Apskritimo ilgis ir skritulio plotas: formulės, skaičius π ir kodėl apskritimas neturi ploto

Apskritimo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę C = 2πr, o skritulio plotas — pagal formulę S = πr²; čia r yra spindulys, o π ≈ 3,14. Tai visas trumpasis atsakymas. Ilgesnis prasideda nuo žodžių: paieškoje dažnai rašoma „apskritimo plotas“, nors matematikoje apskritimas ploto neturi — plotą turi skritulys. Už šios smulkios painiavos neretai slepiasi ir didesnės klaidos: į ploto formulę įrašomas skersmuo vietoje spindulio, atsakyme pamirštami kvadratiniai centimetrai, π suapvalinamas ne tame žingsnyje. Toliau — kuo apskritimas skiriasi nuo skritulio, kurioje klasėje ko mokomasi pagal bendrąją programą, kaip ši tema atrodė 2026 m. PUPP ir brandos egzamine ir ką iš tikrųjų duoda formulių lapas.

Formulės vienoje vietoje

Visa tema remiasi dviem atkarpomis ir vienu skaičiumi. Spindulys r — tai atkarpa, jungianti centrą su bet kuriuo apskritimo tašku; taip vadinamas ir jos ilgis. Skersmuo d — atkarpa, einanti per centrą ir jungianti du apskritimo taškus, todėl jis visada lygus dviem spinduliams. Skaičius π rodo, kiek kartų apskritimo ilgis didesnis už jo skersmenį. Iš šių trijų dalykų išplaukia visos kitos formulės:

• apskritimo ilgis: C = 2πr, o kai žinomas skersmuo, — C = πd;
• skritulio plotas: S = πr²;
• ryšys tarp spindulio ir skersmens: d = 2r, r = d : 2;
• skritulio išpjovos, kurios kampas lygus α laipsnių, plotas lygus πr² · α : 360, o jos lanko ilgis — 2πr · α : 360;
• π ≈ 3,14; tikslesnė reikšmė — 3,14159…

Išpjovos formulės nėra atskira tema, kurią reikėtų kalti atmintinai. Tai tos pačios viso skritulio formulės, tik taikomos jo daliai: 90 laipsnių išpjova yra ketvirtadalis skritulio, 60 laipsnių — šeštadalis. Šis ryšys dar pravers kalbant apie egzaminų formulių lapą.

Apskritimas yra linija, skritulys — sritis

Švietimo portale „Emokykla“ skelbiamame 1–4 klasių matematikos sąvokų apraše apskritimas apibrėžiamas kaip plokštumos figūra, kurią sudaro visi tos plokštumos taškai, vienodai nutolę nuo vieno taško, o skritulys — kaip plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas. Paprasčiau tariant, apskritimas yra tik kraštas, plona uždara linija, o skritulys — visa tos linijos apribota sritis kartu su pačiu kraštu.

Iš to kyla ir skirtumas tarp dviejų dydžių. Linija turi ilgį, bet neturi ploto, todėl sakoma „apskritimo ilgis“. Sritis turi plotą, todėl sakoma „skritulio plotas“. Kas ieško „apskritimo ploto“, iš tikrųjų turi omenyje skritulio plotą, ir atsakymas yra ta pati formulė S = πr². Lygiai taip pat „skritulio perimetras“ yra jį ribojančio apskritimo ilgis, C = 2πr.

Kasdienėje kalboje ši painiava nieko nekainuoja, tačiau uždavinyje nuo jos priklauso, ką skaičiuoti. Jei klausiama, kiek juostos reikės apvalaus veidrodžio kraštui apklijuoti, reikia ilgio. Jei klausiama, kiek stiklo reikės pačiam veidrodžiui, — ploto. Oficialiuose dokumentuose žodžiai vartojami griežtai: pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo formulių rinkinyje rašoma „skritulio išpjovos plotas“ ir „skritulio išpjovos lanko ilgis“, o ne „apskritimo plotas“. Todėl verta nuo pat pradžių įprasti prie tikslių žodžių — jie padeda nesupainioti ir formulių.

