Lyginė ir nelyginė funkcija: kaip nustatyti, kaip atrodo grafikas ir kur klystama per VBE

Funkcija vadinama lygine, jei pakeitus argumento ženklą jos reikšmė nepasikeičia: f(−x) = f(x). Nelyginė ji vadinama tada, kai pasikeičia tik reikšmės ženklas: f(−x) = −f(x). Abiem atvejais funkcijos apibrėžimo sritis turi būti simetriška nulio atžvilgiu. Lyginės funkcijos grafikas simetriškas Oy ašies atžvilgiu, nelyginės — koordinačių pradžios taško atžvilgiu, o dauguma funkcijų nėra nei lyginės, nei nelyginės.

Lyginės ir nelyginės funkcijos yra trečios gimnazijos klasės tema: matematikos bendroji programa jas numato abiem kursams — ir bendrajam, ir išplėstiniam. Apibrėžimą išmokti nesunku, tačiau egzamine jį reikia pritaikyti. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) 2026 m. spalį paskelbė egzamino statistines analizes. Jose matyti, kad 2025 m. gegužės 30 d. vykusioje matematikos VBE pirmojoje dalyje funkciją (cos x)³ nelygine pažymėjo 26,7 % išplėstinio kurso kandidatų. Bendrojo kurso uždavinyje, kuriame pagal pusę nelyginės funkcijos grafiko reikėjo rasti mažiausią jos reikšmę, teisingai atsakė tik 21,0 % kandidatų.

Šiame straipsnyje paaiškiname, kaip lyginumą nustatyti trimis žingsniais ir kaip jį pamatyti grafike, pateikiame pagrindinių funkcijų lentelę ir sumų, sandaugų bei sudėtinių funkcijų taisykles. Toliau aptariame tris 2025 m. VBE pirmosios dalies uždavinius, kuriuose lyginumas praverčia ieškant atsakymo, ir parodome, kur ši savybė vėliau padeda sutaupyti laiko.

Kas yra lyginė ir nelyginė funkcija

Tarkime, funkcija f apibrėžta aibėje, kuriai kartu su kiekvienu skaičiumi x priklauso ir jam priešingas skaičius −x. Funkcija f yra lyginė, jei su kiekvienu x iš apibrėžimo srities f(−x) = f(x). Ji yra nelyginė, jei su kiekvienu x iš apibrėžimo srities f(−x) = −f(x). Visuotinėje lietuvių enciklopedijoje pateikiami tokie pavyzdžiai: funkcijos x² + 3 ir cos x yra lyginės, o x³ + x ir sin x — nelyginės.

Pavadinimai kilę iš laipsninių funkcijų. Funkcijos y = x² ir y = x⁴ su lyginiu laipsnio rodikliu yra lyginės, nes (−x)² = x² ir (−x)⁴ = x⁴. Funkcijos y = x ir y = x³ su nelyginiu rodikliu yra nelyginės, nes (−x)³ = −x³. Iš to išplaukia patogi taisyklė daugianariams. Jei daugianaryje yra tik lyginiai x laipsniai (laisvasis narys taip pat tinka, nes jis nuo x ženklo nepriklauso), daugianaris yra lyginė funkcija. Jei yra tik nelyginiai x laipsniai ir laisvojo nario nėra, daugianaris nelyginis. Jei yra ir lyginių, ir nelyginių laipsnių, jis nėra nei lyginis, nei nelyginis.

Bendrojoje programoje atskirai įvardyta ir trečioji galimybė: funkcija gali būti nei lyginė, nei nelyginė. Tokių funkcijų yra daugiausia: tai, pavyzdžiui, y = x + 1, rodiklinė ar logaritminė funkcija. Abu apibrėžimus vienu metu tenkina tik funkcijos, tapačiai lygios nuliui: f(x) = 0, apibrėžta kurioje nors simetriškoje aibėje. Iš f(−x) = f(x) ir f(−x) = −f(x) gauname f(x) = −f(x), t. y. f(x) = 0.

