2026 m. gegužę per matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimą (PUPP) apskritimas buvo septyniuose uždaviniuose, vertuose 10 taškų iš 50, t. y. penktadalio visų užduoties taškų. Apie išpjovas ir lankus, kurių reikėjo keliuose iš jų, jau rašėme straipsnyje apie apskritimo ilgį ir skritulio plotą. Šis straipsnis skirtas kitai temos pusei: kampams, liestinėms ir stygoms. Būtent jų savybių reikėjo daugumoje tų uždavinių, o formulių rinkinyje, kurį mokiniai gauna patikrinimo metu, šių savybių nėra. Tik vienam iš septynių uždavinių, skirtam skritulio išpjovos plotui, pakako formulės iš rinkinio. Sprendžiant kitus šešis, vertus 9 taškų, reikėjo žinoti, kas yra įbrėžtinis trikampis, kad įbrėžtinis kampas lygus pusei centrinio, kad liestinių, nubrėžtų iš vieno taško, atkarpos lygios, kad įbrėžtinio keturkampio priešingų kampų suma lygi 180°, o apibrėžtinio — priešingų kraštinių sumos lygios. Be to, Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) vertinimo gairėse yra pavyzdys, kai, nors atsakymas teisingas, neskiriamas taškas už argumentavimą vien todėl, kad sprendime neparašyta, jog liestinė statmena spinduliui. Toliau paaiškiname, ką šios savybės teigia, kodėl jos teisingos ir kaip NŠA 2026 m. tokius uždavinius sprendė ir vertino.
Trumpai: centrinio kampo viršūnė yra apskritimo centre, o kraštinės yra spinduliai. Įbrėžtinio kampo viršūnė yra pačiame apskritime, o kraštinės yra stygos. Jei abu kampai remiasi į tą patį lanką, įbrėžtinis kampas yra perpus mažesnis už centrinį: kai centrinis kampas lygus 72°, įbrėžtinis lygus 36°. Lankas matuojamas ir ilgio vienetais, ir laipsniais, o laipsniais jis lygus į jį besiremiančiam centriniam kampui. Mokykloje šių dalykų mokomasi 9 klasėje, o įbrėžtinių ir apibrėžtinių daugiakampių — 10 klasėje.
Šešios apskritimo savybės, kurias verta mokėti mintinai
Didžioji mokyklinės apskritimo geometrijos dalis remiasi keliais teiginiais. Jie trumpi, bet uždavinio sąlygoje retai pasakoma, kurį iš jų taikyti, todėl juos verta žinoti tiksliai, kartu su sąlygomis, kuriomis jie galioja:
- Įbrėžtinis kampas lygus pusei lanko, į kurį jis remiasi, todėl ir pusei centrinio kampo, besiremiančio į tą patį lanką.
- Įbrėžtiniai kampai, besiremiantys į tą patį lanką, yra lygūs, o įbrėžtinis kampas, besiremiantis į skersmenį, yra status.
- Liestinė statmena spinduliui, nubrėžtam į lietimosi tašką.
- Liestinių, nubrėžtų iš to paties taško, atkarpos nuo to taško iki lietimosi taškų yra lygios.
- Jei stygos AB ir CD kertasi taške E, tai AE · EB = CE · ED.
- Apie iškiląjį keturkampį apskritimą galima apibrėžti tada ir tik tada, kai jo priešingų kampų suma lygi 180°, o įbrėžti į jį — tada ir tik tada, kai jo priešingų kraštinių sumos lygios.
Visos šios savybės yra matematikos bendrosios programos 9–10 klasių turinyje, bet nė vienos iš jų nėra PUPP formulių rinkinyje. Patikrinimo metu jas tenka prisiminti pačiam, todėl toliau aiškiname ne tik tai, ką jos teigia, bet ir tai, kodėl jos teisingos.
