Vaikas moka daugybos lentelę, greitai sudeda ir atima, o prie uždavinio „Kuris iš dviejų meluoja?“ sustoja ir nežino, nuo ko pradėti. Tai nėra skaičiavimo spraga. Loginiame uždavinyje skaičių dažnai beveik nėra, o kliūtis kita: reikia pastebėti taisyklę, atmesti netinkamus variantus arba laikinai priimti prielaidą ir patikrinti, ar ji neveda į prieštarą.
Toliau rasite devynis loginius uždavinius su sprendimais, sugrupuotus pagal klases nuo pirmos iki aštuntos. Prie jų pridėjome tai, ko dažnai trūksta galvosūkių sąrašuose internete: kaip tokius uždavinius spręsti, kaip jie susiję su mokyklos matematikos programa, ką apie loginių uždavinių naudą matematikai rodo tyrimai ir kur už juos jau skiriami taškai.
Kuo loginis uždavinys skiriasi nuo įprasto
Įprastame matematikos uždavinyje vaikas atpažįsta, kokį veiksmą reikia atlikti, ir jį atlieka. Loginiame uždavinyje skaičiavimai paprastai trumpi, o visas darbas vyksta prieš juos: ką iš sąlygos galima tvirtai žinoti, ko negalima ir kokia išvada iš to išplaukia. Todėl tas pats vaikas gali greitai išspręsti dešimt pavyzdžių stulpeliu ir ilgai sėdėti prie uždavinio, kuriame tereikia sudėti du skaičius, bet pirma reikia suprasti, kuriuos.
Dauguma loginių uždavinių priklauso kelioms pasikartojančioms šeimoms: sekos, uždaviniai „nuo galo“, lentelės su atmetimu, degtukų, perpylimo, lyginumo, svėrimo, teisuolių ir melagių bei Dirichlė principo uždaviniai. Kiekviena šeima turi savo raktą. Kai vaikas jį pamato ir aptaria su suaugusiuoju, kitas tos pačios šeimos uždavinys nebeatrodo kaip mįslė. Todėl sąrašas, kuriame atsakymai surašyti puslapio apačioje, duoda nedaug: atsakymas parodo, kad sprendimas egzistuoja, bet ne kaip iki jo nueiti. Sprendimo kelio, o ne atsakymo mokymuisi skyrėme atskirą straipsnį — kaip išmokti spręsti matematikos uždavinius.
Ar galvosūkiai padeda matematikai? Ką rodo tyrimai
Tėvai dažnai girdi, kad galvosūkiai lavina mąstymą, ir tai skamba savaime suprantamai. Tyrimai šį teiginį patvirtina tik iš dalies, ir būtent ta dalis naudingiausia.
Oksfordo universiteto tyrėjai 2007 metais paskelbė du susijusius tyrimus (Nunes ir kt., 2007). Pirmajame šešiamečių samprotavimo rezultatai prognozavo jų matematikos pasiekimus po šešiolikos mėnesių, ir ši sąsaja išliko net atsižvelgus į darbinę atmintį. Svarbu, ką tyrėjai vadino loginiu mąstymu: ne mįsles, o samprotavimą apie kiekius — ar vaikas supranta, kad pridėjus ir atėmus tą patį skaičių grįžtama į pradžią, kad skaičių galima sudėti iš dalių ir kaip vienos grupės daiktus susieti su kitos grupės daiktais. Antrajame tyrime pirmokai, kuriems toks samprotavimas sekėsi silpniau, buvo suskirstyti į dvi grupes. Pirmoji grupė dvylika savaičių po valandą per savaitę mokėsi samprotavimo principų, antroji mokėsi per įprastas matematikos pamokas. Valstybiniame matematikos teste antrosios grupės vidurkis buvo ties 28-uoju procentiliu, o pirmosios — šiek tiek aukščiau 50-ojo: rizikos grupės vaikai pasivijo bendraamžius.