Pirmiausia — apibrėžimo sritis

Apibrėžime yra sąlyga, kurią mokiniai dažnai praleidžia. Lygybė f(−x) = f(x) arba f(−x) = −f(x) turi galioti su visais x iš apibrėžimo srities, todėl kartu su x apibrėžimo sričiai turi priklausyti ir −x. Kitaip tariant, apibrėžimo sritis turi būti simetriška nulio atžvilgiu: tai gali būti visa skaičių tiesė, intervalas (−a; a) ar [−a; a] arba, pavyzdžiui, visi skaičiai, išskyrus 2 ir −2. Dėl tos pačios priežasties enciklopedijos apibrėžime funkcija iš karto nagrinėjama intervale (−a; a) arba visoje skaičių tiesėje.

Jei apibrėžimo sritis nesimetriška, nieko skaičiuoti nereikia: funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Kvadratinės šaknies funkcija y = √x apibrėžta tik su x ≥ 0, logaritminė funkcija — tik su x > 0, o funkcijos f(x) = x²/(x − 1) apibrėžimo sričiai priklauso −1, bet nepriklauso 1. Apibrėžimo sritį pamiršta ir mokinys, kuris funkciją f(x) = x², apibrėžtą tik intervale [−1; 2], pavadina lygine. Formulė ta pati kaip parabolės, tačiau su x = 2 funkcijos reikšmė yra, o su x = −2 jos nėra.

Kaip nustatyti, ar funkcija lyginė, ar nelyginė: trys žingsniai

Patikrinimas visada atliekamas ta pačia tvarka. Pirmiausia nustatoma apibrėžimo sritis ir įsitikinama, kad ji simetriška. Tada į formulę vietoj x įrašomas −x ir reiškinys suprastinamas. Galiausiai rezultatas palyginamas su f(x) ir su −f(x): jei jis sutampa su f(x), funkcija lyginė, jei su −f(x), nelyginė, o jei nesutampa nė su vienu iš jų, funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Įrašant −x, svarbiausia neužmiršti skliaustų. Dažna skaičiavimo klaida — (−x)² parašyti kaip −x². Skirtumas esminis: (−x)² = x², o −x² yra visai kitas reiškinys, todėl −x visada verta apskliausti, net jei atrodo, kad tai tik formalumas.

Atskiro dėmesio vertas tikrinimas skaičiais. Vienas skaičius gali paneigti lyginumą, bet negali jo įrodyti. Funkcijai f(x) = x² + x gauname f(1) = 2 ir f(−1) = 0. Kadangi f(−1) ≠ f(1) ir f(−1) ≠ −f(1), funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Tokio pagrindimo pakanka. Tačiau funkcijai f(x) = x³ − x gauname f(1) = f(−1) = 0, nors ji nėra lyginė: f(2) = 6, o f(−2) = −6. Iš tikrųjų ji nelyginė. Todėl lyginumui ar nelyginumui įrodyti reikia bendro skaičiavimo su raide x, o konkrečių skaičių užtenka tik tada, kai norima parodyti, kad kuri nors savybė negalioja.

Lyginė ir nelyginė funkcija grafike

Lygybę f(−x) = f(x) galima perskaityti kaip teiginį apie grafiką. Jei grafikui priklauso taškas (a; f(a)), tai jam priklauso ir taškas (−a; f(a)), t. y. taškas, simetriškas pirmajam Oy ašies atžvilgiu. Todėl lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas Oy ašies atžvilgiu ir užtenka žinoti tik jo dešiniąją pusę.

Nelyginės funkcijos atveju kartu su tašku (a; f(a)) grafikui priklauso taškas (−a; −f(a)). Šie du taškai yra simetriški koordinačių pradžios taško O atžvilgiu, nes O yra juos jungiančios atkarpos vidurio taškas. Todėl nelyginės funkcijos grafikas sutampa pats su savimi, pasukus jį 180° apie tašką O. Programoje taip pat nurodyta, kad mokomasi ir pagal grafiką nustatyti funkcijos lyginumą.

Iš čia gaunamas greitas patikrinimas, kurį verta įsiminti. Jei nelyginė funkcija apibrėžta, kai x = 0, tai f(0) = −f(0), vadinasi, f(0) = 0 ir jos grafikas eina per koordinačių pradžią. Funkcija y = x³ + 1 nelyginė būti negali vien todėl, kad jos grafikas kerta Oy ašį taške (0; 1). Atvirkštinis teiginys negalioja: per koordinačių pradžią eina ir lyginės funkcijos y = x² grafikas.