Nuo trečios iki septintos klasės: ketveri metai tarp žodžio ir formulės

Bendrojoje matematikos programoje apskritimas pasirodo gerokai anksčiau nei jo formulės. Trečios klasės turinyje apibrėžiamos apskritimo, skritulio, jų centro, spindulio ir skersmens sąvokos, mokomasi skriestuvu nubrėžti apskritimą ir tyrinėjama, kaip gali būti išsidėstę du apskritimai arba apskritimas ir tiesė: jie gali susikirsti, liestis arba neturėti bendrų taškų. Skaičiuoti trečiokams dar nieko nereikia. Kas dar tais metais vyksta per matematikos pamokas, aprašėme tekste apie matematiką trečioje klasėje, o kaip trečiokui sekasi svarbiausios tų metų sritys, namuose galima pasitikrinti naudojantis 3 klasės self-check rinkinuku — tai diagnostinės užduotys su atsakymais.

Formulės ateina tik septintoje klasėje, po ketverių metų: 4–6 klasėse apskritimas, spindulys ir skersmuo atskirai nebenagrinėjami. Programoje ši vieta aprašyta kaip tyrinėjimas: nustatoma, kad apskritimo ilgio ir skersmens ilgio santykis apytiksliai lygus 3,14, ir taip įvedamas skaičius π. Tada aiškinamasi, kaip apskaičiuoti apskritimo ilgį ir skritulio plotą, kai žinomas spindulys, ir sprendžiami skritulio dalies ploto ir apskritimo lanko ilgio uždaviniai; kaip pavyzdį programa pateikia ketvirtadalį skritulio. Septintoje klasėje iš skritulio išauga ir ritinio bei kūgio paviršiaus plotai, o aštuntoje erdvės figūrų uždaviniai jau derinami su Pitagoro teorema. Metodinėse 2023 m. programos įgyvendinimo rekomendacijose apskritimo ilgio ir skritulio ploto formulės dar priskiriamos aštuntai klasei, tad net jei tema nagrinėjama aštuntoje, ji vis tiek lieka tame pačiame 7–8 klasių koncentre. Ko dar mokomasi septintoje klasėje ir kodėl tie metai daugeliui atrodo sunkesni, aptarėme tekste apie matematiką 7 klasėje.

Devintoje klasėje apskritimui skiriama gerokai daugiau vietos. Apibrėžiami centrinis ir įbrėžtinis kampai, liestinė, kirstinė, styga, skritulio išpjova ir nuopjova, o programa atskirai pabrėžia, kad apskritimo lankas matuojamas ne tik ilgio vienetais, bet ir laipsniais. Dešimtoje klasėje prisideda į trikampį įbrėžtas ir apie trikampį apibrėžtas apskritimas bei vienetinis apskritimas, kuris leidžia trigonometriją taikyti ne tik stačiojo trikampio smailiesiems, bet ir bukiesiems kampams. III gimnazijos klasėje išplėstinio kurso mokiniai mokosi ir apskritimo lygties koordinačių plokštumoje — ją aptarėme tekste apie analizinę geometriją.

Iš šio žemėlapio verta pasiimti vieną dalyką. Kai septintokas painioja spindulį su skersmeniu, jis klysta ne tiek septintos klasės formulėje, kiek trečios klasės sąvokoje, prie kurios programa tiesiogiai grįžta tik po ketverių metų. Todėl pagalba čia prasideda ne nuo naujų uždavinių, o nuo paprasto klausimo: kur šiame skritulyje spindulys, o kur skersmuo?

Kodėl π visada tas pats ir kaip jį pamatyti namuose

Skaičius π nėra susitarimas ar vadovėlio autorių išmonė — jį galima atrasti paprasčiausiai matuojant. Paimkite bet kokį apvalų daiktą: stiklinę, lėkštę ar puodą. Apjuoskite jį virvele, pažymėkite vietą, kur virvelės galai susitinka, ir išmatuokite ilgį. Tada padalykite jį iš daikto skersmens. Kad ir koks didelis ar mažas būtų daiktas, dalmuo išeis šiek tiek didesnis už tris. Pavyzdžiui, 8 cm skersmens stiklinę apjuosianti virvelė bus maždaug 25 cm ilgio, o 25 : 8 ≈ 3,1.

