Šaknų savybės — tai taisyklės, pagal kurias šaknys dauginamos, dalijamos ir pertvarkomos. Svarbiausios yra dvi: šaknis iš sandaugos lygi šaknų sandaugai, √(a · b) = √a · √b (kai a ≥ 0 ir b ≥ 0), o šaknis iš dalmens lygi šaknų dalmeniui, √(a : b) = √a : √b (kai a ≥ 0 ir b > 0). Jomis remiasi pagrindiniai šaknų pertvarkiai: dauginamojo iškėlimas prieš šaknies ženklą (√50 = 5√2), įkėlimas į pošaknį (4√3 = √48) ir iracionalumo naikinimas trupmenos vardiklyje. Sudėčiai ir atimčiai panašios taisyklės nėra: √9 + √16 = 3 + 4 = 7, o √(9 + 16) = √25 = 5.
Šiame straipsnyje pagrindines šaknų savybes surašėme į vieną lentelę su pavyzdžiais ir parodėme, kaip iškelti dauginamąjį prieš šaknies ženklą, sutraukti šaknis su vienodu pošakniu ir panaikinti iracionalumą vardiklyje. Tačiau taisyklių sąrašą rasti nesunku, todėl daugiausia dėmesio skyrėme kitam klausimui: kokių uždavinių su šaknimis pasitaiko per patikrinimus ir egzaminus. Peržiūrėjome 2024–2026 m. aštuntokų nacionalinių mokinių pasiekimų patikrinimų (NMPP) užduotis, 2025–2026 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo (PUPP) užduotis ir brandos egzamino rezultatų analizes, taip pat palyginome, ką apie šaknis sako PUPP ir brandos egzamino formulių rinkiniai bei PUPP vertinimo gairės.
Vienas uždavinių tipas kartojosi taip dažnai, kad verta jį paminėti iš karto: kiekvienoje 2024–2026 m. aštuntokų NMPP matematikos užduotyje buvo uždavinys, kuriuo tikrinama, ar mokinys nepainioja šaknų sumos su šaknimi iš sumos. Programos, patikrinimų aprašų ir statistikos faktai paimti iš pirminių šaltinių: matematikos bendrosios programos, Nacionalinės švietimo agentūros (NŠA) dokumentų ir jos testavimo sistemoje BETA paskelbtų užduočių.
Kas yra kvadratinė ir kubinė šaknis
Kvadratinė šaknis iš neneigiamo skaičiaus a — tai neneigiamas skaičius, kurį pakėlus kvadratu gaunamas a. Todėl √49 = 7, nes 7² = 49. Skaičių −7 pakėlus kvadratu, taip pat gaunama 49, tačiau kvadratinė šaknis apibrėžta kaip neneigiama, tad √49 yra tik 7. Šį skirtumą verta suprasti iš karto: lygtis x² = 49 turi du sprendinius, 7 ir −7, o reiškinys √49 turi vieną reikšmę — 7. Geometriškai kvadratinė šaknis yra kvadrato kraštinė, kai žinomas jo plotas: kvadrato, kurio plotas 49 cm², kraštinė lygi √49 = 7 cm.
Kvadratinė šaknis iš neigiamo skaičiaus realiųjų skaičių aibėje neegzistuoja, nes jokio realiojo skaičiaus kvadratas nėra neigiamas. Todėl √(−4) mokyklinėje matematikoje neturi prasmės. Su kubine šaknimi yra kitaip: ∛a — tai skaičius, kurį pakėlus kubu gaunamas a, ir toks skaičius yra kiekvienam a. Pavyzdžiui, ∛(−8) = −2, nes (−2)³ = −8. Kubinė šaknis geometriškai yra kubo briauna, kai žinomas jo tūris: kubo, kurio tūris 64 cm³, briauna lygi ∛64 = 4 cm.
Pagal matematikos bendrąją programą abi šaknys apibrėžiamos aštuntoje klasėje. Programoje nurodyta, kad mokomasi apskaičiuoti šaknų reikšmes, kai pošaknyje yra racionaliųjų skaičių kvadratai ir kubai, rasti apytikslę šaknies reikšmę ir be skaičiuotuvo nustatyti, tarp kokių sveikųjų skaičių yra nurodytoji šaknis. Pavyzdžiui, √50 yra tarp 7 ir 8, nes 7² = 49, o 8² = 64. Toje pačioje temoje praktikuojamasi „įkelti teigiamą skaičių į pošaknį ir iškelti jį prieš šaknies ženklą, taip pat sudauginti to paties laipsnio šaknis ar jas padalyti“. Toje pačioje klasėje aiškinamasi, kurie skaičiai yra racionalieji ir kurie iracionalieji, — apie tai rašėme straipsnyje apie skaičių aibes. Kaip šaknis susijusi su laipsniu, plačiau paaiškinome tekste „Kaip suprasti laipsnius ir šaknis“.
