Simetrija matematikoje — tai figūros savybė sutapti su savimi po tam tikros transformacijos. Mokykloje svarbiausios dvi jos rūšys. Ašinė simetrija, arba simetrija tiesės atžvilgiu, — tai veidrodinis atspindys: kiekvienas taškas atsiduria kitoje tiesės pusėje, tokiu pat atstumu nuo jos. Jei figūra po tokio atspindžio sutampa su savimi (ją sulenkus per tą tiesę, abi pusės sutampa), ši tiesė vadinama figūros simetrijos ašimi. Centrinė simetrija, arba simetrija taško atžvilgiu, — tai posūkis 180° kampu apie tašką. Jei figūra po tokio posūkio sutampa su savimi, tas taškas vadinamas jos simetrijos centru. Kvadratas turi keturias simetrijos ašis, stačiakampis (ne kvadratas) — dvi, lygiakraštis trikampis — tris, o apskritimas — be galo daug.
Šiame straipsnyje paaiškiname, kaip atpažinti ir nubraižyti simetriškas figūras, kiek simetrijos ašių turi dažniausiai sutinkamos figūros ir kada figūra turi simetrijos centrą. Taip pat parodome, ko apie simetriją mokomasi kiekvienoje klasėje ir kokių simetrijos uždavinių būna per nacionalinius mokinių pasiekimų patikrinimus (NMPP). Atskirai aptariame pakeitimą, apie kurį verta žinoti ir tėvams: nuo 2026 m. rugsėjo 1 d. galiojančioje pakoreguotoje matematikos bendrojoje programoje penktos klasės transformacijų tema susiaurinta iki ašinės ir centrinės simetrijos, o šeštos ir septintos klasės turinyje transformacijų nebeliko.
Programos, ilgalaikių planų ir NMPP faktai patikrinti pirminiuose šaltiniuose: matematikos bendrojoje programoje, Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) leidiniuose ir ilgalaikių planų pavyzdžiuose, taip pat 2023–2026 m. NMPP užduotyse.
Kas yra simetrijos ašis
Pradinėse klasėse simetrijos ašis aiškinama lenkiant figūrą. NŠA leidinyje „1–4 klasių Matematikos bendroji programa. Sąvokos, žymenys, formulės“ pateikta tokia samprata: „Figūros simetrijos ašis – tai tiesė, per kurią sulenkus figūrą, abiejose tiesės pusėse esančios figūros dalys sutampa.“ Figūra, turinti bent vieną simetrijos ašį, vadinama simetriška. Lygiašonis trikampis, širdelė ar raidė A simetrijos ašį turi, o raidė R ar batas — ne.
Tą pačią savybę galima patikrinti veidrodėliu. Jei veidrodėlį pastatysime statmenai lapui ant tiesės, kuri, mūsų manymu, yra simetrijos ašis, atspindys turi tiksliai papildyti matomą figūros pusę. Jei atspindys su kita figūros puse nesutampa, ši tiesė nėra simetrijos ašis.
Braižant simetrišką figūrą, svarbi viena taisyklė: kiekvienas taškas ir jo atvaizdas yra vienoje tiesėje, statmenoje simetrijos ašiai, ir vienodu atstumu nuo ašies, tik priešingose jos pusėse. Kitaip tariant, simetrijos ašis yra atkarpos, jungiančios tašką su jo atvaizdu, vidurio statmuo. Languotame popieriuje tai labai paprasta: jei taškas yra trimis langeliais į kairę nuo vertikalios ašies, jo atvaizdas bus trimis langeliais į dešinę, toje pačioje eilutėje. Atspindint daugiakampį, užtenka atspindėti jo viršūnes ir jų atvaizdus sujungti ta pačia tvarka.
Figūros simetrijos ašis ir simetrija tiesės atžvilgiu — ne tas pats
Trečios klasės sąvokų sąraše NŠA atskirai įspėja, kad reikia skirti dvi sąvokas — figūros simetrijos ašį ir simetriją tiesės atžvilgiu. Pirmoji apibūdina vieną figūrą, kuri pati yra simetriška, pavyzdžiui, lygiašonį trikampį. Antroji gali sieti dvi figūras, kurių viena yra kitos veidrodinis atvaizdas. Kiekviena tokia figūra atskirai gali visai neturėti simetrijos ašies, tačiau jos yra simetriškos viena kitai tiesės atžvilgiu. Raidė R simetrijos ašies neturi, bet R ir jos veidrodinis atvaizdas yra simetriški vienas kitam.