Bendroji programa ir numato, kad septintokai šį santykį nustatytų tyrinėdami, todėl tokiam bandymui virtuvėje verta skirti dešimt minučių. Vaikas, pats gavęs „tris su trupučiu“, formulės C = πd nebelaiko atsitiktine raidžių eilute: jis žino, iš kur ji atsirado, ir, jei pamirštų, galėtų ją atkurti.

Dešimtainė π išraiška niekada nesibaigia ir nesikartoja: 3,14159… Mokykloje paprastai užtenka 3,14, o kartais vartojama trupmena 22/7 = 3,142857… Ji turi ilgą istoriją: tai viršutinis rėžis, kurį III amžiuje prieš mūsų erą įrodė Archimedas, lygindamas apskritimą su į jį įbrėžtais ir apie jį apibrėžtais taisyklingaisiais 96-kampiais. Jis gavo, kad π yra tarp 223/71 ir 22/7, o 22/7 nuo tikrosios reikšmės skiriasi tik maždaug 0,04 procento. Kovo 14-oji, kurią amerikiečiai užrašo kaip 3/14, vadinama π diena, o 2019 m. UNESCO Generalinė konferencija ją paskelbė Tarptautine matematikos diena.

Spindulys ar skersmuo: klaida, kuri plotą padidina keturis kartus

Viena tipiškų šios temos klaidų yra ne pamiršta formulė, o netinkamas skaičius formulėje. Sąlygoje duotas skersmuo, o vaikas jį iš karto įrašo į S = πr², nors ten reikia spindulio.

Pažiūrėkime, kiek tai kainuoja. Tarkime, skritulio skersmuo lygus 10 cm. Tada spindulys lygus 5 cm, o plotas S = π · 5² = 25π ≈ 78,5 cm². Įrašius skersmenį vietoje spindulio, gaunama π · 10² = 100π ≈ 314,2 cm², t. y. lygiai keturis kartus daugiau. Skaičiuojant apskritimo ilgį, klaida mažesnė, bet atsakymą vis tiek padvigubina: teisingai C = π · 10 ≈ 31,4 cm, o į formulę 2πr įrašius skersmenį, gaunama 62,8 cm.

Keturis kartus, o ne du, dėl to, kad ploto formulėje spindulys keliamas kvadratu, o dvigubai didesnio skaičiaus kvadratas yra keturis kartus didesnis. Nuo šios klaidos apsaugo paprastas įprotis: prieš rašant formulę, užrašyti atskirą eilutę „r = …“. Jei sąlygoje duotas skersmuo, toje eilutėje atsiras dalyba iš dviejų, ir klaida nebeturės kur įsivelti. Tas pats įprotis pravers ir per egzaminą, nes pilnojo sprendimo uždaviniuose vertinama visa sprendimo eiga; kaip ją užrašyti, kad nenubyrėtų taškai, aptarėme tekste apie matematikos sprendimo užrašymą.

Kodėl plotas auga greičiau už ilgį

Kita painiava — tikėtis, kad skritulys, kurio spindulys dvigubai didesnis, turės dvigubai didesnį plotą. Taip nėra. Jei spindulys padidėja nuo 3 iki 6 cm, apskritimo ilgis padvigubėja (nuo 6π iki 12π cm), o skritulio plotas padidėja keturis kartus (nuo 9π iki 36π cm²).

Tai lengva pajusti prie šventinio stalo. Palyginkime vieną 24 cm skersmens tortą ir du po 16 cm. Didžiojo plotas lygus π · 12² = 144π ≈ 452,4 cm², o dviejų mažesniųjų kartu — 2 · π · 8² = 128π ≈ 402,1 cm². Vienas didelis tortas yra didesnis už du mažesnius, nors pagal skersmenų sumą (32 cm prieš 24 cm) atrodo priešingai. Tai ta pati taisyklė, kuri dešimtoje klasėje grįžta kaip panašiųjų figūrų plotų santykis: padidinus visus matmenis k kartų, plotas padidėja k² kartų.

