėje.

Kodėl dviejų kraštinių ir kampo ne tarp jų neužtenka

Žodžiai „kampas tarp jų“ nėra formalumas. Jei kampas yra ne tarp lygių kraštinių, trys lygūs elementai trikampio ne visada nusako vienareikšmiškai, ir tai lengva parodyti tuo pačiu skriestuvu. Nubrėžkite 30° kampą, kurio viršūnė A, vienoje jo kraštinėje atidėkite AB = 10 cm, o iš taško B nubrėžkite 6 cm spindulio lanką. Lankas kitą kampo kraštinę kerta dviejuose taškuose, todėl gaunami du skirtingi trikampiai. Abiejuose AB = 10 cm, BC = 6 cm ir kampas A lygus 30°, tačiau vieno trikampio kraštinė AC yra maždaug 5,3 cm, o kito — maždaug 12 cm.

Panašią klaidą NŠA įtraukė į matematikos PUPP vertinimo gaires kaip nepakankamo pagrindimo pavyzdį: už sakinį „Du trikampiai lygūs, nes jų dvi kraštinės atitinkamai lygios“ taškas neskiriamas, nes dviejų kraštinių trikampiui nusakyti neužtenka. Pridėjus kampą, kuris nėra tarp tų kraštinių, pagrindimas pakankamu netampa — tai rodo ką tik aprašytas brėžinys.

Yra ir išimčių, o svarbiausią iš jų verta žinoti. Jei žinomas kampas yra prieš ilgesnę iš dviejų žinomų kraštinių, antrasis lanko ir tiesės susikirtimo taškas atsiduria už kampo viršūnės, kraštinės tęsinyje, todėl trikampis nusakomas vienareikšmiškai. Žinomiausias toks atvejis — statusis trikampis, nes statusis kampas visada yra prieš ilgiausią kraštinę, įžambinę. Apie jį kalbėsime kiek toliau.

Trys lygūs kampai lygumo taip pat neįrodo. Lygiakraščiai trikampiai, kurių kraštinės 2 cm ir 5 cm, turi tuos pačius kampus po 60°, tačiau akivaizdžiai nėra lygūs. Jie panašūs: lygūs kampai nusako trikampio formą, bet ne dydį. Šią vietą gerai paaiškina septintos klasės programos sakinys, kad nagrinėjant konkrečius atvejus „įsitikinama, kad ne kiekvienas atvirkštinis teiginys yra teisingas“. Teiginys „jei trikampiai lygūs, tai jų kampai lygūs“ teisingas, o atvirkštinis „jei kampai lygūs, tai ir trikampiai lygūs“ — ne. Lygieji trikampiai yra atskiras panašiųjų atvejis, kai panašumo koeficientas lygus 1, o apie panašumo požymius, kuriuose kraštinės turi būti tik proporcingos, rašėme straipsnyje apie panašiuosius trikampius.

Įdomu, kad sferoje taip nėra. Visuotinėje lietuvių enciklopedijoje nurodoma, kad toje pačioje sferoje panašiųjų sferinių trikampių nėra, todėl sferiniai trikampiai, kurių kampai atitinkamai lygūs, yra lygūs. Plokštumoje trys kampai nusako tik formą, todėl lygumui įrodyti jų neužtenka.

Stačiųjų trikampių lygumo požymiai

Stačiuosiuose trikampiuose vienas lygus elementas jau žinomas — tai statusis kampas, todėl lygumui įrodyti pakanka dviejų kitų tinkamai parinktų elementų, iš kurių bent vienas yra kraštinė. Statieji trikampiai lygūs, jei lygūs jų statiniai (tai požymis pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų, nes statusis kampas yra tarp statinių), jei lygūs statinis ir prie jo esantis smailusis kampas (požymis pagal kraštinę ir du prie jos esančius kampus), jei lygūs įžambinė ir smailusis kampas (tada lygūs ir kiti smailieji kampai, nes stačiojo trikampio smailiųjų kampų suma lygi 90°) arba jei lygūs įžambinė ir statinis.