Kuo skiriasi centrinis ir įbrėžtinis kampas
Centrinis kampas yra kampas, kurio viršūnė yra apskritimo centras, o kraštinės yra spinduliai. Įbrėžtinį kampą Visuotinė lietuvių enciklopedija apibrėžia kaip plokščiąjį kampą, „kurio viršūnė yra apskritimo taškas, o kraštinės yra to apskritimo stygos“. Skirtumas atrodo menkas, nes viršūnė tik pasislenka iš centro į apskritimą, tačiau nuo šio skirtumo priklauso kampo didumas.
Abu kampai remiasi į lanką, t. y. į tą apskritimo dalį, kuri yra tarp jų kraštinių. Taškai A ir B apskritimą visada padalija į du lankus, todėl verta pasitikrinti, apie kurį kalbama: įbrėžtinis kampas ACB remiasi į tą lanką AB, kuriame nėra jo viršūnės C. Bendrojoje programoje atskirai nurodyta, kad apskritimo lankas matuojamas ne tik ilgio vienetais, bet ir laipsniais. Laipsniais lankas lygus į jį besiremiančiam centriniam kampui: visas apskritimas yra 360°, pusapskritimis — 180°, o lankas, į kurį remiasi 72° centrinis kampas, — 72°.
Pagrindinė savybė sujungia abu kampus: įbrėžtinis kampas lygus pusei lanko, į kurį jis remiasi, taigi ir pusei centrinio kampo, besiremiančio į tą patį lanką. Būtent tai 2026 m. PUPP tikrino 10-ajame uždavinyje. Taškai A, B ir C priklauso apskritimui, kurio centras yra O, o kampas AOB lygus 72°. Reikėjo įrašyti kampo ACB ir lanko AB didumus laipsniais. Teisingi atsakymai yra 36° ir 72°, o už kiekvieną skiriama po tašką.
Kodėl įbrėžtinis kampas lygus pusei centrinio
Šią savybę galima įsiminti kaip taisyklę, bet ją verta bent kartą įrodyti. Pirma, įrodymas trumpas. Antra, kas jį supranta, tas nebesupainioja krypties, t. y. ar įbrėžtinis kampas perpus mažesnis už centrinį, ar dvigubai didesnis. Trečia, programa numato ne tik taikyti savybes, bet ir remtis įrodytais teiginiais įrodinėjant kitus, o PUPP užduotyje gali būti uždavinys, kuriame reikia įrašyti teiginio įrodymą.
Paprasčiausias atvejis yra tada, kai viena įbrėžtinio kampo ACB kraštinė eina per centrą, t. y. CB yra skersmuo. Trikampis AOC lygiašonis, nes OA ir OC yra spinduliai, todėl kampai prie jo pagrindo lygūs: ∠OAC = ∠OCA. Kampas AOB yra šio trikampio priekampis, o trikampio priekampis lygus dviejų su juo negretimų vidaus kampų sumai. Taigi ∠AOB = ∠OAC + ∠OCA = 2 · ∠ACB. Bendru atveju per viršūnę C nubrėžiamas skersmuo. Jei centras yra kampo viduje, skersmuo padalija įbrėžtinį kampą į dvi dalis ir kampas lygus jų sumai, o jei centras yra kampo išorėje, kampas lygus dviejų tokių kampų skirtumui. Kiekvienam iš šių kampų tinka tas pats samprotavimas, todėl savybė galioja visada.
Trys išvados iš pagrindinės savybės
Šias išvadas verta žinoti atskirai. Pirmoji: visi įbrėžtiniai kampai, besiremiantys į tą patį lanką, yra lygūs. Jei taškai C ir D yra toje pačioje stygos AB pusėje, tai ∠ACB = ∠ADB, nes abu kampai lygūs pusei to paties lanko. Brėžinyje tai dažnai atrodo kaip du trikampiai su bendra kraštine AB. Pastebėjus šiuos lygius kampus, uždavinys neretai išsprendžiamas per vieną eilutę. Svarbi viena sąlyga: jei C ir D yra skirtingose stygos pusėse, kampai remiasi į skirtingus lankus ir jų suma lygi 180°, todėl lygūs jie būna tik tada, kai AB yra skersmuo.