Iš čia išplaukia ir vienas netikėtas atvejis, kuris gerai parodo matavimo vienetų prasmę. Kai spindulys lygus 2 cm, apskritimo ilgis yra 4π cm, o skritulio plotas — 4π cm². Skaičiai vienodi, tačiau vienas jų reiškia centimetrus, o kitas — kvadratinius centimetrus, todėl lyginti jų negalima. Atsakymo vienetas nėra formalumas: cm ar cm² iš karto parodo, ar suskaičiuota tai, ko klausta. Kodėl kvadratiniai vienetai kelia daugiau sunkumų nei paprasti, rašėme tekste apie matavimo vienetus, o apie tai, kaip vaikai painioja plotą su perimetru, — straipsnyje „Plotas ir perimetras“.

3,14 ar mygtukas π: kada atsakymai skiriasi

Mokslinis skaičiuotuvas π ekrane rodo kaip 3,141592654, o 3,14 turi tik tris skaitmenis. Apvalinant iki sveikųjų, skirtumas išryškėja retai, bet apvalinant iki dešimtųjų — dažnai: kai spindulys yra sveikasis skaičius nuo 1 iki 20 cm, iki dešimtųjų suapvalintas skritulio plotas su 3,14 ir su skaičiuotuvo π išeina skirtingas net 15 atvejų iš 20. Skritulio, kurio spindulys 12 cm, plotas su 3,14 lygus 452,16 cm², o su skaičiuotuvo π — 452,39 cm². Suapvalinus iki dešimtųjų, gaunama 452,2 ir 452,4 — du skirtingi to paties uždavinio atsakymai.

Todėl svarbiausia taisyklė paprasta: daryti taip, kaip parašyta sąlygoje. Viename užduoties pavyzdyje iš bendrosios programos įgyvendinimo rekomendacijų rašoma „Laikykite π = 3,14“, o 2026 m. PUPP ir brandos egzamino uždaviniuose, apie kuriuos rašome toliau, buvo prašoma atsakymą pateikti su π, t. y. π nekeisti apytiksle reikšme ir rašyti, pavyzdžiui, 144π. Kai nieko nenurodyta, saugiausia π reikšmę įrašyti tik paskutiniame žingsnyje ir suapvalinti vieną kartą, o ne kiekviename tarpiniame skaičiavime. Kodėl ankstyvas apvalinimas kainuoja taškus, paaiškinome tekste apie skaičių apvalinimą, o kaip su π elgiasi pats skaičiuotuvas, — tekste apie tai, kaip naudotis moksliniu skaičiuotuvu.

Stojant į gimnaziją, skaičiuotuvas gali ir nepadėti. Vilniaus licėjaus 2026 m. matematikos stojamojo egzamino programoje, be kita ko, įrašyta „skaičiuoti apskritimo ilgį ir skritulio plotą“, o leidžiamo skaičiuotuvo funkcijos apribotos sudėtimi, atimtimi, daugyba, dalyba, procentais ir kvadratine šaknimi. Mygtuko π tokiame skaičiuotuve nėra, todėl aštuntokas turi žinoti, kad π ≈ 3,14, arba mokėti palikti atsakymą su π. Kaip vyksta pats licėjaus egzaminas ir iš kokių dalių jis susideda, aprašėme tekste apie stojamuosius į Vilniaus licėjų.

Išpjova ir lankas: ta pati formulė, tik dalimis

Skritulio dalių ir lankų uždaviniai sprendžiami jau septintoje klasėje, o devintoje šios dalys gauna pavadinimus. Išpjova — tai skritulio dalis tarp dviejų spindulių, panaši į pyrago gabalą, o nuopjova — dalis, kurią nuo skritulio atkerta styga. Išpjovos plotui ir lanko ilgiui naujų formulių iš esmės nereikia: jei išpjovos kampas lygus α laipsnių, ji sudaro α/360 viso skritulio. Pavyzdžiui, 90 laipsnių išpjova yra ketvirtadalis skritulio, 60 laipsnių — šeštadalis, 120 laipsnių — trečdalis.