Grafikų simetrija nėra visiškai nauja tema. Simetrija tiesės atžvilgiu ir centrinė simetrija kaip transformacijos apibrėžiamos penktoje klasėje, o simetrijos ašį turinčios figūros nagrinėjamos dar pradinėse klasėse (plačiau rašėme straipsnyje apie simetriją). Su parabolės simetrijos ašimi mokiniai susipažįsta nagrinėdami kvadratinę funkciją ir parabolę. Lyginumas šias žinias tik susieja su funkcijos formule ir leidžia apie grafiko formą spręsti dar jo nenubraižius.

Pagrindinių funkcijų lyginumas

Kad nereikėtų kaskart skaičiuoti iš naujo, verta žinoti pagrindinių mokyklinių funkcijų lyginumą. Lentelėje surinktos dažniausiai pasitaikančios funkcijos. Iš jų, kaip iš plytų, sudaroma dauguma uždaviniuose pateikiamų funkcijų, o kaip tokių dalių lyginumas „susideda“, aptarsime kitame skyriuje.

Sinuso ir kosinuso lyginumą lengviausia pamatyti vienetiniame apskritime. Kampai α ir −α atidedami nuo teigiamosios Ox pusašės į priešingas puses, todėl juos atitinkantys apskritimo taškai yra simetriški Ox ašies atžvilgiu. Jų abscisės, t. y. kosinusai, sutampa, o ordinatės, t. y. sinusai, yra priešingos. Tangentas, kaip nelyginės ir lyginės funkcijų dalmuo, yra nelyginis. Todėl į dažną klausimą, ar tangentas yra lyginė funkcija, atsakymas neigiamas. Bendrajame kurse nagrinėjamos sinuso ir kosinuso funkcijos, o išplėstiniame — ir tangento.

Sumos, sandaugos ir sudėtinės funkcijos

Sudėtingesnės funkcijos dažnai nebūtina tikrinti nuo pradžių — užtenka žinoti, iš kokių dalių ji sudaryta. Lyginių funkcijų suma, skirtumas ir sandauga taip pat yra lyginės funkcijos. Nelyginių funkcijų suma ir skirtumas yra nelyginiai, bet sandauga jau lyginė, nes du minuso ženklai vienas kitą panaikina. Todėl x · sin x yra lyginė funkcija. Lyginės ir nelyginės funkcijų sandauga ir dalmuo yra nelyginiai, o suma nėra nei lyginė, nei nelyginė, išskyrus atvejį, kai vienas iš dėmenų visoje apibrėžimo srityje tapačiai lygus nuliui.

Išplėstinio kurso mokiniams aktualios ir sudėtinės funkcijos, kurių sąvoka programoje įvedama toje pačioje temoje. Joms galioja viena taisyklė, kurią verta išmokti tiksliai: pirmiausia žiūrima į vidinę funkciją. Jei vidinė funkcija lyginė, sudėtinė funkcija f(g(x)) visada lyginė, nes g(−x) = g(x) ir išorinė funkcija gauna tą patį argumentą, kad ir kokia ji būtų. Jei vidinė funkcija nelyginė, sprendžia išorinė: nelyginė išorinė funkcija duoda nelyginę, o lyginė — lyginę sudėtinę funkciją. Jei vidinė funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė, iš dalių nieko nuspręsti negalima — tada tikrinama tiesiogiai, apskaičiuojant f(g(−x)). Kėlimas laipsniu yra atskirasis šios taisyklės atvejis. Lyginė funkcija, pakelta bet kuriuo laipsniu, lieka lyginė, o nelyginės funkcijos nelyginis laipsnis yra nelyginė funkcija.

Ką parodė 2025 m. VBE: kodėl (cos x)³ nėra nelyginė

Šių taisyklių taikymą tikrino 2025 m. VBE pirmoji dalis. Išplėstinio kurso 25-ajame uždavinyje reikėjo iš penkių funkcijų pažymėti dvi nelygines: f(x) = ∛(sin x), g(x) = cos(sin x), h(x) = (cos x)³, k(x) = sin(cos x) ir m(x) = sin(sin x). Uždavinys vertintas 2 taškais ir priskirtas taikymo gebėjimų sričiai bei pagrindiniam pasiekimų lygiui.