Šaknų savybės vienoje lentelėje
Lentelėje surašytos šaknų savybės, kurių mokomasi nuo aštuntos klasės iki brandos egzamino. Eilutės, pažymėtos „III gimn. kl.“, skirtos gimnazijos trečiai klasei: tada apibendrinama n-tojo laipsnio šaknies sąvoka ir šaknis užrašoma laipsniu su trupmeniniu (racionaliuoju) rodikliu. Tokį laipsnį čia užrašome taip, kaip jis renkamas skaičiuotuve: a^(m/n) reiškia skaičių a, pakeltą laipsniu m/n. Stulpelyje „Kada galioja“ nurodytos sąlygos, kurias lengva pamiršti.
| Savybė | Formulė | Kada galioja | Pavyzdys |
|---|---|---|---|
| Šaknis iš sandaugos | √(a · b) = √a · √b | a ≥ 0, b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| Šaknis iš dalmens | √(a : b) = √a : √b | a ≥ 0, b > 0 | √(9/16) = 3/4 |
| Šaknies kvadratas | (√a)² = a | a ≥ 0 | (√7)² = 7 |
| Šaknis iš kvadrato (III gimn. kl.) | √(a²) = |a| | bet koks a | √((−5)²) = |−5| = 5 |
| Kubinė šaknis iš sandaugos ir dalmens | ∛(a · b) = ∛a · ∛b; ∛(a : b) = ∛a : ∛b | bet kokie a ir b (dalijant b ≠ 0) | ∛(8 · 5) = 2∛5 |
| Kubinė šaknis iš kubo | ∛(a³) = (∛a)³ = a | bet koks a | ∛(−27) = −3 |
| Šaknis iš šaknies (III gimn. kl.) | ⁿ√(ᵐ√a) = ⁿᵐ√a | a ≥ 0 | √(∛64) = ⁶√64 = 2 |
| n-tojo laipsnio šaknų sandauga, dalmuo ir laipsnis (III gimn. kl.) | ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b; ⁿ√(a : b) = ⁿ√a : ⁿ√b; (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ) | a ≥ 0, b ≥ 0 (dalijant b > 0) | ⁴√(2 · 8) = ⁴√16 = 2 |
| Šaknis kaip laipsnis (III gimn. kl.) | a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) | a > 0 | 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4 |
Sąlygos lentelėje atsirado ne be reikalo. Lygybė √(a · b) = √a · √b galioja tik tada, kai abu dauginamieji neneigiami. Sandauga (−4) · (−9) lygi 36, todėl √((−4) · (−9)) = 6, tačiau √(−4) ir √(−9) atskirai neturi prasmės. Dar svarbesnė yra ketvirtoji eilutė: kvadratinė šaknis iš kvadrato lygi ne pačiam skaičiui, o jo moduliui. Kai po šaknies ženklu yra konkretus skaičius, tai matyti iš karto, o kai reiškinys, kurio ženklo iš karto nematyti, — nebe taip akivaizdu. Pavyzdžiui, √((1 − √2)²) = |1 − √2| = √2 − 1, nes 1 − √2 yra neigiamas skaičius. Su raidėmis tas pats: √((x − 3)²) = |x − 3|, o tai lygu x − 3 tik tada, kai x ≥ 3. Programoje lygybė √(a²) = |a| atskirai įrašyta tik gimnazijos trečiai klasei — ir bendrajam, ir išplėstiniam kursui.
Daugumą šių taisyklių galima išvesti iš laipsnių savybių, nes teigiamo skaičiaus šaknis užrašoma laipsniu su trupmeniniu rodikliu: √a = a^(1/2), o ∛a = a^(1/3). Todėl kas gerai moka laipsnių savybes, šaknų savybes išmoksta greitai. Ir atvirkščiai: kai šaknys nesiseka, dažnai verta pasitikrinti, ar tvirtai išmoktos laipsnių taisyklės.
Kaip iškelti dauginamąjį prieš šaknies ženklą
Iškelti dauginamąjį prieš šaknies ženklą reiškia pošaknį išskaidyti dauginamaisiais taip, kad vienas jų būtų tikslusis kvadratas, ir iš jo ištraukti šaknį. Pavyzdžiui, 72 = 36 · 2, todėl √72 = √36 · √2 = 6√2. Panašiai √50 = √(25 · 2) = 5√2, o √12 = √(4 · 3) = 2√3. Patogiausia ieškoti didžiausio tiksliojo kvadrato, iš kurio dalijasi pošaknis, todėl verta mintinai mokėti skaičių kvadratus bent iki 20. Juos surinkome į kvadratų ir kubų lentelę.
Jei didžiausias kvadratas iš karto nepastebimas, nieko blogo neatsitiks — tik veiksmų bus daugiau: √72 = √(4 · 18) = 2√18 = 2√(9 · 2) = 2 · 3√2 = 6√2. Su kubine šaknimi ieškoma tiksliojo kubo: ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2. Paveiksle dauginamojo iškėlimas parodytas geometriškai: keturi kvadratai, kurių plotas 2, sudaro kvadratą, kurio plotas 8, o jo kraštinė yra dvigubai ilgesnė. Todėl √8 = 2√2.