Šis skirtumas atrodo smulkus, tačiau patikrinimuose jis gerai matyti: 2023–2025 m. NMPP užduotyse ketvirtokų klausta apie vieną figūrą — kuri simetriška arba kuri turi mažiausiai simetrijos ašių, — o aštuntokų — kaip atrodo duotosios figūros atvaizdas tiesės atžvilgiu. Mokinys, kuris simetrišką figūrą supranta tik kaip „vienodą iš abiejų pusių“, į pirmąjį klausimą gali atsakyti teisingai, o antrajame lengvai suklysti: vietoj atspindžio nupiešti tą pačią figūrą, tik paslinktą į kitą tiesės pusę. Paslinkta figūra atrodo panaši, tačiau ji ne atspindėta, o lygiagrečiai perkelta. Jei pati figūra neturi simetrijos ašies, lygiagrečios tiesei, kurios atžvilgiu ją reikia atspindėti, taip gautas atvaizdas bus neteisingas.
Kiek simetrijos ašių turi figūros
Daug klausimų apie simetriją prasideda žodžiais „kiek simetrijos ašių turi…“. Atsakymus surašėme į lentelę, o svarbiausias figūras pavaizdavome paveiksle. Lentelėje taip pat nurodyta, ar figūra turi simetrijos centrą, apie kurį plačiau kalbėsime kitame skyriuje.
| Figūra | Ašių skaičius | Kur eina ašys | Simetrijos centras |
|---|---|---|---|
| Įvairiakraštis trikampis | 0 | — | Nėra |
| Lygiašonis trikampis (ne lygiakraštis) | 1 | Per viršūnę tarp lygių kraštinių ir pagrindo vidurio tašką | Nėra |
| Lygiakraštis trikampis | 3 | Per kiekvieną viršūnę ir priešingos kraštinės vidurio tašką | Nėra |
| Stačiakampis (ne kvadratas) | 2 | Per priešingų kraštinių vidurio taškus | Yra — įstrižainių susikirtimo taškas |
| Rombas (ne kvadratas) | 2 | Išilgai įstrižainių | Yra — įstrižainių susikirtimo taškas |
| Kvadratas | 4 | Dvi per priešingų kraštinių vidurio taškus, dvi išilgai įstrižainių | Yra — įstrižainių susikirtimo taškas |
| Lygiagretainis (ne stačiakampis ir ne rombas) | 0 | — | Yra — įstrižainių susikirtimo taškas |
| Lygiašonė trapecija | 1 | Per abiejų pagrindų vidurio taškus | Nėra |
| Taisyklingasis penkiakampis | 5 | Per kiekvieną viršūnę ir priešingos kraštinės vidurio tašką | Nėra |
| Taisyklingasis šešiakampis | 6 | Trys per priešingas viršūnes, trys per priešingų kraštinių vidurio taškus | Yra — centras |
| Apskritimas, skritulys | Be galo daug | Bet kuri tiesė, einanti per centrą | Yra — centras |
| Atkarpa | 2 | Vidurio statmuo ir tiesė, kurioje yra atkarpa | Yra — vidurio taškas |
Iš lentelės matyti keli dėsningumai. Taisyklingasis daugiakampis turi tiek simetrijos ašių, kiek turi kraštinių: lygiakraštis trikampis — tris, kvadratas — keturias, taisyklingasis penkiakampis — penkias. Simetrijos centrą jis turi tik tada, kai kraštinių skaičius lyginis, todėl kvadratas ir taisyklingasis šešiakampis jį turi, o lygiakraštis trikampis ir taisyklingasis penkiakampis — ne. Apskritimas turi be galo daug simetrijos ašių, nes, sulenkus jį per bet kurią tiesę, einančią per centrą, abi pusės sutampa. Ir dar viena taisyklė: jei figūra turi dvi viena kitai statmenas simetrijos ašis, ji būtinai turi ir simetrijos centrą — tų ašių susikirtimo tašką.