Ketvirtasis atvejis iš pirmo žvilgsnio primena netinkamą kombinaciją: statusis kampas nėra tarp įžambinės ir statinio. Vis dėlto lygumas čia įrodomas, nes pagal Pitagoro teoremą trečioji kraštinė apskaičiuojama vienareikšmiškai. Jei įžambinė lygi 13 cm, o statinis — 5 cm, kitas statinis abiejuose trikampiuose lygus √(169 − 25) = 12 cm, ir lieka požymis pagal tris kraštines. Tai ir yra anksčiau minėta išimtis: statusis kampas yra prieš įžambinę, ilgiausią kraštinę.

Kaip pastebėti lygius trikampius brėžinyje

Sąlygoje ne visada parašyta „įrodykite, kad trikampiai lygūs“. Dažnai prašoma įrodyti, kad lygios dvi atkarpos ar du kampai, o lygūs trikampiai yra tik kelias iki atsakymo. Brėžinyje juos išduoda keli pasikartojantys dalykai, ir kiekvienas jų suteikia vieną iš trijų reikalingų lygybių. Kodėl geometrijos uždavinį dažnai išsprendžia gerai perskaitytas brėžinys, o ne formulė, aptarėme straipsnyje apie planimetriją.

Pirmasis — bendra kraštinė. Jei du trikampiai turi bendrą kraštinę, ji abiem trikampiams yra ta pati, ir įrodyme pakanka parašyti, kad ji bendra. Pavyzdžiui, lygiašoniame trikampyje ABC, kurio AB = BC, pusiaukampinė BD padalija trikampį į trikampius ABD ir CBD. Juose AB = CB, ∠ABD = ∠CBD, o BD yra bendra kraštinė, todėl △ABD = △CBD pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų. Iš to išplaukia lygiašonio trikampio savybės: kampai prie pagrindo lygūs, o pusiaukampinė BD dalija pagrindą pusiau ir yra jam statmena. Lygiašonio ir lygiakraščio trikampio savybes pagrįsti programa numato aštuntoje klasėje.

Antrasis — kryžminiai kampai. Kai dvi atkarpos AC ir BD kertasi taške O, kampai AOB ir COD lygūs kaip kryžminiai. Jei dar žinoma, kad taškas O dalija abi atkarpas pusiau, t. y. AO = OC ir BO = OD, tai △AOB = △COD pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų, todėl AB = CD. Kryžminių, gretutinių ir kitų kampų porų pavadinimus primename straipsnyje apie kampus.

Trečiasis — lygiagrečios tiesės. Kai dvi lygiagrečias tieses kerta trečioji tiesė, vadinamoji kirstinė, vidaus priešiniai kampai lygūs, ir dažnai tai būna trūkstama lygybė. Įstrižainė AC lygiagretainį ABCD padalija į trikampius ABC ir CDA. Kampai BAC ir DCA lygūs kaip vidaus priešiniai (AB ∥ CD), o kampai BCA ir DAC — kaip vidaus priešiniai (BC ∥ AD). Įstrižainė AC yra bendra, todėl △ABC = △CDA pagal kraštinę ir du prie jos esančius kampus, o iš to išplaukia, kad lygiagretainio priešingosios kraštinės lygios ir priešingieji kampai lygūs. Daugiau apie lygiagretainį ir kitus keturkampius rašėme straipsnyje apie keturkampius.

Kaip užrašyti įrodymą, kad būtų skirti taškai

PUPP užduotyje yra 5–6 pilnojo sprendimo uždaviniai, už kuriuos skiriama 16 taškų iš 50, o užduoties apraše numatytas ir atskiras teiginio įrodymo laukas. Bendrąsias vertinimo taisykles nustato NŠA patvirtintos vertinimo gairės, o pagal jas kiekvienam uždaviniui rengiama vertinimo instrukcija. Gairėse parašyta, kad įrodymo uždaviniuose reikia pagrįsti kiekvieną sąlygoje nenurodytą teiginį ar faktą, o kiekvieno tokio teiginio pagrindimas vertinamas atskiru tašku. Požymio pavadinimo rašyti nebūtina, jei išvardyti visi reikiami sąryšiai, o žodžio „įrodyta“ — jei įrodymas išbaigtas ir išvada padaryta.