Kitą pusę parodo 2017 metais paskelbta metaanalizių apžvalga (Sala ir Gobet, 2017), kurioje vertinta, ar šachmatai, muzika ir darbinės atminties treniruotės pagerina vaikų mokymąsi. Kai treniruotų vaikų rezultatai buvo lyginami su nieko nedariusių vaikų rezultatais, poveikis atrodė nedidelis ar vidutinis. Kai jie buvo lyginami su vaikų, kurie tuo metu užsiėmė kita veikla, rezultatais, poveikis beveik išnyko: pavyzdžiui, muzikos pamokų poveikis pirmuoju atveju siekė 0,25 standartinio nuokrypio, o antruoju — vos 0,03. Autorių išvada: tokios treniruotės patikimai nepagerina jokio gebėjimo, išskyrus tą, kuris ir yra treniruojamas.
Nė vienas šių tyrimų galvosūkių sąrašų netikrino, tačiau kartu jie rodo aiškią kryptį. Mūsų išvada tokia: bendra „proto mankšta“ savaime į matematiką greičiausiai nepersikels, o samprotavimas apie pačius skaičius su ja susijęs tiesiogiai. Todėl verta rinktis uždavinius, artimus mokyklinei matematikai, ir po kiekvieno paklausti, kaip vaikas iki atsakymo priėjo. Prašymas paaiškinti sprendimą nėra tėvų išmonė: mokyklos programoje trečiokų ir ketvirtokų pagrindinio lygio pasiekimas aprašytas žodžiais „sukuria nuoseklų paprastos užduoties sprendimą, jį paaiškina“.
Kur logika įrašyta mokyklos matematikos programoje
Loginių uždavinių kaip atskiros temos matematikos bendrojoje programoje nėra, tačiau logika joje yra nuo pirmos klasės. Programoje išskirtos trys pasiekimų sritys, ir pirmoji vadinasi „Gilus supratimas ir argumentavimas“. Vienas jos pasiekimų suformuluotas beveik kaip loginio uždavinio apibrėžimas: mokinys „sukuria nuoseklią, logiškai pagrįstą teiginių seką ar užduoties sprendimą, vertina argumentavimo logiškumą, įrodo matematinius teiginius“. Programos turinyje su logika susiję dalykai išdėstyti klasė po klasės.
Pirmoje klasėje mokomasi atpažinti ir pratęsti sekas, sudarytas iš 2–3 pasikartojančių objektų (programoje pateikti pavyzdžiai ABAB ir AABAAB), ir rasti trūkstamus narius. Tais pačiais metais aptariamas ir sudėties bei atimties ryšys: jei a − b = c, tai c + b = a. Antroje klasėje aptariamos lyginio ir nelyginio skaičiaus sąvokos, o prie objektų sekų prisideda skaičių sekos, kurių nariai didėja ar mažėja po tiek pat vienetų arba tiek pat kartų. Per geometriją antrokai susipažįsta su sąvokomis „teiginys“, „teisingas teiginys“, „klaidingas teiginys“ ir „priešingas teiginys“ ir mokosi paprasčiausiam matematiniam teiginiui suformuluoti priešingą — iš čia jau netoli iki teisuolių ir melagių uždavinių. Trečioje ir ketvirtoje klasėse pagrindinio lygio mokinys grupuoja objektus pagal du požymius, sudaro sekas pagal nurodytą ar savo sugalvotą taisyklę ir, netiesiogiai padedamas, kelia hipotezes.
Nuo penktos klasės apie logiką kalbama atvirai. Penktokai formuluoja ir pagrindžia hipotezę apie trikampio ir keturkampio kampų sumą ir sužino, kad ne kiekvienas pagrindimas yra matematinis įrodymas. Šeštokai braižo galimybių medžius ir sudaro galimybių lenteles. Septintokai nagrinėja sąlyginius teiginius „jei, tai“ ir mokosi suformuluoti atvirkštinį teiginį, įsitikindami, kad ne kiekvienas atvirkštinis teiginys yra teisingas. Aštuntokai aiškinasi, kuo tiesioginis įrodymas skiriasi nuo įrodymo prieštaros būdu. Kitaip tariant, dauguma toliau pateiktų uždavinių tipų turi savo vietą programoje, o galvosūkis namuose yra ne atskira proto mankšta, o ta pati medžiaga, tik pateikta taip, kad atsakymo nepavyktų atspėti iš temos pavadinimo.