Antroji: įbrėžtinis kampas, besiremiantis į skersmenį, yra status. Skersmuo dalija apskritimą į du pusapskritimius po 180°, o pusė 180° yra 90°. Todėl trikampis, kurio viena kraštinė yra apskritimo skersmuo, o trečioji viršūnė yra apskritime, visada yra statusis ir jam galima taikyti Pitagoro teoremą net tada, kai statusis kampas brėžinyje nepažymėtas.
Trečioji: įbrėžtinio keturkampio priešingų kampų suma lygi 180°. Kampai A ir C remiasi į du lankus, kurie kartu sudaro visą apskritimą, todėl jų suma lygi pusei 360°. Tas pats tinka kampams B ir D. Enciklopedijoje ši savybė pateikiama kaip požymis: apie iškiląjį keturkampį apskritimą galima apibrėžti tada ir tik tada, kai jo priešingų kampų suma lygi 180°. Todėl apie stačiakampį apskritimą apibrėžti galima, o apie lygiagretainį, kuris nėra stačiakampis, — ne. 2026 m. PUPP 24-ajame uždavinyje buvo duota, kad apie keturkampį ABCD apibrėžtas apskritimas, o kampų A ir C didumų skirtumas lygus 30°. Užteko sudaryti lygčių sistemą ∠A + ∠C = 180°, ∠A − ∠C = 30° ir ją išspręsti: ∠A = 105°.
Kai lankas duotas centimetrais
Atskiro dėmesio reikia tada, kai lankas duotas ne laipsniais, o ilgio vienetais. 2026 m. PUPP 32-asis uždavinys buvo kaip tik toks: nubrėžtos dvi apskritimo, kurio ilgis 24 cm, stygos AB ir BC, lanko AB ilgis lygus 6 cm, lanko BC — 8 cm, o reikėjo rasti kampo ABC didumą.
Sprendžiama trimis žingsniais. Trečiasis lankas AC, kuriame nėra taško B, yra 24 − 6 − 8 = 10 cm ilgio. To paties apskritimo lankų ilgiai proporcingi jų laipsniniams matams, o visas apskritimas yra ir 24 cm, ir 360°, todėl vienas centimetras lanko atitinka 360° : 24 = 15°, o lankas AC lygus 150°. NŠA aptarime tai padaryta per santykį 6 : 8 : 10 = 3 : 4 : 5. Viena dalis lygi 360° : 12 = 30°, todėl lankas AC lygus 5 · 30° = 150°. Kampas ABC yra įbrėžtinis ir remiasi į lanką AC, todėl jis lygus 150° : 2 = 75°.
Uždavinys vertas vieno taško, bet jame lengva suklysti dviem būdais. Pirmasis — 10 cm laikyti 10°. Antrasis — imti ne tą lanką: kampas ABC remiasi į lanką AC, kuriame nėra jo viršūnės B, o ne į sąlygoje duotus lankus AB ar BC. Laipsnius iš ilgio galima gauti ir formulių rinkinyje esančia išpjovos lanko ilgio formule: pagal ją centrinis kampas randamas 360° padauginus iš lanko ilgio ir padalijus iš viso apskritimo ilgio.
Ta pati formulė padeda rasti ir vadinamąjį kūgio centrinį kampą. Kūgio šoninio paviršiaus išklotinė yra skritulio išpjova, kurios spindulys lygus sudaromajai l, o lanko ilgis — pagrindo apskritimo ilgiui 2πr. Todėl išklotinės centrinis kampas lygus 360° · r / l. Pavyzdžiui, kai pagrindo spindulys 3 cm, o sudaromoji 9 cm, išklotinės kampas lygus 120°.