Kitaip tariant, taškai skiriami ne už gražią formuluotę, o už tai, ar iš užrašo matyti visos trys lygybės ir iš kur kiekviena jų atsirado. Prieš rašant įrodymą verta pasitikrinti penkis dalykus:

• kurie du trikampiai lyginami — jų viršūnes surašykite atitinkama tvarka;
• ar turite tris lygybes ir prie kiekvienos nurodėte, iš kur ji: duota sąlygoje, kraštinė bendra, kampai kryžminiai, vidaus priešiniai ir pan.;
• ar kampas tikrai yra tarp tų dviejų kraštinių arba prie tos kraštinės, kurią naudojate;
• ar nė viena lygybė nesiremia tuo, ką reikia įrodyti;
• ar parašyta išvada: trikampiai lygūs, todėl lygūs ir atitinkami jų elementai, tarp jų ir tas, kurio klausiama.

Gairėse aprašytos dar kelios su įrodymais susijusios klaidos. Įrodymas, kuriame išnagrinėtas tik atskiras atvejis, pavyzdžiui, imami konkretūs skaičiai vietoj bendrų dydžių, vertinamas 0 taškų. Taškas neskiriamas, kai remiamasi dar neįrodytu teiginiu arba supainiojama sąlyga su išvada. O perteklinis pagrindimas klaida nelaikomas: gairėse pateiktas pavyzdys, kai panašumui įrodyti nurodomi visi trys lygūs kampai, nors pakanka dviejų, ir už tokį pagrindimą taškas skiriamas. Kaip apskritai užrašyti sprendimą, kad jis būtų įvertintas, aptarėme straipsnyje apie matematikos sprendimo užrašymą.

Pavyzdys iš vertinimo gairių: keturkampis su dviem poromis lygių gretimų kraštinių

Gairėse yra uždavinys, kuris gerai parodo, kodėl požymį reikia rinktis pagal tai, kas iš tikrųjų duota. Paveiksle pavaizduotas keturkampis KLMN, kurio NK = NM ir KL = ML. Reikia įrodyti, kad ∠K = ∠M; uždavinys vertinamas 2 taškais.

Gairėse pateikti du sprendimai, už kuriuos taškas neskiriamas. Pirmajame parašyta: „Kadangi kampai K ir M yra statūs, tai jie yra lygūs.“ Sąlygoje niekur nepasakyta, kad kampai statūs, todėl remiamasi neįrodytu teiginiu. Antrasis sprendimas atrodo rimčiau: „Trikampiai NKL ir NML lygūs pagal kraštinę ir du kampus, todėl kampai K ir M yra lygūs.“ Tačiau sąlygoje neduotas nė vienas kampas, taigi ir šis sprendimas remiasi tuo, kas dar neįrodyta.

Teisingo sprendimo gairėse nėra, tačiau jį galima užrašyti remiantis tik tuo, kas duota. Įstrižainė NL keturkampį padalija į trikampius NKL ir NML. Juose NK = NM ir KL = ML pagal sąlygą, o NL yra bendra kraštinė. Vadinasi, △NKL = △NML pagal tris kraštines, ir kampai K bei M lygūs kaip atitinkami lygių trikampių kampai. Toks keturkampis, kurio dvi poros gretimų kraštinių lygios, vadinamas deltoidu, o ką tik įrodytas faktas yra viena iš jo savybių.

Kur lygumo požymiai slepiasi PUPP užduotyje

Trikampių lygumo ne visada prašoma įrodyti — dažnai lygių trikampių prireikia skaičiuojant. Tai gerai matyti iš 2026 m. matematikos PUPP 31-ojo uždavinio, kuris vertintas 1 tašku ir kuriame reikėjo įrašyti tik atsakymą. Trikampio ABC pusiaukampinės BD ilgis lygus 6. Atkarpoje DC pažymėtas taškas E taip, kad DE = 3, EC = 5 ir ∠DBE = ∠EBC. Reikia apskaičiuoti santykį AD : AB.