1–2 klasės: sekos ir uždaviniai „nuo galo“
Pirmokų ir antrokų loginiai uždaviniai paprastai remiasi tuo, ką galima paliesti ar nupiešti, todėl popierius ir spalvoti pieštukai čia svarbesni už greitį.
1 uždavinys. Ant siūlo suverti karoliukai: raudonas, mėlynas, mėlynas, raudonas, mėlynas, mėlynas, raudonas ir taip toliau. Kokios spalvos bus dešimtasis karoliukas?
Sprendimas. Pirmiausia reikia pamatyti, kas kartojasi: ne vienas karoliukas, o trijų karoliukų grupė „raudonas, mėlynas, mėlynas“. Tada dešimtą vietą galima rasti neskaičiuojant karoliukų po vieną: trys grupės užima devynias vietas, o dešimtasis karoliukas pradeda ketvirtą grupę. Atsakymas: raudonas. Pirmokui užtenka suverti karoliukus iš tikrųjų ir patikrinti, o antrokas jau gali paaiškinti, kodėl pirmųjų devynių karoliukų skaičiuoti po vieną nereikia.
2 uždavinys. Ugnė sugalvojo skaičių, padaugino jį iš 2, pridėjo 6 ir gavo 20. Kokį skaičių ji sugalvojo?
Sprendimas. Uždavinys sprendžiamas nuo galo: kiekvienas veiksmas keičiamas priešingu, o jų eilė — atvirkštine. Prieš pridedant 6 buvo 20 − 6 = 14, o prieš dauginant iš 2 buvo 14 : 2 = 7. Atsakymas: 7. Patikrinkite kartu: 7 · 2 + 6 = 20. Toks samprotavimas artimas tam, kurį Oksfordo tyrėjai matavo tirdami šešiamečius, — ar vaikas supranta, kad atimtis atšaukia sudėtį, — todėl šis uždavinys vertas daugiau dėmesio nei eilinis galvosūkis.
Jei po tokių uždavinių norisi reguliarių pratybų, antrokams tinka 2 klasės matematikos pagrindų rinkinys be perteklinių dekoracijų arba Bortkevičiaus testai 2 klasei, sudėlioti pagal trimestrus. Kaip atpažinti, kur antrokas iš tikrųjų stringa, aptarėme straipsnyje apie matematiką 2 klasėje.
3–4 klasės: lentelės ir degtukai
Trečiokai ir ketvirtokai jau gali laikyti galvoje kelias sąlygas vienu metu, bet dar nebūtinai visas. Čia padeda du įpročiai: surašyti galimybes į lentelę ir, radus atsakymą, paklausti, ar jis vienintelis.
3 uždavinys. Aistė, Benas ir Domas lanko skirtingus būrelius: robotikos, krepšinio ir dailės. Aistė nelanko krepšinio. Benas nelanko nei krepšinio, nei robotikos. Kas kokį būrelį lanko?
Sprendimas. Nubraižykite lentelę: eilutėse vardai, stulpeliuose būreliai. Kiekviena sąlyga leidžia į kurį nors langelį įrašyti kryželį. Beno eilutėje lieka vienas laisvas langelis — dailė. Kadangi dailę lanko Benas, Aistei lieka robotika, o Domui — krepšinis. Atsakymas: Aistė — robotika, Benas — dailė, Domas — krepšinis. Su trimis vaikais tai galima išspręsti mintyse, bet kai vaikų ir būrelių yra po keturis ar penkis, lentelė tampa būtina. Tai artima tam, ką programa vadina objektų grupavimu pagal du požymius.
Uždavinius su degtukais patogu spręsti tiesiog ant stalo, su tikrais degtukais ar pagaliukais, ir juose dažnai slepiasi daugiau matematikos, nei atrodo iš pirmo žvilgsnio.
4 uždavinys. Iš degtukų romėniškais skaitmenimis sudėta lygybė V + I = IV. Perkelkite vieną degtuką taip, kad lygybė taptų teisinga.