Teisingi atsakymai yra f ir m. Abiejose vidinė funkcija sin x yra nelyginė, o išorinė funkcija — kubinė šaknis arba sinusas — taip pat nelyginė. Funkcijoje g vidinė funkcija nelyginė, bet išorinė, kosinusas, lyginė, todėl g lyginė. Funkcijoje k kosinusas yra viduje, todėl visa funkcija lyginė, nors jos formulė prasideda sinusu. Funkcija h(x) = (cos x)³ taip pat lyginė, nes trečiuoju laipsniu keliama lyginė funkcija: (cos(−x))³ = (cos x)³.

NŠA išplėstinio kurso statistinėje analizėje matyti, kaip pasiskirstė pasirinkimai (procentai skaičiuoti 13 172 kandidatams, laikiusiems abi egzamino dalis). Funkciją f(x) = ∛(sin x) pažymėjo 76,2 %, o m(x) = sin(sin x) — tik 59,8 % kandidatų, nors abiem tinka ta pati taisyklė: nelyginė išorinė funkcija nuo nelyginės vidinės. Iš klaidingų atsakymų h(x) = (cos x)³ pasirinko 26,7 %, k(x) = sin(cos x) — 18,2 %, o g(x) = cos(sin x) — 17,4 % kandidatų. Labiausiai klaidino funkcija h. Panašu, kad dalis kandidatų žiūrėjo į nelyginį rodiklį 3, o ne į tai, kas keliama laipsniu.

Kodėl lygtis x⁴ = 2⁴ turi du sprendinius

Lyginumas praverčia ir sprendžiant lygtis. Jei lyginė funkcija su x = a įgyja reikšmę c, tai tą pačią reikšmę ji įgyja ir su x = −a, todėl lygties f(x) = c sprendiniai, išskyrus galbūt nulį, eina poromis: a ir −a. Grafike tai matyti iš karto, nes tiesė y = c lyginės funkcijos grafiką kerta simetriškuose taškuose.

Tai iliustruoja 2025 m. VBE pirmosios dalies išplėstinio kurso 15-asis uždavinys, kuriame reikėjo nustatyti, kiek sprendinių turi lygtis x⁴ = 2⁴. Atsakymą „Lygtis turi tik du sprendinius“ (tai x = 2 ir x = −2) pasirinko 65,6 % kandidatų, o 30,3 % pažymėjo, kad sprendinys tik vienas. Tikėtina, kad dalis jų nepastebėjo neigiamo sprendinio, nors funkcija y = x⁴ lyginė, o antrasis sprendinys matyti iš pirmojo. Šis uždavinys priskirtas taikymo gebėjimų sričiai ir patenkinamam pasiekimų lygiui.

Nelyginei funkcijai galioja kita taisyklė: jei a yra lygties f(x) = c sprendinys, tai −a yra lygties f(x) = −c sprendinys. Pavyzdžiui, x = 2 yra lygties x³ = 8 sprendinys, todėl x = −2 yra lygties x³ = −8 sprendinys. Kad kitų sprendinių nėra, išplaukia ne iš nelyginumo, o iš to, kad funkcija y = x³ visoje skaičių tiesėje didėja: nelyginė funkcija y = sin x reikšmę 1/2 įgyja be galo daug kartų. Išplėstinio kurso programoje laipsninės funkcijos nagrinėjamos aptariant būtent lyginio ir nelyginio laipsnio funkcijų savybes ir jų grafikų eskizus.