NŠA paskelbtame 2026 m. PUPP užduoties aptarime uždavinys sprendžiamas taip. Trikampyje BDC atkarpa BE dalija kampą DBC pusiau, todėl pagal pusiaukampinės savybę EC : CB = ED : DB, t. y. 5 : CB = 3 : 6, ir CB = 10. Kadangi DC = 3 + 5 = 8, o 6² + 8² = 10², pagal Pitagoro teoremai atvirkštinę teoremą kampas BDC yra statusis, todėl statusis ir jam gretutinis kampas BDA. Tada trikampiai BDC ir BDA lygūs: BD yra bendra kraštinė, ∠DBC = ∠DBA, nes BD — trikampio ABC pusiaukampinė, o ∠BDC = ∠BDA = 90°. Iš lygumo gaunama AD = CD = 8 ir AB = CB = 10, todėl AD : AB = 0,8.

Uždavinys neprašė nieko įrodinėti, tačiau NŠA aptarime pateiktame sprendime atkarpa AD randama būtent pasinaudojus lygiais trikampiais, nors ją galima rasti ir kitais būdais. Šio sprendimo raktų PUPP formulių rinkinyje nėra: jame yra sinusų ir kosinusų teoremos, trikampio ploto ir daugiakampio kampų sumos formulės, bet nėra nei pusiaukampinės savybės, nei Pitagoro teoremos, nei lygumo ar panašumo požymių. Ką rinkinys duoda ir ko jame nėra, plačiau aptarėme straipsnyje apie egzaminų formulynus, o kaip PUPP taškai virsta pažymiu, — PUPP vertinimo apžvalgoje.

Kurioje klasėje mokomasi lygumo požymių ir kada jų prireikia

Lygumo sąvoka atsiranda anksti. Ketvirtoje klasėje aiškinamasi, kokios figūros laikomos lygiomis, o šeštoje braižant suformuluojami trikampių lygumo požymiai. Septintoje klasėje mokomasi, kas yra teorema, sąlyga ir išvada, formuluojami atvirkštiniai teiginiai ir nagrinėjami kampai prie lygiagrečių tiesių. Aštuntoje aiškinamasi, kuo matematinis įrodymas skiriasi nuo empirinių pastebėjimų, ir pagrindžiamos lygiašonio bei lygiakraščio trikampio savybės. Devintoje ir dešimtoje klasėse programa nurodo mokytis remtis apibrėžimais ir įrodytais teiginiais įrodinėjant kitus teiginius, o dešimtoje dar pagrindžiamos trikampio pusiaukampinių ir pusiaukraštinių savybės.

Pačių požymių įrodymas paliekamas gimnazijai. Dalyko modulyje „Planimetrija“, skirtame trečiosios gimnazijos klasės mokiniams, besimokantiems bendruoju ar išplėstiniu kursu, trikampio lygumo požymiai suformuluojami ir įrodomi. Modulis trunka 36 pamokas, vertinamas „įskaityta“ arba „neįskaityta“, o jo įvertinimas įrašomas į brandos atestatą. Taigi iki trečiosios gimnazijos klasės požymiai naudojami kaip įrankis, o jų įrodymas paliekamas dalyko moduliui.

Per aštuntokų nacionalinį mokinių pasiekimų patikrinimą (NMPP) lygumo požymiai gali pasitaikyti, nes užduoties apraše numatyta, kad į užduotį gali būti įtraukti visų 5–7 klasių temų uždaviniai. Tačiau NMPP sudaro tik pasirenkamojo ir trumpojo atsakymo uždaviniai, vertinami automatiškai, todėl įrodymo rašyti nereikia: lygius trikampius reikia pastebėti ir panaudoti. Rašytinis pagrindimas tampa svarbus per PUPP, kuris laikomas dešimtos klasės pabaigoje. Kada vyks artimiausi patikrinimai, rasite NMPP 2027 apžvalgoje ir egzaminų datų puslapyje.

Kur rasti uždavinių ir kaip pasitikrinti

Lygumo požymius išmokti nesunku. Sunkiau brėžinyje pastebėti lygius trikampius ir aiškiai užrašyti įrodymą, o tam padeda tas pats: daug išspręstų uždavinių ir galimybė savo užrašą palyginti su išsamiu sprendimu. Todėl renkantis medžiagą verta žiūrėti ne tik į uždavinių skaičių, bet ir į tai, ar pateikti sprendimai, ar tik atsakymai.