Sprendimas. Skaitmuo I sudarytas iš vieno degtuko, V — iš dviejų, todėl pirmiausia verta pabandyti perkelti vienetą. Jei dešinėje pusėje degtuką I perkelsite iš kairės skaitmens V pusės į dešinę, gausite V + I = VI, t. y. 5 + 1 = 6. Tačiau yra ir antras sprendimas: tą patį degtuką galima perkelti į pačią lygybės pradžią, ir tada IV + I = V, t. y. 4 + 1 = 5. Uždavinys su dviem atsakymais — gera proga išmokyti vaiką savęs paklausti: „O gal yra ir kitas būdas?“ Be to, jis parodo, kad tvarka svarbi: IV ir VI sudaryti iš tų pačių degtukų, bet vienetas prieš V atimamas, o po V — pridedamas.
Ketvirtokams, kurie ruošiasi stojamiesiems į penktą klasę, loginės situacijos jau nėra vien žaidimas: 4 klasės matematikos užduočių rinkinyje, skirtame pasiruošti egzaminui į 5 klasę, jos tikrinamos greta skaičiavimo ir tekstinių uždavinių. Kasdieniam kartojimui tinka Bortkevičiaus testai 3 klasei ir 4 klasei, o 3 klasės ir 4 klasės žinių diagnostikos rinkinukai padeda pamatyti, ką vaikas jau moka tvirtai ir kur kartoja tas pačias klaidas. Visus šio autoriaus testus rasite Bortkevičiaus knygų skiltyje, o daugiau apie ketvirtokų matematiką — straipsnyje apie matematiką 4 klasėje.
5–6 klasės: perpylimas ir lyginiai skaičiai
Penktoje ir šeštoje klasėse vaikas jau gali planuoti kelis žingsnius į priekį ir, kas svarbiausia, įrodyti, kad kažko padaryti neįmanoma. Tai naujas jausmas: atsakymas „negalima“ gali būti ir teisingas, ir pagrįstas.
5 uždavinys. Turite čiaupą ir du indus be padalų — 3 litrų ir 5 litrų. Kaip atmatuoti lygiai 4 litrus vandens?
Sprendimas. Pripildykite 5 litrų indą ir iš jo pripilkite 3 litrų indą — didžiajame liks 2 litrai. Ištuštinkite mažąjį indą ir supilkite į jį tuos 2 litrus. Dar kartą pripildykite didįjį indą ir pilkite iš jo į mažąjį, kol šis prisipildys: į mažąjį dar telpa tik 1 litras, todėl didžiajame lieka lygiai 4 litrai. Raktas čia ne pylimas, o skirtumai: 5 − 3 = 2, 3 − 2 = 1, 5 − 1 = 4. Kai vaikas tai pamato, jis gali pats sugalvoti panašių uždavinių su kitais indais, ir tai geras ženklas, kad raktas suprastas. Beje, yra ir ilgesnis kelias, kai pradedama nuo mažojo indo, — verta paklausti vaiko, ar jis ras jį pats.
6 uždavinys. Ar galima 25 saldainius sudėti į 6 krūveles taip, kad kiekvienoje būtų nelyginis saldainių skaičius?
Sprendimas. Dviejų nelyginių skaičių suma visada lyginė. Šešias nelygines krūveles galima sugrupuoti į tris poras, kiekvienos poros suma lyginė, todėl ir visų šešių suma lyginė. O 25 — nelyginis skaičius, vadinasi, taip padaryti neįmanoma. Atsakymas: negalima. Vertingiausia čia ne atsakymas, o tai, kad jam pagrįsti nereikėjo išbandyti nė vieno varianto. Lyginių ir nelyginių skaičių sąvokos aptariamos jau antroje klasėje, o penktoje jos apibrėžiamos kartu su dalikliais ir kartotiniais; tos pačios idėjos plėtojamos ir mūsų straipsnyje apie dalumo požymius.