Antra šios temos naujiena ta, kad lanką galima nusakyti dvejopai — ilgiu arba laipsniais. Visas apskritimas — tai 360 laipsnių, todėl lanko ilgį ir jo didumą laipsniais sieja paprasta proporcija: lankas, kuris sudaro ketvirtadalį apskritimo ilgio, sudaro ir ketvirtadalį 360 laipsnių, t. y. 90°. Kuo remtis ieškant nežinomų kampų apskritime ir šalia jo, plačiau aptarėme tekste apie kampus matematikoje, o devintos klasės geometrijos vietą visame kurse — tekste apie matematiką 9 klasėje.

Kaip tema atrodė 2026 m. PUPP ir brandos egzamine

2026 m. gegužės 13 d. vykusiame matematikos PUPP apskritimas buvo net septynių uždavinių sąlygose, o už visus juos kartu buvo galima gauti 10 taškų iš 50, t. y. penktadalį visų užduoties taškų; sąlygos ir sprendimai paskelbti Nacionalinės švietimo agentūros užduoties aptarime. Keturiuose iš jų (7, 24, 25 ir 30) apskritimas buvo įbrėžtas į trikampį ar keturkampį arba apibrėžtas apie juos — tai dešimtos klasės tema. Kiti trys remiasi tuo, apie ką rašome šiame tekste. Dešimtajame uždavinyje reikėjo iš 72 laipsnių centrinio kampo rasti į tą patį lanką besiremiantį įbrėžtinį kampą ir lanko didumą: įbrėžtinis kampas yra dvigubai mažesnis už centrinį, taigi 36°, o lankas lygus centriniam kampui, taigi 72°.

Dvidešimt septintajame uždavinyje duota 60 laipsnių išpjova, kurios plotas lygus 13,5π, o du mažesni to paties centro apskritimai dalija jos spindulį į tris lygias dalis; reikėjo rasti dviejų nuspalvintų sričių plotų skirtumą. Šešiasdešimties laipsnių išpjova yra šeštadalis skritulio, todėl πR² : 6 = 13,5π, iš čia R² = 81 ir R = 9. Vadinasi, spinduliai lygūs 3, 6 ir 9, o jų išpjovų plotai — 1,5π, 6π ir 13,5π. Išorinės juostos plotas lygus 13,5π − 6π = 7,5π, vidinės išpjovos — 1,5π, o jų skirtumas — 6π.

Trisdešimt antrajame uždavinyje duotas apskritimas, kurio ilgis 24 cm, ir dvi stygos, atkertančios 6 cm ir 8 cm lankus; reikėjo rasti tarp stygų esantį įbrėžtinį kampą. Likęs lankas lygus 24 − 6 − 8 = 10 cm, t. y. 10/24 viso apskritimo, arba 150°, o į jį besiremiantis įbrėžtinis kampas yra dvigubai mažesnis — 75°. Šie trys uždaviniai kartu vertinti 4 taškais. PUPP užduoties apraše pasakyta, kad patikrinime vertinamos 9–10 klasėse įgytos žinios, tačiau 27-asis uždavinys rodo, kad be septintos klasės skritulio ploto formulės jų pritaikyti neįmanoma. Kiek taškų reikia patenkinamam įvertinimui, skaičiavome tekste apie PUPP vertinimą 2027 m.