Trigonometrija: kodėl kosinuso lygties formulėje yra ±

Trigonometrinių funkcijų lyginumo prireikia nuolat, todėl verta žinoti, ką egzamino formulių rinkiniai pateikia ir ko juose nėra. Išplėstinio kurso rinkinyje pateiktos dvigubo kampo, sumos ir skirtumo formulės, bendrojo kurso rinkinyje — pagrindinė trigonometrinė tapatybė, tangento apibrėžimas ir lygybė 1 + tg²α = 1/cos²α; abiejuose yra reikšmių lentelė ir paprasčiausių lygčių sprendinių formulės. Lygybių sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α ir tg(−α) = −tg α nėra nė viename, nors programoje jos įrodomos ir mokomasi jas taikyti temoje „Sinusas, kosinusas“ (išplėstiniame kurse — „Sinusas, kosinusas ir tangentas“). Todėl jas reikia atsiminti arba mokėti greitai atkurti iš vienetinio apskritimo. Pavyzdžiui, sin(−30°) = −1/2, cos(−60°) = 1/2, o tg(−45°) = −1. Išplėstinio kurso mokinys jas galėtų išvesti ir iš rinkinyje esančių skirtumo formulių, įrašęs α = 0, tačiau per egzaminą tai tik gaišintų laiką.

Lyginumas paaiškina ir rinkinyje pateiktą lygties cos x = a sprendinių formulę x = ± arccos a + 360° · k (išplėstinio kurso rinkinyje narys 360° · k užrašytas kaip 2πk). Ženklas ± atsiranda dėl kosinuso lyginumo: jei b yra lygties sprendinys, tai ir −b yra sprendinys, nes cos(−b) = cos b. Pavyzdžiui, lygties cos x = 1/2 sprendiniai yra x = ±60° + 360° · k. Iš sinuso nelyginumo išplaukia ir lygybė arcsin(−a) = −arcsin a, o arkkosinusas tokios savybės neturi: arccos(−a) = 180° − arccos a. Tokias lygtis plačiau aptarėme straipsnyje apie trigonometrines lygtis, o visas pagrindines tapatybes surinkome trigonometrinių formulių apžvalgoje.

Kaip užbaigti grafiką, kai nubraižyta tik jo pusė

Kai žinoma, kad funkcija lyginė arba nelyginė, užtenka pusės grafiko: antrąją pusę galima nubraižyti pačiam. Lyginės funkcijos atveju kiekvieną tašką (x; y) atitinka Oy ašies atžvilgiu simetriškas taškas (−x; y). Nelyginės funkcijos atveju taškas (x; y) keičiamas tašku (−x; −y), t. y. grafikas pasukamas 180° apie koordinačių pradžią.

2025 m. VBE pirmosios dalies bendrojo kurso 30-asis uždavinys buvo būtent apie tai. Funkcija y = f(x) yra nelyginė, jos apibrėžimo sritis — [−5; 5], o paveiksle pavaizduota tik grafiko dalis, kai x ∈ [0; 5]: laužtė nuo taško (0; 0) kyla iki taško (2; 3) ir leidžiasi iki taško (5; −1). Reikėjo nustatyti mažiausią funkcijos reikšmę visoje apibrėžimo srityje, pasirenkant vieną iš atsakymų: −5, −3, −1 arba 0.

Nubraižytoje dalyje mažiausia reikšmė yra −1, tačiau nelyginumas prideda kairiąją grafiko pusę. Taškas (2; 3) virsta tašku (−2; −3), o taškas (5; −1) — tašku (−5; 1). Todėl mažiausia funkcijos reikšmė intervale [−5; 5] yra −3, o didžiausia — 3. Pasak NŠA bendrojo kurso statistinės analizės, teisingai atsakė tik 21,0 % iš 6 597 kandidatų, laikiusių abi egzamino dalis. Dažniausiai pasirinktas atsakymas −1 (40,5 %) yra tik nubraižytos dalies mažiausia reikšmė. Atsakymą −5 pasirinko 25,2 %, o 0 — 13,2 % kandidatų. Uždavinys priskirtas aukštesniųjų mąstymo gebėjimų sričiai ir aukštesniajam pasiekimų lygiui.

Iš šio uždavinio galima padaryti bendrą išvadą. Jei sąlygoje parašyta, kad funkcija lyginė ar nelyginė, o paveiksle matyti tik dalis grafiko, ši informacija pateikta ne šiaip sau. Prieš atsakant į klausimą apie didžiausią ar mažiausią reikšmę arba sprendinių skaičių, trūkstamą grafiko dalį verta nusibraižyti — tai neužtrunka ilgai.