Liestinė: vienas sakinys, nuo kurio priklauso taškas
Liestinė yra tiesė, kuri su apskritimu turi tik vieną bendrą tašką, vadinamą lietimosi tašku. Kirstinė apskritimą kerta dviejuose taškuose, o styga yra atkarpa, jungianti du apskritimo taškus. Ilgiausia styga yra skersmuo. Pagrindinė liestinės savybė: liestinė statmena spinduliui, nubrėžtam į lietimosi tašką.
NŠA PUPP vertinimo gairėse yra pavyzdys, kuris gerai parodo, kaip vertinamas sprendimas, kai ši savybė jame paminėta ir kai praleista. Uždavinyje prašoma pagal brėžinio duomenis rasti AO ir argumentuoti. Brėžinyje AB yra apskritimo liestinė, B — lietimosi taškas, spindulys OB lygus 3, o atkarpa AB — 4, bet statusis kampas prie B nepažymėtas. Mokiniui, kuris parašė tik AO² = 3² + 4², AO = 5, neskiriamas pirmasis taškas, numatytas už argumentavimą, nors atsakymas teisingas. Visi taškai skiriami, kai sprendime užrašyta OB ⊥ AB, ir tada, kai parašytas visas sakinys: BO ⊥ AB, nes apskritimo liestinė AB statmena spinduliui OB, nubrėžtam į lietimosi tašką. Jei sąlygoje žodžio „argumentuokite“ nebūtų, visi taškai būtų skiriami ir be šio sakinio.
Iš to verta padaryti bendrą išvadą. Kai uždavinyje parašyta „argumentuokite“, „pagrįskite“ ar „parodykite“, vien teisingo atsakymo neužtenka: statųjį kampą prie liestinės reikia įvardyti, pavyzdžiui, užrašyti OB ⊥ AB. Gairėse sakoma, kad tokiu atveju užtenka paaiškinti, kodėl pasirenkamas sprendimo būdas, o įrodyti faktų nebūtina. Už tokį pagrindimą skiriamas 1 taškas. Tas pats tinka įbrėžtiniam kampui, besiremiančiam į skersmenį. Plačiau apie tai, kaip pelnyti visus taškus už sprendimą, rašome straipsnyje „Kaip užrašyti matematikos sprendimą“.
Dvi liestinės iš vieno taško ir apibrėžtinis keturkampis
Iš taško P, esančio už apskritimo, galima nubrėžti dvi liestines. Atkarpos nuo P iki lietimosi taškų A ir B yra lygios: PA = PB. Tai lengva pagrįsti. Trikampiai OAP ir OBP yra statieji, nes liestinė statmena spinduliui. Jų įžambinė OP bendra, o statiniai OA ir OB lygūs kaip spinduliai, todėl trikampiai lygūs pagal įžambinę ir statinį, o kartu lygios ir atkarpos PA ir PB.
Ši savybė buvo vertingiausio 2026 m. PUPP apskritimo uždavinio pagrindas. 25-ajame uždavinyje į trikampį ABC įbrėžtas apskritimas liečia kraštines taškuose K, L ir M, o kraštinių ilgiai yra AB = 6, BC = 7 ir AC = 10. Atkarpos KB ilgis pažymėtas x ir reikėjo parodyti, kad AK = 3x. Kadangi liestinių atkarpos iš tos pačios viršūnės lygios, BL = x, AK = AM = 6 − x ir CL = CM = 7 − x. Kraštinę AC sudaro atkarpos AM ir MC, todėl (6 − x) + (7 − x) = 10, t. y. 13 − 2x = 10, iš čia x = 1,5. Tada AK = 6 − 1,5 = 4,5 = 3 · 1,5. Pagal NŠA paskelbtą vertinimo instrukcijos projektą uždavinys vertas 3 taškų: pirmasis skiriamas už bent dviejų atkarpų išreiškimą per x, antrasis — už x reikšmę, trečiasis — už parodymą, kad AK = 3x. Šis uždavinys vertinamas rankiniu būdu, t. y. sprendimą tikrina vertintojas, o taškai skiriami už atskirus žingsnius, todėl tarpinius skaičiavimus verta užrašyti.