Šio amžiaus vaikams logika tvirtėja ir nuosekliai sprendžiant įprastų temų uždavinius. Vaidoto Mockaus 6 klasės teminiai uždaviniai pateikti dviem variantais, todėl tą pačią temą galima pasitikrinti antrą kartą su kitomis užduotimis, o progimnazijos 5–8 klasių kurso kartojimo uždaviniai sudeda kelerių metų temas į vieną sistemą. Visas šio autoriaus knygas rasite Mockaus knygų skiltyje.
7–8 klasės: teisuoliai, melagiai ir svarstyklės
Septintokai mokosi sąlyginių teiginių „jei, tai“, aštuntokai — įrodymo prieštaros būdu. Pirmasis iš trijų toliau pateiktų uždavinių yra šių idėjų žaidimo versija, o kiti du moko perrinkti visas galimybes ir įrodyti, kad kažkas neišvengiamai įvyks.
7 uždavinys. Saloje gyvena teisuoliai, kurie visada sako tiesą, ir melagiai, kurie visada meluoja. Sutinkate du salos gyventojus, Andrių ir Beną. Andrius sako: „Mes abu esame melagiai“. Kas yra kas?
Sprendimas. Tarkime, kad Andrius — teisuolis. Tada jo žodžiai teisingi ir jis pats yra melagis, o taip būti negali. Vadinasi, Andrius yra melagis ir jo teiginys klaidingas. Tačiau teiginiui „mes abu esame melagiai“ priešingas teiginys yra ne „mes abu esame teisuoliai“, o „bent vienas iš mūsų yra teisuolis“. Kadangi Andrius — melagis, teisuolis yra Benas. Atsakymas: Andrius — melagis, Benas — teisuolis. Šiame uždavinyje susitinka dvi programos idėjos: priešingas teiginys, kuris aptariamas jau antroje klasėje, ir įrodymas prieštaros būdu, apie kurį kalbama aštuntoje. Priešingo teiginio spąstai, beje, klaidina ir suaugusiuosius.
8 uždavinys. Iš devynių vienodai atrodančių monetų viena netikra — ji lengvesnė už kitas. Turite svarstykles su dviem lėkštėmis, bet be svarelių. Kaip per du svėrimus rasti netikrą monetą?
Sprendimas. Monetas padalykite į tris krūveles po tris. Pirmu svėrimu palyginkite dvi krūveles: jei svarstyklės lieka pusiausviros, netikra moneta yra trečioje krūvelėje, jei ne — lengvesnėje. Antru svėrimu iš trijų įtariamų monetų palyginkite dvi: lengvesnė yra netikra, o jei jos sveria vienodai, netikra — trečioji. Raktas: svėrimas turi ne dvi, o tris baigtis, todėl dalyti reikia į tris dalis. Vaikas, kuris tai suprato, gali pats paaiškinti, kodėl per tris svėrimus lengvesnę monetą galima rasti tarp 27 monetų.
9 uždavinys. Klasėje mokosi 13 vaikų. Ar būtinai bent du iš jų gimė tą patį mėnesį? O kiek mažiausiai vaikų turi būti klasėje, kad bent trys būtinai būtų gimę tą patį mėnesį?
Sprendimas. Mėnesių yra dvylika. Net jei dvylika vaikų būtų gimę skirtingais mėnesiais, tryliktasis būtinai pataikytų į jau užimtą, todėl atsakymas į pirmą klausimą — taip. Tai Dirichlė principas: jei daiktų yra daugiau nei dėžučių, bent vienoje dėžutėje atsidurs daugiau nei vienas daiktas. Antrasis klausimas sprendžiamas taip pat: 24 vaikai dar gali būti gimę po du kiekvieną mėnesį, todėl reikia 25 — tada bent trys tikrai sutaps. Atsakymas: taip; 25.
Daugeliui loginių užduočių vis tiek reikia sklandžiai skaičiuoti, todėl septintokams pagrindams įtvirtinti tinka 7 klasės teminiai uždaviniai dviem analogiškais variantais, o tiems, kuriems bazinių pratimų nebeužtenka, — stipresnio lygio 7 klasės užduotys, kuriose daugiau mąstymo ir sudėtingesnių situacijų.