Visam šeštos klasės kursui pakartoti tinka Vaidoto Mockaus 6 klasės kurso teminiai uždaviniai: jie sugrupuoti pagal temas ir pateikti A ir B variantais, todėl tos pačios temos žinias galima dar kartą pasitikrinti panašiomis, bet ne tomis pačiomis užduotimis. Septintokams tinka to paties autoriaus 7 klasės kurso teminiai uždaviniai, o tiems, kuriems įprastų uždavinių per maža, — stipresnio lygio užduotys 7 klasei PDF formatu su atsakymais.

Aštuntoje klasėje kartojimą patogu sieti su NMPP. Vaidoto Mockaus darbo sąsiuvinyje „Pakartokime 5–8 klasės matematikos kursą ir pasirenkime 8 klasės NMPP“ yra dvylika 5–8 klasių kurso kartojimo užduočių, o atsakymai pateikti knygos gale. Progimnazijos kurso 5–8 klasių kartojimo uždaviniai padeda susisteminti kelerių metų temas. Aštuntokams, kurie stoja į gimnazijas su atranka, pasirengimą verta pasitikrinti bandomaisiais egzaminais: 9 klasės bandomųjų egzaminų rinkinyje yra šeši A, B ir C lygio egzaminai su detaliais sprendimais, o atskirai galima įsigyti bandomuosius egzaminus, skirtus pasiruošti stojimui į Vilniaus licėjų ar Žirmūnų gimnaziją. Visus juos rasite stojamųjų egzaminų skiltyje.

Devintoje ir dešimtoje klasėse, kai lygūs trikampiai tampa įrodymų įrankiu, labiausiai praverčia uždaviniai su išsamiais sprendimais. 10 klasės matematikos pagrindų stiprinimo uždavinyne yra 287 uždaviniai pagal PUPP programą, tarp jų ir geometrijos, o atskirame 185 puslapių faile pateikti sprendimai žingsnis po žingsnio. Stipresniems mokiniams skirtas uždavinynas „siekiantiems daugiau“ su 359 uždaviniais ir išsamiais jų sprendimais. Iš spausdintų knygų PUPP kartojimui skirti Mockaus 5–10 klasių kurso kartojimo uždaviniai su atsakymais ir naujas PUPP užduočių pavyzdžių leidinys pagal atnaujintą programą, o formulėms ir taisyklėms prisiminti — matematikos atmintinė. Daugiau PUPP leidinių rasite PUPP pasiruošimo skiltyje.

Jei klaidos kartojasi ir rašytinio paaiškinimo nepakanka, padeda matematikos korepetitorius: jis mato, kaip mokinys mąsto braižydamas, ir pagrindimą gali taisyti iš karto, kol netikslus užrašas netapo įpročiu. Individualias pamokas galima užsisakyti ir parduotuvės korepetitorių paslaugų skiltyje.

Trumpai

Du trikampiai yra lygūs, jei lygios jų trys kraštinės, jei lygios dvi kraštinės ir kampas tarp jų arba jei lygi kraštinė ir du prie jos esantys kampai. Dvi kraštinės ir kampas ne tarp jų bendruoju atveju lygumo neįrodo (išimtis — kai kampas yra prieš ilgesnę iš tų kraštinių, todėl statieji trikampiai lygūs pagal įžambinę ir statinį), o trys lygūs kampai reiškia tik panašumą. Požymiai suformuluojami šeštoje klasėje braižant, vėliau tampa įrankiu pagrindžiant figūrų savybes ir sprendžiant įrodymo uždavinius, o pagal programą įrodomi tik gimnazijos dalyko modulyje „Planimetrija“. PUPP formulių rinkinyje jų nėra, o pagal NŠA vertinimo gaires įrodyme reikia pagrįsti kiekvieną sąlygoje nenurodytą teiginį, tačiau požymio pavadinimo rašyti nebūtina, jei išvardyti visi reikiami sąryšiai.