Iš tos pačios savybės gaunama ir apibrėžtinio keturkampio savybė. Jei į keturkampį įbrėžtas apskritimas, kiekvienoje viršūnėje susitinka dvi lygios liestinių atkarpos, todėl priešingų kraštinių sumos lygios: AB + CD = BC + AD. Galioja ir atvirkštinis teiginys: jei iškilojo keturkampio priešingų kraštinių sumos lygios, į jį galima įbrėžti apskritimą. Todėl į rombą ir kvadratą apskritimą įbrėžti galima, o į stačiakampį, kuris nėra kvadratas, — ne.
2026 m. PUPP 30-ajame uždavinyje keturkampio, į kurį įbrėžtas apskritimas, perimetras buvo lygus 30 cm, o dvi trumpiausios kraštinės — 6,2 cm ir 6,8 cm. Kadangi priešingų kraštinių sumos lygios, kiekviena tokia pora sudaro pusę perimetro, t. y. 15 cm. Dvi trumpiausios kraštinės negali būti priešingos, nes 6,2 + 6,8 = 13, o ne 15. Vadinasi, jos gretimos, o prieš jas yra 15 − 6,8 = 8,2 cm ir 15 − 6,2 = 8,8 cm ilgio kraštinės. Ilgiausia kraštinė, 8,8 cm, yra prieš trumpiausiąją. NŠA aptarime šis samprotavimas užrašytas trumpiau, bet verta suprasti, kodėl ilgiausia kraštinė yra būtent prieš trumpiausią.
Susikertančios stygos
Programoje minima ir susikertančių stygų savybė. Jei stygos AB ir CD kertasi taške E, tai vienos stygos atkarpų sandauga lygi kitos stygos atkarpų sandaugai: AE · EB = CE · ED. Pavyzdžiui, jei AE = 4, EB = 6 ir CE = 3, tai ED = 4 · 6 : 3 = 8. Ši savybė įrodoma panašiaisiais trikampiais. Trikampiai AEC ir DEB turi po du lygius kampus: vieną porą sudaro kryžminiai kampai prie taško E, kitą — įbrėžtiniai kampai CAB ir CDB, kurie remiasi į tą patį lanką CB. Todėl trikampiai panašūs, o jų atitinkamos kraštinės proporcingos.
Su stygomis susijęs ir dar vienas paprastas faktas: skersmuo, statmenas stygai, dalija ją pusiau. Todėl atstumas nuo centro iki stygos randamas iš stačiojo trikampio. Kai spindulys lygus 5 cm, o styga — 8 cm, šis atstumas lygus √(5² − 4²) = 3 cm. Tokie uždaviniai jungia apskritimą su trikampiais, todėl stačiųjų ir lygiašonių trikampių savybes verta pasikartoti straipsnyje apie trikampius.
Ką duoda PUPP formulių rinkinys ir ko jame nėra
Patikrinimo metu mokiniai gauna išspausdintą formulių rinkinį, kuris yra PUPP užduoties aprašo priedas. Iš formulių, susijusių su apskritimu, rinkinyje yra skritulio išpjovos lanko ilgio ir išpjovos ploto formulės (kampas laipsniais), sinusų teorema su išvada apie apibrėžto apskritimo spindulį R ir dvi trikampio ploto formulės, S = rp ir S = abc / (4R), kur r yra įbrėžto, o R — apibrėžto apskritimo spindulys, p — pusperimetris. Taip pat yra daugiakampio kampų sumos formulė 180° · (n − 2).