Kaip spręsti kartu, kad nauda neliktų žaidime
Praktinė taisyklė, kurią siūlome, paprasta: daugiausia duoda ne pats uždavinys, o samprotavimas, kurį vaikas turi paaiškinti. Todėl svarbiausias jūsų vaidmuo — ne žinoti atsakymą, o klausti. Kai vaikas stringa, vietoje užuominos padeda keli klausimai, tinkantys beveik bet kuriam loginiam uždaviniui:
- Ką tikrai žinome iš sąlygos, o ką tik spėjame?
- Ar galima tai nupiešti arba sudėlioti iš daiktų?
- Kas būtų, jei būtų priešingai?
- Ar galima pradėti nuo galo?
- Kaip patikrinsime, kad atsakymas tinka visoms sąlygoms?
- Ar gali būti kitas atsakymas?
Vaikui išsprendus uždavinį, paprašykite jo papasakoti sprendimą taip, lyg jis aiškintų jaunesniam broliui ar draugui. Kai vaikas aiškina garsiai, dažnai paaiškėja, ar jis rado taisyklę, ar tik atspėjo. Gerai užrašyto sprendimo pavyzdžių rasite straipsnyje apie tai, kaip užrašyti matematikos sprendimą.
Jei prie vieno uždavinio vaikas prasėdi dešimt minučių ir jo neišsprendžia, tai normalu. Verta jį palikti iki rytojaus: uždavinys, išspręstas kitą dieną, dažnai duoda daugiau nei tas, kurio atsakymas parodytas iš karto. Iš pradžių laiko nematuokite, nes laikrodis loginį uždavinį gali paversti spėliojimu. Laiko riba prasminga vyresniems vaikams, kurie ruošiasi konkursui ar stojamiesiems, ir tik tada, kai uždavinių tipai jau pažįstami.
Kur už loginius uždavinius skiriami taškai
Pirmiausia — matematikos konkursas „Kengūra“. Peržiūrėjome 2023–2025 metų lietuviškas „Kengūros“ užduotis. 2023 metų Bičiulių (5–6 klasės) ir Kadetų (7–8 klasės) užduotyse yra uždavinių apie iš degtukų sudėliotus skaitmenis, 2023 metų Mažylių (3–4 klasės) ir 2024 metų Bičiulių užduotyse — svarstyklių uždavinių. 2025 metų Kadetų užduotyje yra klasikinis teisuolių ir melagių uždavinys: kambaryje visi atsako į klausimą „Ar esi teisuolis?“, o raktas — pastebėti, kad „taip“ atsakys kiekvienas, nes teisuolis sakys tiesą, o melagis pameluos. Tų pačių metų Bičiulių užduotyje berniukas meluoja tik tam tikromis savaitės dienomis. Ankstesnių metų užduotys ir jų sprendimai skelbiami nemokamai, todėl konkursui specialiai pirkti nieko nereikia; apie datas ir taisykles plačiau rašėme straipsnyje apie matematikos konkursus mokiniams.
Antra — stojamieji į atrankines mokyklas. Vilniaus licėjaus matematikos stojamojo egzamino programoje, skirtoje stojantiesiems į I (devintą) klasę, šalia kombinatorikos sudėties ir daugybos taisyklių atskirai įrašytas gebėjimas „spręsti nesudėtingus loginius uždavinius“. Vilniaus ir Kauno jėzuitų gimnazijų bendrųjų gebėjimų testo į 5 klasę koncepcijoje matematikos dalis pradedama ne temomis, o trimis gebėjimais: pasirinkti tinkamą sprendimo strategiją ir ją užrašyti, padaryti tikslią išvadą ir pasitikrinti rezultatą pagal pradinę sąlygą. Tai beveik tie patys įpročiai, kuriuos treniruoja loginiai uždaviniai. Išsamiau apie abu egzaminus rašėme straipsniuose apie Vilniaus licėjaus stojamuosius ir jėzuitų gimnazijos testą į 5 klasę.