Tipinė klaida — stačiakampio įstrižaines laikyti simetrijos ašimis. Jei stačiakampį popieriaus lapą sulenksime per įstrižainę, pusės nesutaps: kampai išlįs į šonus. Tik rombo (taip pat ir kvadrato, kuris yra ypatingas rombas) abi įstrižainės yra simetrijos ašys. Lygiagretainis, kuris nėra nei stačiakampis, nei rombas, neturi nė vienos simetrijos ašies, nors simetrijos centrą turi. Šių figūrų savybes plačiau aptarėme straipsnyje apie keturkampius, o trikampių rūšis — straipsnyje apie trikampius.
Kaip apie tai klausiama per patikrinimą, rodo 2023 m. ketvirtokų NMPP II srauto uždavinys: iš keturių figūrų — trikampio, kvadrato, stačiakampio ir apskritimo — reikėjo pažymėti tą, kuri turi mažiausiai simetrijos ašių. Teisingas atsakymas — lygiašonis trikampis su viena ašimi, nes kvadratas jų turi keturias, stačiakampis — dvi, o apskritimas — be galo daug.
Centrinė simetrija ir simetrijos centras
Centrinę simetriją nusako vienas taškas — jos centras. Taško A atvaizdas taško O atžvilgiu yra toks taškas A′, kad O būtų atkarpos AA′ vidurio taškas. Taigi taškas ir jo atvaizdas yra vienoje tiesėje su centru, vienodu atstumu nuo jo, tik priešingose pusėse. Figūra turi simetrijos centrą, jei sutampa su savo atvaizdu kurio nors taško atžvilgiu. Paprasčiausias patikrinimas — pasukti figūrą 180° kampu apie tariamą centrą, t. y. apsukti ją aukštyn kojomis, neverčiant į kitą pusę. Jei figūra atrodo lygiai taip pat, simetrijos centrą ji turi.
Mokykloje nagrinėjamos dvi simetrijos rūšys, tačiau jų yra ir daugiau. Visuotinėje lietuvių enciklopedijoje paaiškinta, kad plokščia figūra gali turėti sukimo simetriją: ji sutampa su savimi, pasukta apie tam tikrą tašką 360°/n kampu. Taisyklingasis šešiakampis sutampa su savimi, pasuktas 60° kampu, o apskritimas — pasuktas bet kokiu kampu. Centrinė simetrija yra atskirasis sukimo simetrijos atvejis, kai figūra pasukama 180° kampu. Mokyklinėje programoje iš posūkių apibrėžiama tik ji, o posūkį kitais kampais, pavyzdžiui, stačiuoju, ketvirtokai mokosi tik atpažinti.
Centrinę simetriją turi lygiagretainis, stačiakampis, rombas, kvadratas ir apskritimas: keturkampių simetrijos centras yra įstrižainių susikirtimo taškas, o apskritimo — jo centras. Iš didžiųjų spausdintinių raidžių simetrijos centrą turi H, I, N, O, S, X ir Z, nors N, S ir Z neturi nė vienos simetrijos ašies. Tai gerai parodo, kad ašinė ir centrinė simetrija — skirtingos savybės: figūra gali turėti vieną be kitos, abi iš karto arba nė vienos. O lygiakraštis trikampis, nors atrodo labai taisyklingas, simetrijos centro neturi: pasuktas 180° kampu, jis atsuka viršūnę žemyn.
Simetrija koordinačių plokštumoje
Koordinačių plokštumoje simetriškų taškų koordinates galima užrašyti ir be brėžinio. Taško A(3; 2) atvaizdas x ašies atžvilgiu yra taškas (3; −2): abscisė nesikeičia, o ordinatė pakeičia ženklą. Atvaizdas y ašies atžvilgiu yra taškas (−3; 2), nes ženklą pakeičia abscisė. Atvaizdas koordinačių pradžios taško atžvilgiu yra taškas (−3; −2): ženklą pakeičia abi koordinatės. Šias taisykles patogu pasitikrinti brėžiniu: atkarpa, jungianti tašką su jo atvaizdu, turi būti statmena ašiai ir ašies dalijama pusiau, o centrinės simetrijos atveju — eiti per koordinačių pradžios tašką ir jo būti dalijama pusiau.