Kur lyginumas vėliau padeda sutaupyti laiko

Lyginumas — ne tik atskiras egzamino klausimas, bet ir būdas dirbti greičiau. Nagrinėjant lyginę ar nelyginę funkciją, užtenka ją ištirti su x ≥ 0, o kairiąją grafiko dalį nubraižyti pagal simetriją. Lyginės funkcijos išvestinė yra nelyginė funkcija, o nelyginės — lyginė: pavyzdžiui, (x⁴ − 2x²)′ = 4x³ − 4x. Todėl lyginės funkcijos kritiniai taškai išsidėsto simetriškai, o jei tokia funkcija diferencijuojama taške 0, jos išvestinė ten lygi nuliui. Išvestinių taikymą plačiau aptarėme straipsnyje apie išvestines.

Išplėstinio kurso mokiniams lyginumas sutrumpina ir apibrėžtinio integralo skaičiavimą simetriniame intervale. Nelyginės funkcijos integralas nuo −a iki a lygus nuliui, nes kairiojoje ir dešiniojoje pusėse esančios dalys skiriasi tik ženklu, o lyginės funkcijos integralas du kartus didesnis už integralą nuo 0 iki a. Pavyzdžiui, funkcijos x³ − 4x integralas nuo −2 iki 2 lygus 0 ir tam nereikia ieškoti pirmykštės funkcijos. Rašant antrosios dalies sprendimą, šią savybę verta trumpai pagrįsti, nes jos nėra nei programoje išvardytose integralo savybėse, nei formulių rinkinyje. Integralus plačiau aptarėme straipsnyje „Kaip suprasti integralus“.

Kada mokomasi ir kiek tam skiriama laiko

Pagal matematikos bendrąją programą lyginės, nelyginės, „nei lyginės, nei nelyginės“ ir periodinės funkcijos sąvokos apibrėžiamos trečioje gimnazijos klasėje abiem kursams. Programoje taip pat parašyta, kad nagrinėjant pavyzdžius išsiaiškinama, kaip šiuos apibrėžimus taikyti sprendžiant uždavinius ir kaip pagal grafiką nustatyti funkcijos lyginumą ir periodiškumą. Lyginumą galima tirti bet kurios funkcijos atveju, todėl jį verta turėti omenyje ir mokantis atskirų funkcijų — apie funkcijas apskritai rašėme atskirai.

Kursai skiriasi tuo, kas mokoma kartu su šia tema. Išplėstiniame kurse įvedama sudėtinės funkcijos sąvoka ir nagrinėjama daugiau grafikų transformacijų, tarp jų y = f(−x) ir y = |f(x)|. Pirmoji su lyginumu susijusi tiesiogiai: funkcija yra lyginė tada ir tik tada, kai transformacija y = f(−x) jos grafiko nepakeičia. Be to, išplėstinio kurso programoje lyginumas minimas dar kartą — trigonometrinių funkcijų temoje, kur mokomasi nustatyti funkcijos lyginumą ir mažiausiąjį teigiamąjį periodą. Bendrojo kurso transformacijų sąraše y = f(−x) nėra, todėl šiame kurse lyginumą tenka suprasti remiantis formule ir simetrija. Kuo kursai skiriasi stojant, aptarėme straipsnyje apie matematikos A ir B lygius.

NŠA ilgalaikių planų pavyzdžiuose (2026 m. spalio redakcija) visai temai „Funkcijos samprata“ siūloma skirti apie 10 pamokų bendrajame ir 6 pamokas išplėstiniame kurse. Į šį bloką, be lyginumo, įeina periodiškumas ir grafikų transformacijos, o išplėstiniame kurse — ir sudėtinės funkcijos bei grafinis lygčių ir nelygybių sprendimas. Lyginumas grįžta ir trigonometrijoje: temai „Sinusas, kosinusas“ (išplėstiniame kurse — „Sinusas, kosinusas ir tangentas“), kurioje įrodomos sinuso ir kosinuso lyginumo lygybės, planuose skiriama atitinkamai 16 ir 18 pamokų. Prie jos rekomenduojama NŠA vaizdo pamoka apie sinuso, kosinuso ir tangento periodiškumą ir lyginumą; bendrojo kurso plane šalia nuorodos pažymėta „tangento nenagrinėti“.