Nė vienos iš šešių šiame straipsnyje aptartų savybių rinkinyje nėra: nei įbrėžtinio ir centrinio kampo sąryšio, nei liestinės statmenumo spinduliui, nei liestinių atkarpų lygybės, nei susikertančių stygų savybės, nei įbrėžtinio ar apibrėžtinio keturkampio požymių, nors sinusų ir kosinusų teoremos rinkinyje yra. Mokiniui tai reiškia paprastą dalyką: per patikrinimą šių savybių nebus kur pasitikrinti. Daugiau apie tai, ką duoda PUPP ir VBE formulių rinkiniai, rasite straipsnyje apie egzaminų formulynus.
Kodėl tai svarbu, rodo paprasti skaičiai. Pagal aprašą PUPP sudaro 30–35 uždaviniai, iš viso verti 50 taškų, o patikrinimas trunka 150 minučių. Įvertinimui 4, t. y. slenkstiniam lygiui, reikia 17 taškų, o 2026 m. apskritimo uždaviniai buvo verti 10 taškų. Kitų metų užduotis, žinoma, gali būti sudaryta kitaip, tačiau aprašas leidžia į ją įtraukti uždavinių iš visų 9 klasės temų ir iš 10 klasės temų, išskyrus duomenis ir tikimybes, o apskritimas nagrinėjamas abiejose klasėse. Kaip PUPP taškai virsta pažymiu, plačiau aiškiname straipsnyje apie PUPP vertinimą.
Kur lengviausia suklysti apskritimo uždaviniuose
Apskritimo uždaviniuose lengva suklysti keliais būdais. Pirmoji klaida — supainiota kryptis: įbrėžtinis kampas yra perpus mažesnis už centrinį, o ne atvirkščiai. Jei kyla abejonių, verta prisiminti pusapskritimį: centrinis kampas ten ištiestinis (180°), o įbrėžtinis — status (90°).
Antroji klaida — ne tas lankas. Kaip jau minėjome, įbrėžtinis kampas remiasi į tą lanką, kuriame nėra jo viršūnės. Pavyzdžiui, kai centrinis kampas AOB lygus 120°, įbrėžtinis kampas ACB lygus 60°, jei taškas C yra didžiajame lanke AB, bet lygus 120°, jei C yra mažajame lanke, nes tada kampas remiasi į didįjį lanką, kuris lygus 360° − 120° = 240°. Trečioji klaida — ilgio ir laipsnių painiojimas, kurį jau aptarėme prie 32-ojo uždavinio: lanko ilgį centimetrais reikia paversti laipsniais pagal viso apskritimo ilgį.
Ketvirtoji klaida — savybės taikymas be sąlygos. Priešingų kampų suma lygi 180° tik tada, kai apie keturkampį apibrėžtas apskritimas, o iškilojo keturkampio priešingų kraštinių sumos lygios tik tada, kai į jį įbrėžtas apskritimas. Jei sąlygoje to nepasakyta ir to negalima pagrįsti, šių savybių naudoti negalima. Penktoji — nepagrįstas statusis kampas. Kai sprendimas remiasi statuoju kampu prie liestinės ar įbrėžtiniu kampu, besiremiančiu į skersmenį, jį reikia įvardyti, ypač jei sąlygoje parašyta „argumentuokite“, „pagrįskite“ ar „parodykite“.
Kada šios temos mokomasi ir kaip pasiruošti namuose
Pagal matematikos bendrąją programą centrinis ir įbrėžtinis kampas, liestinė, kirstinė, styga, skritulio išpjova ir nuopjova nagrinėjami 9 (I gimnazijos) klasėje, kartu su liestinės, liestinių atkarpų ir susikertančių stygų savybėmis. 10 (II gimnazijos) klasėje prie apskritimo grįžtama per įbrėžtinius ir apibrėžtinius daugiakampius, į trikampį įbrėžto ir apie jį apibrėžto apskritimo centrus bei formules S = rp ir S = abc / (4R). NŠA 2026 m. ilgalaikio plano pavyzdyje 9 klasės blokui „Plokštumos figūros“ numatyta 12 pamokų, o 10 klasės blokui, kuriame nagrinėjamos ir trikampio pusiaukraštinių bei pusiaukampinių savybės, — 14 pamokų. Tai pavyzdys, o ne privaloma tvarka, todėl mokytojas pamokų skaičių gali keisti. Bendrą devintos ir dešimtos klasės kursą apžvelgiame straipsniuose apie matematiką 9 klasėje ir 10 klasėje.