Brandos egzamine skritulys dažnai slepiasi erdvės figūrose. 2026 m. birželio 5 d. vykusios išplėstinio kurso VBE antrosios dalies septintajame uždavinyje ritinio šoninio paviršiaus išklotinė buvo kvadratas, kurio plotas lygus 36π², ir reikėjo rasti pagrindo plotą, atsakymą pateikiant su π. Kvadrato kraštinė lygi 6π, o viena jo kraštinė yra pagrindo apskritimo ilgis: 2πr = 6π, taigi r = 3, o pagrindo plotas — 9π. Tai septintos klasės formulės abiturientų egzamine — be jų šio uždavinio neišspręsti. Kaip erdvinės figūros uždavinį paversti plokštumos uždaviniu, aprašėme tekste apie stereometriją.

Ką iš tikrųjų duoda formulių lapas

Per matematikos PUPP mokinys gauna išspausdintą formulių rinkinį — tai patikrinimo užduoties aprašo priedas. Iš skritulio formulių jame yra tik dvi: skritulio išpjovos lanko ilgio ir skritulio išpjovos ploto, abi su kampu α laipsniais. Atskirų formulių C = 2πr ir S = πr² ten nėra. Tačiau jos slypi išpjovos formulėse: įrašius α = 360°, išpjova tampa visu skrituliu, o formulės virsta viso skritulio ploto ir apskritimo ilgio formulėmis. Vaikui, kuris tai žino, pamiršta formulė nebėra katastrofa.

Štai kaip apskritimo ir skritulio formulės pasiskirsto 2026 m. patikrinimų formulių rinkiniuose:

Brandos egzamino rinkiniuose atsiranda ritinio, kūgio ir rutulio formulės, o skritulio išpjova lieka tik bendrojo kurso rinkinyje — išplėstinio kurso rinkinyje tokio punkto nebėra. Todėl išplėstinio kurso egzaminą laikantiems išpjovos ir lanko formules verta mokėti atmintinai. Visus egzaminų formulynus plačiau palyginome tekste „Egzaminų formulynai“.

Kaip namuose patikrinti, ar tema suprasta

Užtenka trijų klausimų, kuriems nereikia nei vadovėlio, nei skaičiuotuvo. Pirma, paprašykite parodyti, kur lėkštėje yra apskritimas, o kur skritulys, ir paaiškinti, kuris iš jų turi ilgį, o kuris — plotą. Antra, paklauskite, kas nutiks plotui, jei skritulio spindulys padvigubės. Teisingas atsakymas — „padidės keturis kartus“; atsakymas „padvigubės“ rodo, kad formulė išmokta be supratimo. Trečia, duokite uždavinį, kuriame žinomas skersmuo, ir pažiūrėkite, ar prieš formulę atsiranda eilutė „r = …“.

Jei visi trys atsakymai užtikrinti, toliau reikia nebe aiškinimo, o praktikos — uždavinių su įvairiais skaičiais ir įvairiomis situacijomis. Jei kuris nors klausimas stringa, verta grįžti ne prie formulės, o prie virvelės ir lėkštės: kol vaikas nemato, kodėl apskritimo ilgis yra truputį daugiau nei trys skersmenys, formulė lieka raidžių rinkiniu.

Kuo treniruotis: medžiaga pagal klasę

Septintos klasės kursą temomis padeda kartoti Vaidoto Mockaus 7 klasės matematikos kurso teminiai uždaviniai, parengti dviem analogiškais variantais A ir B. Tai patogu tikrinant, ar tema tikrai išmokta: jei pirmojo varianto išspręsti nepavyko, po kelių dienų išspręstas antrasis parodo, ar klaida buvo atsitiktinė. Stipresniems septintokams, kuriems neužtenka vien bazinių pratimų, skirtos matematikos užduotys 7 klasei „Stipresnis lygis“ su atsakymų failu.

Aštuntokų pavasarį laukia nacionalinis patikrinimas, o dalies ir stojamieji į gimnazijas. Visą 5–8 klasių kursą padeda susidėlioti Mockaus darbo sąsiuvinis „Pakartokime 5–8 klasės matematikos kursą ir pasirenkime 8 klasės NMPP“ — jame yra „dvylika 5–8 klasių matematikos kurso kartojimo užduočių, parengtų pagal atnaujintas bendrojo ugdymo programas“, o atsakymai pateikti knygos gale; daugiau tokios medžiagos rasite NMPP užduočių skiltyje. Ruošiantis stojamiesiems, pravers bandomasis egzaminas į Vilniaus licėjų, bandomasis egzaminas į Žirmūnų gimnaziją ir 9 klasės bandomųjų egzaminų rinkinys — šeši A, B ir C lygio egzaminai su detaliais sprendimais. Visi jie surinkti stojamųjų egzaminų skiltyje.