Kaip žymėti taškus koordinačių plokštumoje, aptarėme straipsnyje apie koordinačių plokštumą. Gimnazijoje šios taisyklės praverčia nagrinėjant funkcijas. Devintoje (I gimnazijos) klasėje mokomasi kvadratinės funkcijos y = ax² + bx + c (a ≠ 0), o jos grafikas, parabolė, turi vertikalią simetrijos ašį x = −b/(2a), apie kurią rašėme straipsnyje apie kvadratinę funkciją ir parabolę. Trečioje gimnazijos klasėje abiejuose kursuose apibrėžiamos lyginės ir nelyginės funkcijos: lyginės funkcijos grafikas simetriškas y ašies atžvilgiu (pavyzdžiui, y = x²), o nelyginės — koordinačių pradžios taško atžvilgiu (pavyzdžiui, y = x³). Tais pačiais metais nagrinėjamos ir funkcijų grafikų transformacijos: grafikas y = −f(x) yra grafiko y = f(x) atspindys x ašies atžvilgiu, o išplėstiniame kurse — ir grafikas y = f(−x), jo atspindys y ašies atžvilgiu. Kaip apskritai suprasti funkcijas, aiškinome straipsnyje apie funkcijas.
Ko mokomasi kiekvienoje klasėje
Matematikos bendrojoje programoje simetrija daugiausia priskirta temai „Konstravimas, transformacijos“, o antroje klasėje ji minima ir prie plokštumos figūrų: daugiakampiai rūšiuojami ir pagal simetrijos ašių skaičių, aiškinamasi, kad taisyklingieji daugiakampiai turi simetrijos ašis. Lentelėje — kaip tai atrodo pagal dabar galiojančią programos redakciją.
| Klasė | Ko mokomasi | Kaip tai atrodo užduotyse |
|---|---|---|
| 1 klasė | Objektų vieta ir judėjimas, pasisukimas kairėn ar dešinėn, pagal laikrodžio rodyklę ar prieš ją | Rodyklėmis schemoje parodomas kelias iki nurodyto objekto |
| 2 klasė | Figūros simetrijos ašis, simetriška figūra; ašis vertikali arba horizontali | Užbaigiamas simetriškas piešinys languotame ar taškuotame popieriuje, aiškinama, kodėl figūra simetriška ar ne |
| 3 klasė | Figūros, simetriškos viena kitai tiesės atžvilgiu; lygiagretusis postūmis | Lenkiamas popierius, braižomas figūros atvaizdas, kuriami ornamentai, atpažįstamas postūmis per kelis langelius |
| 4 klasė | Objekto padėtis nusakoma dviem skaičiais; posūkis apie tašką | Nurodomas langelis žaidimo lentoje, kuriami ornamentai, atpažįstama, kad objektas pasuktas stačiuoju kampu |
| 5 klasė | Apibrėžiamos dvi transformacijos: simetrija tiesės atžvilgiu (atspindys) ir centrinė simetrija | Programa nurodo tik apibrėžti abi simetrijas; kaip jos praktikuojamos, nebedetalizuoja |
| 6 klasė | Transformacijų temų nuo 2026 m. nebėra; mokomasi braižyti skriestuvu ir liniuote | Lygių trikampių braižymas, trikampių lygumo požymiai |
| 7 klasė | Transformacijų temų nuo 2026 m. nebėra; mokomasi braižymo | Atkarpos vidurio taškas, statmuo, pusiaukampinė, aukštinės |
| 8 klasė | Vektoriai (temoje „Transformacijos“); įrodymų pavyzdys — teorema apie taško atžvilgiu simetriškų tiesių lygiagretumą | Lygūs ir priešingi vektoriai, vektorių suma ir skirtumas |
| 9 (I gimnazijos) klasė | Panašiosios figūros; kvadratinė funkcija ir jos grafikas | Panašumo koeficientas, parabolės viršūnė ir simetrijos ašis |
| 10 (II gimnazijos) klasė | Duomenų rinkiniai, pavaizduoti histogramomis | Aptariama, ar histograma simetriška, ar asimetriška |
| III gimnazijos klasė | Lyginės ir nelyginės funkcijos, funkcijų grafikų transformacijos | Grafiko simetrija y ašies arba koordinačių pradžios taško atžvilgiu |
| IV gimnazijos klasė (išplėstinis kursas) | Normalusis skirstinys | Nurodoma varpo formos kreivės simetrijos ašis |
Lentelėje matyti, kad tikroji simetrijos „mokykla“ yra pradinės klasės ir penkta klasė. Antroje klasėje NŠA ilgalaikio plano pavyzdyje simetriškoms figūroms skirtos penkios pamokos, o dar dvi gali būti skiriamos iš papildomų valandų. Ketvirtoje klasėje ornamentams ir posūkiui apie tašką atpažinti skirta po dvi pamokas, o penktoje klasėje temai „Konstravimas, transformacijos“ skirtos penkios. Tai tik pavyzdžiai: mokytojas savo ilgalaikį planą sudaro pats, todėl konkrečioje klasėje pamokų gali būti daugiau arba mažiau. Ko dar mokomasi šiose klasėse, rašėme straipsniuose apie matematiką 2 klasėje, 3 klasėje, 4 klasėje ir 5 klasėje.