Namuose padeda nuoseklumas: pirmiausia keli paprasti uždaviniai kiekvienai savybei, tada mišrūs, kuriuose reikia pačiam atpažinti, kurią savybę taikyti. Prie kiekvieno brėžinio verta pasižymėti, kur yra centras, kurios atkarpos yra spinduliai ir ar brėžinyje yra skersmuo arba liestinė. Tada greitai išryškėja lygiašoniai ir statieji trikampiai, kurie dažnai ir yra sprendimo raktas.
Kad būtų matyti ne tik atsakymas, bet ir kelias iki jo, reikia uždavinių su sprendimais. 10 klasės matematikos pagrindų stiprinimo uždavinynas skirtas pasiruošti PUPP: rinkinį sudaro 287 uždaviniai (tarp jų ir geometrijos) ir atskiras 185 puslapių sprendimų failas su detalia eiga. Prieš patikrinimą verta išspręsti ir pavyzdinių užduočių: Vaidoto Mockaus 10 klasės PUPP užduočių pavyzdžiai yra naujas leidinys pagal atnaujintą programą, o to paties autoriaus 5–10 klasių kurso kartojimo uždaviniai su atsakymais skirti visam pagrindinės mokyklos kursui pakartoti.
Mokiniui, kuris standartinius uždavinius jau sprendžia užtikrintai, skirtas uždavinynas „Siekiantiems daugiau“: jame yra 359 mąstyti skatinantys uždaviniai su išsamiais sprendimais, o prie jo galima užsisakyti ir 60 minučių gilinimo pamoką su mokytoju. Kai reikia greitai pasitikrinti formulę ar taisyklę, praverčia Mockaus formulių ir taisyklių rinkinys arba matematikos atmintinė. Daugiau leidinių, skirtų pasiruošti patikrinimui, rasite PUPP matematikos skiltyje, o visas Mockaus knygas — jo knygų puslapyje.
Kada verta kreiptis į korepetitorių
Jei savybės žinomos, bet uždavinyje nepavyksta pamatyti, kurią taikyti, neretai trūksta ne apskritimo žinių, o įgūdžio skaityti brėžinį: iš dviejų spindulių atpažinti lygiašonį trikampį, prie liestinės pamatyti statųjį kampą, o keturkampyje atpažinti, kad jis įbrėžtinis. Tokį įgūdį lengviau lavinti sprendžiant kartu su žmogumi, kuris parodo, į ką žiūrėti. Matematikos korepetitorius 9 klasei ar 10 klasei gali per kelias pamokas išnagrinėti apskritimo uždavinius ir kartu patikrinti, ar spraga nėra ankstesnėse temose: kampuose, lygiašoniuose trikampiuose ar Pitagoro teoremoje. Jei neaišku, nuo ko pradėti, padeda vienos pamokos žinių lygio įsivertinimas, kurio metu mokytojas patikrina pagrindines temas ir pasiūlo, ką verta kartoti toliau.
Svarbiausia trumpai: apskritimo geometrija yra nedidelis savybių rinkinys, kuris PUPP užduotyje gali užimti nemažai vietos. Įbrėžtinis kampas lygus pusei centrinio kampo, besiremiančio į tą patį lanką, o į skersmenį besiremiantis įbrėžtinis kampas yra status. Liestinė statmena spinduliui, o liestinių, nubrėžtų iš vieno taško, atkarpos lygios. Iš šių keturių teiginių išvedamos ir įbrėžtinio bei apibrėžtinio keturkampio savybės, todėl šiuos teiginius verta išmokti pirmiausia ir mokėti pritaikyti brėžinyje.