Kita vertus, stojamuosiuose logika nėra viskas. Pavyzdžiui, Žirmūnų gimnazijos stojamųjų apraše didžioji taškų dalis skirta žinioms, supratimui ir taikymui, o aukštesniesiems mąstymo gebėjimams — mažiausia. Todėl logikos treniruotės yra programos papildymas, o ne jos pakaitalas.
Kur rasti daugiau uždavinių su sprendimais
Pradėkite nuo nemokamų šaltinių. „Kengūros“ archyvas suskirstytas pagal amžiaus grupes — Nykštukai (1–2 klasės), Mažyliai (3–4), Bičiuliai (5–6), Kadetai (7–8) ir vyresni, — o kiekvienoje užduotyje yra trijų sunkumo pakopų uždavinių. Pradinukui ar penktokui to užtenka ilgam, jei pradedama nuo savo grupės lengviausių uždavinių.
Mokama medžiaga prasminga tada, kai logika tampa konkrečiu tikslu. Ketvirtokams, besiruošiantiems stojamiesiems į penktą klasę, yra jėzuitų gimnazijos stojamojo egzamino stiliaus pavyzdys ir sunkesnio lygio 2023 metų variantas, abu su atsakymų ir sprendimų failu. Aštuntokams, kurie ruošiasi stoti į stiprias gimnazijas, skirtas 9 klasės matematikos bandomųjų egzaminų rinkinys su A, B ir C lygio užduotimis ir detaliais sprendimais, o sunkesnę pasiruošimo dalį galima išbandyti A lygio arba Vilniaus licėjaus bandomuoju egzaminu. Dešimtokams, kurie nori ne tik baigti klasę, bet ir įstoti į stipresnę gimnaziją, uždavinyne „siekiantiems daugiau“ yra 359 mąstymą provokuojantys uždaviniai su išsamiais sprendimais ir paaiškinimais. Visus tokius rinkinius rasite stojamųjų egzaminų skiltyje ir tarp PDF užduočių.
Renkantis verta žiūrėti, ar prie rinkinio yra sprendimų failas, ar tik atsakymai. Loginiam uždaviniui vien atsakymas beveik nieko neduoda: kaip ir degtukų uždavinyje, svarbiausia yra kelias, o kartais — ir tai, kad kelių yra du. Kuo skiriasi atsakymas nuo sprendimo ir kaip iš atsakymų vis dėlto padaryti mokymosi įrankį, plačiau rašėme straipsnyje apie pratybų atsakymus internete.
Kada verta pasitelkti korepetitorių
Jei vaikas mielai sprendžia galvosūkius, bet matematikos pažymiai krenta, loginiai uždaviniai spragos neužlopys — pirmiausia reikia rasti, kurios temos trūksta. O jei vaikas ruošiasi konkursui ar stojamiesiems ir tas pats uždavinių tipas nesiseka kelis kartus iš eilės, pokalbis su žmogumi, kuris parodo raktą ir paprašo jį paaiškinti savais žodžiais, gali sutaupyti daug laiko. Edtalk platformoje galite rasti matematikos korepetitorių ir mokytis gyvai Vilniuje ar Kaune arba internetu, o pradinukui — pradinių klasių korepetitorių. Jei matematika vaikui sekasi lengvai ir jis nori daugiau, perskaitykite mūsų straipsnį apie gabų vaiką matematikai: jame aptarta, ką mokykla gali ir ko negali pasiūlyti gabiam mokiniui.
Trumpai
Loginiai uždaviniai nėra atskiras dalykas: tai ta pati matematika, kurioje kliūtis yra samprotavimas, o ne skaičiavimas, ir mokyklos programoje ji yra nuo pirmos klasės — sekos, teiginiai, galimybių medžiai, „jei, tai“ ir įrodymas prieštaros būdu. Tyrimai rodo, kad su matematika tiesiogiai susijęs samprotavimas apie pačius skaičius, o bendros treniruotės retai persikelia į kitas sritis. Todėl sprendžiant kartu verčiau klausti, o ne rodyti atsakymą, rinktis uždavinius, artimus vaiko klasei, ir kaskart pasidomėti, ar nėra kito sprendimo.