Kas pasikeitė nuo 2026 m. rugsėjo
Nuo 2026 m. rugsėjo 1 d. galioja pakoreguota matematikos bendrosios programos redakcija. Ji paliečia ne tik vidurinio ugdymo kursą, bet ir žemesnių klasių turinį. Portale emokykla.lt paskelbtame matematikos bendrosios programos pakeitimų gide, kurio komentarus parengė „Elicėjaus“ ekspertai, senoji ir naujoji programos formuluotės pateiktos greta, todėl transformacijų temos pokyčiai ten labai aiškiai matyti. Naująsias formuluotes sutikrinome su dabartiniu programos tekstu portale emokykla.lt.
Penktos klasės turinyje anksčiau buvo apibrėžiamos keturios transformacijos: simetrija tiesės atžvilgiu (atspindys), centrinė simetrija, posūkis ir postūmis (lygiagretusis postūmis). Naujojoje redakcijoje liko dvi pirmosios. Kartu išbrauktas ir sakinys, pagal kurį, pasitelkiant fizinius modelius ir skaitmenines priemones, buvo mokomasi užbaigti braižyti figūrą taip, kad ji būtų simetriška, ir atkurti simetrišką figūrą iš jos dalies. Šeštos klasės turinyje buvo mokomasi padidinti ar sumažinti objekto vaizdą ir sudaryti didėjančių bei mažėjančių figūrų sekas. Šios dalies nebeliko, o panašiųjų figūrų tema perkelta į devintą klasę. Septintos klasės turinyje buvo mokomasi pagrįsti koordinačių plokštumoje pavaizduotų figūrų lygumą, nurodant transformacijų seką ir koordinates, pavyzdžiui, (x; y) ir (x + 2; y + 2). Ir ši dalis išbraukta, liko tik braižymas.
Tą patį rodo ir NŠA ilgalaikių planų pavyzdžiai. 2025 m. paskelbtuose pavyzdžiuose transformacijoms buvo skirtos penkios pamokos penktoje klasėje, septynios — šeštoje ir penkios — septintoje, iš viso septyniolika. Naujausiuose, 2026 m. rudenį paskelbtuose pavyzdžiuose liko tik penkios penktos klasės pamokos temai „Konstravimas, transformacijos“, kurioje dabar apibrėžiamos tik dvi simetrijos rūšys, o šeštos ir septintos klasės planuose transformacijų eilutės nebėra.
Ką tai reiškia praktiškai? Ašinė ir centrinė simetrija lieka penktos klasės turinyje: jos apibrėžiamos, tačiau to, kaip jos praktikuojamos, naujoji redakcija nebedetalizuoja. Postūmį ir posūkį vaikai mokosi atpažinti trečioje ir ketvirtoje klasėse, tačiau penktoje šios transformacijos nebeapibrėžiamos. Jei namuose turite senesnį vadovėlį ar pratybas, jose gali būti skyrelių apie posūkį, postūmį ar transformacijų sekas. Tų skyrelių užduotis dabar galima palikti pabaigai arba spręsti tik iš smalsumo. Kuriuos skyrelius praleisti, geriausia pasitarti su mokytoju, nes jis dirba pagal savo ilgalaikį planą.