Dešimtokams skritulio, išpjovos ir lanko uždaviniai yra PUPP geometrijos dalis. Pavyzdžiui, 10 klasės matematikos pagrindų stiprinimo uždavinyne yra 287 uždaviniai, tarp jų geometrijos, plotų ir tūrių, o atskirame 185 puslapių faile — visi sprendimai žingsnis po žingsnio. Patikrinimo tipo užduotis pateikia Mockaus PUPP užduočių pavyzdžiai pagal atnaujintą programą, o visą kursą nuo penktos klasės padeda pakartoti 5–10 klasių kartojimo uždaviniai su atsakymais. Visa medžiaga dešimtokams surinkta PUPP matematikos skiltyje.

Vyresniųjų klasių mokiniams apskritimas ir skritulys grįžta ritinių, kūgių ir vienetinio apskritimo uždaviniuose. Vienuoliktokams, besimokantiems išplėstiniu kursu, skirta pasirengimo matematikos VBE pirmajai daliai medžiaga — teminiai uždaviniai pagal atnaujintą programą ir egzamino užduočių pavyzdžiai. Išplėstiniu kursu besimokantiems dvyliktokams skirta matematikos uždavinyno 12 klasei pirmoji dalis su 2700 uždavinių ir antroji dalis su 2500 uždavinių, visi su atsakymais. Kita brandos egzamino medžiaga surinkta matematikos VBE skiltyje.

Formulėms pasitikrinti kasdien tinka Mockaus matematikos formulių ir taisyklių rinkinys, kuriame šalia formulių pateikti ir jų taikymo pavyzdžiai, arba trumpesnė matematikos atmintinė. Šie leidiniai neatstoja supratimo, bet sutaupo laiko, kai reikia greitai pasitikrinti, ar formulėje turi būti spindulys, ar skersmuo.

Kada verta pasikviesti mokytoją

Jei vaikas formules moka, bet kaskart suklysta vis kitoje vietoje, verta pažiūrėti giliau. Gali būti, kad spraga slypi ne pačiame apskritime, o ankstesnėse temose — trupmenose, kėlime kvadratu ar proporcijose. Tokią vietą greičiausiai pastebi žmogus, matantis sprendimą iš arti. Matematikos korepetitorius per vieną ar dvi pamokas gali nustatyti, kur tiksliai stringa, o jei tinkamo mokytojo netoliese nėra, pamokos vyksta ir internetu. Parduotuvėje yra ir atskira vienos pamokos diagnostika: mokytojas patikrina pagrindines temas ir pasiūlo, ką verta kartoti toliau.

Trumpai

Apskritimas yra linija ir turi ilgį, skritulys yra sritis ir turi plotą. Ilgis skaičiuojamas pagal C = 2πr, plotas — pagal S = πr², o išpjovos plotas ir lanko ilgis tėra α/360 šių dydžių. Pagal bendrąją programą sąvokų mokomasi trečioje klasėje, formulių ir skritulio dalių uždavinių — septintoje, o išpjova, nuopjova ir lanko laipsninis matas apibrėžiami devintoje. Iš skritulio formulių PUPP lape yra tik išpjovos formulės, iš kurių viso skritulio formulės gaunamos įrašius 360°, o išplėstinio kurso VBE lape nėra ir jų. Taškai šioje temoje lengvai nubyra ne tik dėl pamirštos formulės, bet ir dėl skersmens vietoje spindulio, pamirštų kvadratinių centimetrų ir per anksti suapvalinto π — o visus tris dalykus namuose galima patikrinti per vieną vakarą.