Brandos egzaminas dabar laikomas dviem dalimis: pirmoji — trečioje gimnazijos klasėje, antroji — ketvirtoje. Lyginumas yra trečios klasės tema, todėl pirmiausia jis tikrinamas pirmojoje dalyje. 2025 m. pirmojoje dalyje jam skirtų uždavinių buvo abiejų kursų užduotyse, o 2026 m. antrosios dalies užduotyse apie lyginumą atskirai neklausta. Pirmosios dalies sandarą plačiau aptarėme straipsnyje apie matematikos VBE pirmąją dalį.

Kaip pasiruošti ir kur rasti uždavinių

Lyginumą galima išmokti greitai, tačiau sunkiau jį pastebėti uždavinyje, kuriame apie jį tiesiogiai neklausiama: lygtyje, grafiko užduotyje ar sudėtinėje funkcijoje. Todėl naudingiau spręsti ne atskirus pratimus „nustatykite, ar funkcija lyginė“, o visos trečios gimnazijos klasės kurso uždavinius egzamino forma ir kiekvieną kartą savęs paklausti, ar funkcijos simetrija nepadėtų rasti atsakymo greičiau.

Išplėstinio kurso mokiniams tam skirta Vaidoto Mockaus „Pasirengimo matematikos VBE 1 daliai medžiaga“. Pirmoje knygos dalyje pateikti teminiai uždaviniai pagal atnaujintą programą, antroje — egzamino užduočių pavyzdžiai su vieta sprendimams, o visų uždavinių atsakymai — knygos gale. Baigus teminį kartojimą, patogu pereiti prie to paties autoriaus „Matematikos VBE 1 dalies užduočių pavyzdžių“, sudarytų pagal patvirtintą pirmosios dalies struktūrą.

Ketvirtoje klasėje funkcijų savybių prireiks išvestinių ir grafikų, o išplėstiniame kurse — ir integralų uždaviniuose. Antrajai daliai skirti to paties autoriaus „Matematikos VBE 2 dalies užduočių pavyzdžiai“ — 20 užduočių pagal atnaujintą programą ir naują egzamino struktūrą. Daugiausia treniruotės uždavinių siūlo 2026 m. „Matematikos uždavinynas 12 klasei. 1 dalis“ (išplėstinis kursas) su 2700 uždavinių ir atsakymais, o formules ir taisykles patogu turėti vienoje vietoje — matematikos atmintinėje. Visus šiuos leidinius rasite matematikos VBE skiltyje, o visas Vaidoto Mockaus knygas — Mockaus knygų puslapyje.

Jei mokinys vis dar painioja funkcijų savybes, ypač prieš pirmąją VBE dalį, padeda matematikos korepetitorius 11 klasei. Per pamoką galima kartu išspręsti kelis egzamino tipo uždavinius ir iš karto pamatyti, kur mokinys skuba: tikrina tik vieną skaičių, pamiršta apibrėžimo sritį ar neužbaigia grafiko. Visus mokytojus rasite matematikos korepetitorių puslapyje, kur galima rinktis, ar mokytis gyvai, ar nuotoliu.

Trumpai

Funkcija yra lyginė, jei f(−x) = f(x), ir nelyginė, jei f(−x) = −f(x) su kiekvienu x iš apibrėžimo srities, kuri turi būti simetriška nulio atžvilgiu. Lyginės funkcijos grafikas simetriškas Oy ašies atžvilgiu, o nelyginės — koordinačių pradžios taško atžvilgiu. Kosinusas yra lyginė funkcija, sinusas ir tangentas — nelyginės, tačiau lygybių sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α ir tg(−α) = −tg α VBE formulių rinkiniuose nėra. Sudėtinės funkcijos lyginumą pirmiausia tikriname pagal vidinę funkciją: jei ji lyginė, lyginė ir visa funkcija, todėl (cos x)³ ir sin(cos x) yra lyginės. 2025 m. VBE pirmojoje dalyje 30,3 % išplėstinio kurso kandidatų pažymėjo, kad lygtis x⁴ = 2⁴ turi tik vieną sprendinį, o 40,5 % bendrojo kurso kandidatų kaip mažiausią nelyginės funkcijos reikšmę pasirinko −1 — tik nubraižytos grafiko dalies mažiausią reikšmę.