Simetrija per NMPP: ką rodo 2023–2026 m. užduotys
Peržiūrėjome visas 2023–2026 m. matematikos NMPP užduotis lietuvių kalba, kurias NŠA skelbia savo svetainėje: po šešias ketvirtai ir aštuntai klasei, nes 2023 ir 2024 m. patikrinimai vyko dviem srautais. Simetrijos uždavinys buvo šešiose užduotyse iš dvylikos. Kiekvieną kartą tai buvo vienas trumpas uždavinys ir kiekvieną kartą — apie ašinę simetriją. Centrinės simetrijos, posūkio ar postūmio uždavinių nebuvo nė karto.
Ketvirtokų klausta apie vieną figūrą. 2023 m. II srauto užduotyje reikėjo nurodyti figūrą, turinčią mažiausiai simetrijos ašių. 2024 m. II srauto užduotyje — iš keturių sausainių formelių išrinkti simetrišką. Formelės buvo eglutės, žuvies, namelio ir besmegenio formos, o simetriška buvo tik eglutė: namelio simetriją gadino į šoną nukeltas kaminas. 2025 m. užduotyje Jokūbas buvo pamiršęs draugo namo numerį, bet prisiminė, kad namas simetriškas, ir iš keturių namų reikėjo išrinkti tinkamą. Tai buvo namas su dvišlaičiu stogu, apvaliu langu po stogo viršūne ir keturiais vienodais langais; per namo vidurį galima nubrėžti vertikalią simetrijos ašį. Kiti trys namai turėjo nesimetriškų detalių: vienšlaitį ar dviejų aukščių stogą, į šoną nukeltas duris ar bokštelį vienoje pusėje.
Aštuntokų klausta apie dvi figūras. Abiejų 2023 m. srautų užduotyse reikėjo languotame lauke pažymėti langelius taip, kad gauta figūra būtų simetriška duotajai tiesės atžvilgiu; pirmojo srauto užduotyje duotoji figūra priminė klaustuką. 2024 m. I srauto užduotyje reikėjo iš kelių brėžinių išrinkti tą, kuriame trikampis EFD simetriškas trikampiui ABC tiesės n atžvilgiu. 2025 ir 2026 m. aštuntokų užduotyse simetrijos uždavinio nebuvo, kaip ir 2026 m. ketvirtokų užduotyje. Nebuvo jo ir 2025 bei 2026 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo (PUPP) pagrindinės sesijos matematikos užduotyse.
Kaip vertinti šiuos skaičius? Užduotyse, kuriose nurodyta, kiek taškų skiriama už uždavinį, simetrijos uždavinys buvo vertas vieno taško. Tai nedaug, tačiau tokiam uždaviniui nereikia skaičiavimų — tik tikslumo ir supratimo, kas yra atspindys. Tai, kad 2026 m. tokio uždavinio nebuvo, nereiškia, kad tema dingo: ašinė simetrija tebėra privaloma antros, trečios ir penktos klasės programos dalis, o NMPP užduotis kasmet sudaroma iš naujo. Kada vyks artimiausi patikrinimai ir kaip jiems ruoštis, aprašėme straipsnyje apie NMPP 2027, o kur rasti visų ankstesnių metų užduotis, — NMPP, PUPP ir VBE užduočių archyvo apžvalgoje.
Tipinės klaidos
Simetrijos uždaviniuose verta saugotis šių klaidų:
- vietoj atspindžio figūra paslenkama: atvaizdas nupiešiamas ta pačia kryptimi, o ne veidrodiškai;
- atstumas iki ašies matuojamas ne statmenai jai, ypač kai ašis eina įstrižai langelių;
- stačiakampio ar lygiagretainio įstrižainės laikomos simetrijos ašimis;
- painiojama, ar klausiama apie vienos figūros simetrijos ašį, ar apie dvi figūras, simetriškas viena kitai;
- manoma, kad kiekviena taisyklingai atrodanti figūra turi simetrijos centrą, nors lygiakraštis trikampis jo neturi.
Daugumos šių klaidų padeda išvengti paprastas įprotis: atspindėti ne visą figūrą iš akies, o po vieną viršūnę, kiekvieną kartą suskaičiuojant langelius iki ašies. Baigus verta pasitikrinti: sulenkus lapą per ašį, figūra ir jos atvaizdas turi sutapti, o pasukus lapą 180° kampu (neverčiant jo į kitą pusę), centriškai simetriška figūra turi atrodyti taip pat.
Kaip mokytis simetrijos namuose
Simetrija — viena tų temų, kurių namuose galima mokytis beveik be pratybų. Pirmoji priemonė — popieriaus lapas. Perlenkite jį per pusę ir atlenkite, ant vienos pusės užlašinkite guašo ar akvarelės ir vėl sulenkite: atvertę pamatysite simetrišką atspaudą, o lenkimo linija taps jo simetrijos ašimi. Iš sulenkto popieriaus iškirpta figūra taip pat bus simetriška. Antroji priemonė — mažas veidrodėlis: pastatytas ant figūros simetrijos ašies, jis parodo, ar atspindys papildo figūrą.
Trečioji priemonė — pasivaikščiojimas. Programa siūlo antrokams simetriškų figūrų pavyzdžių ieškoti aplinkoje, gamtoje, architektūroje ir mene, o trečiokams skirtoje lauko pamokoje „Simetrija mano aplinkoje“ mokiniai komandomis per 20 minučių ieško bent dešimties objektų ir sprendžia, kurie jų simetriški. Tą patį galima daryti ir einant į mokyklą. Tik verta žinoti, kad gamtoje simetrija būna apytikslė. Visuotinė lietuvių enciklopedija nurodo, kad daugumai gyvūnų ir daugelio augalų lapams būdinga dvišalė simetrija, o daugelio augalų vainiklapiams — spindulinė, tačiau dvišalė simetrija organizmą dalija į netobulas veidrodines dalis. Drugelis ar klevo lapas — puikus pavyzdys, bet matematiškai tiksliai jie simetriški nebūna.
Ketvirtoji priemonė — raidės. Iš didžiųjų spausdintinių raidžių vertikalią simetrijos ašį turi A, H, I, M, O, T, U, V, X ir Y, horizontalią — B, C, D, E, H, I, K, O ir X, o simetrijos centrą — H, I, N, O, S, X ir Z. Įdomu, kad lietuviškų raidžių nosinės, paukščiukai ir taškas simetriją dažniausiai sugadina: A turi simetrijos ašį, o Ą — jau ne; C turi horizontalią ašį, o Č — ne. Iš raidžių su diakritiniais ženklais simetrijos ašį paprastai išlaiko tik Ū, nes brūkšnelis virš U yra lygiai viduryje. Tiesa, raidžių simetrija priklauso nuo šrifto, todėl tokią užduotį geriausia atlikti su paprastomis raidėmis be puošmenų.
Galiausiai — languotas popierius. Languotame lauke simetriją tikrino 2023 m. aštuntokų NMPP: reikėjo pažymėti langelius taip, kad figūra būtų simetriška duotajai tiesės atžvilgiu. Iš pradžių užtenka paprastų figūrų iš kelių langelių, vėliau galima pereiti prie figūrų su įstrižomis kraštinėmis, kurių viršūnes reikia atspindėti po vieną.
Ką spręsti: testai ir uždavinynai nuo 2 iki 8 klasės
NŠA ilgalaikių planų pavyzdžiuose simetrijai skiriamos vos kelios pamokos per metus, todėl ją geriausia kartoti kartu su visu klasės kursu. Edtalk parduotuvėje vien simetrijai skirtų leidinių nėra, tačiau bendro kurso kartojimo ir pasitikrinimo priemonių yra kiekvienai klasei nuo antros iki aštuntos. Žemiau jas išvardijame; simetrija jų aprašymuose atskirai neminima.
Antrokams ir trečiokams kasdieniam kartojimui tinka Audronio Bortkevičiaus testų knygelės 2 klasei ir 3 klasei. Jose trumpi testai suskirstyti pagal trimestrus, o pirmojo ir antrojo trimestro pabaigoje pateiktas kontrolinis darbas. Kam patogiau spausdinti užduotis namuose, tinka PDF rinkinys „2 klasės matematikos pagrindai“ su atsakymų raktu, o visą Bortkevičiaus testų seriją rasite Bortkevičiaus knygų skiltyje.
Ketvirtokams skirta Bortkevičiaus testų knygelė 4 klasei. Kas nori sužinoti, kurios temos jau gerai išmoktos, o kurios dar ne, gali pasinaudoti diagnostiniais rinkiniais 3 klasei ir 4 klasei: užduotys pateiktos su atsakymais, todėl namuose galima atskirti vienkartinę klaidą nuo tikros spragos. Ketvirtos klasės rinkinyje, be matematikos, yra ir lietuvių bei anglų kalbos užduočių. Visas matematikos PDF užduotis rasite parduotuvės PDF užduočių skiltyje.
Penktokams tinka Vaidoto Mockaus progimnazijos 5–8 klasių kurso teminio kartojimo uždaviniai: juose surinktos viso progimnazijos kurso temos, todėl leidinys praverčia ir kartojant prieš NMPP ar stojamuosius. Greitai pasitikrinti sąvoką ar formulę padeda „Pati naujausioji matematikos atmintinė moksleiviams“. Šeštokams skirti Mockaus 6 klasės matematikos kurso teminiai uždaviniai, sudėlioti pagal temas ir pateikti dviem variantais, todėl tą pačią temą galima pasitikrinti antrą kartą. Spausdintas pratybas ir uždavinynus visoms klasėms rasite pratybų skiltyje.
Aštuntokams, kurie ruošiasi NMPP, skirtas Mockaus darbo sąsiuvinis „Pakartokime 5–8 klasės matematikos kursą ir pasirenkime 8 klasės NMPP“. Jame yra dvylika kurso kartojimo užduočių, o atsakymai pateikti knygos gale. Visą pasiruošimo patikrinimams medžiagą rasite parduotuvės NMPP skiltyje, o kitas to paties autoriaus knygas — Mockaus knygų skiltyje.
Kada verta kreiptis į korepetitorių
Jei vaikas vis atspindi figūrą ne į tą pusę, neskiria figūros simetrijos ašies nuo simetrijos tiesės atžvilgiu arba apskritai sunkiai įsivaizduoja figūras, verta tai peržiūrėti su mokytoju. Tokie įgūdžiai lavinami praktika, todėl kelios pamokos su languotu popieriumi gali padėti vaikui įprasti atspindėti po vieną tašką. Kodėl geometrija vieniems sekasi lengvai, o kitiems sunkiai, aptarėme straipsnyje apie geometrijos sunkumus. Pradinukams tinkamą mokytoją padės rasti matematikos korepetitoriaus 4 klasei puslapis, penktokams — matematikos korepetitoriaus 5 klasei puslapis, o kitų klasių mokiniams — matematikos korepetitorių puslapis.
Trumpai
Simetrija matematikoje — figūros savybė sutapti su savimi po atspindžio arba posūkio. Ašinė simetrija — tai atspindys tiesės atžvilgiu; jei figūra po jo sutampa su savimi, ta tiesė yra jos simetrijos ašis, ir figūrą galima sulenkti per ją taip, kad pusės sutaptų. Centrinė simetrija — tai posūkis 180° kampu apie tašką; jei figūra po jo sutampa su savimi, tas taškas yra jos simetrijos centras. Kvadratas turi keturias simetrijos ašis, stačiakampis ir rombas (ne kvadratai) — po dvi, lygiakraštis trikampis — tris, lygiašonis (ne lygiakraštis) — vieną, o apskritimas — be galo daug; stačiakampio įstrižainės nėra simetrijos ašys. Figūros simetrijos ašies mokomasi antroje klasėje, figūrų, simetriškų viena kitai tiesės atžvilgiu, — trečioje, o penktoje klasėje apibrėžiamos ašinė ir centrinė simetrija. Nuo 2026 m. rugsėjo penktos klasės programoje nebeliko posūkio ir postūmio, o šeštos ir septintos klasės turinyje — transformacijų. 2023–2026 m. ašinės simetrijos uždavinys buvo šešiose iš dvylikos matematikos NMPP užduočių, tačiau 2026 m. užduotyse jo nebuvo.