Atvirkštinis veiksmas — skaičiaus įkėlimas į pošaknį. Prieš šaknį esantį dauginamąjį reikia pakelti kvadratu ir padauginti iš pošaknio: 4√3 = √(16 · 3) = √48. Čia lengva suklysti. Gerai tai matyti 2024 m. aštuntokų NMPP (II srauto) užduotyje, kurioje reikėjo pasirinkti, kam lygus 4√3. Siūlyti atsakymai buvo √7, √12, √19 ir √48, ir kiekvieną klaidingą atsakymą galima gauti padarius tam tikrą klaidą: √7 — sudėjus 4 ir 3, √12 — pamiršus pakelti 4 kvadratu, o √19 — pakėlus kvadratu, bet sudėjus vietoj dauginimo. To paties patikrinimo I srauto užduotyje veiksmas buvo atvirkščias: reikėjo įrašyti, kokio skaičiaus trūksta lygybėje √12 = □√3 (atsakymas: 2).
Įkėlimas praverčia lyginant skaičius be skaičiuotuvo. Kuris didesnis: 3√5 ar 5√2? Įkėlus abu dauginamuosius į pošaknį, gaunama √45 ir √50, todėl 5√2 yra didesnis. Su neigiamu dauginamuoju reikia būti atsargiems: programoje kalbama apie teigiamo skaičiaus įkėlimą, o kvadratinė šaknis negali būti neigiama, todėl −2√3 = −√12 (o ne √12) — minusas lieka prieš šaknies ženklą.
Šaknų sudėtis ir atimtis: ką galima sutraukti, o ko ne
Šaknų sudėčiai taisyklės nėra. Lygybė √a + √b = √(a + b) bendruoju atveju neteisinga (ji teisinga tik tada, kai a arba b lygus nuliui), ir lengviausia tuo įsitikinti skaičiais: √9 + √16 = 7, o √(9 + 16) = 5. Tačiau to paties laipsnio šaknis su vienodu pošakniu sudėti galima taip pat, kaip sutraukiami panašieji nariai: 2√3 + 5√3 = 7√3. Dažnai pošakniai iš pradžių atrodo skirtingi, o iškėlus dauginamąjį tampa vienodi: √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3, √8 + 2√2 = 2√2 + 2√2 = 4√2. O √2 + √3 sutraukti negalima — tokia suma ir paliekama atsakyme.
Aštuntokų NMPP šią vietą tikrina nuosekliai. Peržiūrėjome 2024–2026 m. aštuntokų matematikos NMPP užduotis (2024 m. patikrinimas vyko dviem srautais, todėl užduotys buvo dvi) ir kiekvienoje iš keturių radome uždavinį, kuris tikrina, ar mokinys nepainioja šaknų sumos su šaknimi iš sumos:
- 2024 m., I srautas: palyginti √(121 + 64) ir √121 + √64 (kairysis reiškinys yra mažesnis: √185 < 19);
- 2024 m., II srautas: palyginti √144 + √100 ir √(144 + 100), o šalia — √(144 · 100) ir √144 · √100 (pirmoje poroje kairysis reiškinys didesnis, antroje reiškiniai lygūs);
- 2025 m.: apskaičiuoti √64 + √36, kai tarp siūlomų atsakymų yra ir 10, t. y. √(64 + 36);
- 2026 m.: palyginti √(8² + 6²) su skaičiumi 14 (√100 = 10, todėl √(8² + 6²) < 14).
2024 m. II srauto pora ypač vertinga, nes tą pačią mintį parodo iš abiejų pusių: daugybai taisyklė galioja, sudėčiai — ne. O 2026 m. uždavinys susijęs su Pitagoro teorema: √(8² + 6²) — tai stačiojo trikampio, kurio statiniai lygūs 8 ir 6, įžambinė, ir ji lygi 10. Kas yra skaičiavęs įžambinę pagal Pitagoro teoremą, žino, kad ji trumpesnė už abiejų statinių sumą. Tame pačiame 2026 m. patikrinime buvo ir uždavinys, kuriame reikėjo pasirinkti teisingą teiginį apie stačiųjų trikampių įžambines: trikampio, kurio statiniai lygūs 1 ir √3, įžambinė lygi 2, o trikampio, kurio abu statiniai lygūs 1, — ne 2, o √2.
Iracionalumo naikinimas vardiklyje
Trupmena, kurios vardiklyje yra šaknis, nėra klaida, tačiau su ja nepatogu dirbti: sunku įvertinti jos dydį, palyginti su kitais skaičiais ar sudėti su kitomis trupmenomis. Todėl šaknis iš vardiklio dažnai pašalinama — sakoma, kad naikinamas iracionalumas vardiklyje. Kai vardiklyje yra viena kvadratinė šaknis, skaitiklis ir vardiklis padauginami iš tos pačios šaknies: 6/√3 = 6√3/(√3 · √3) = 6√3/3 = 2√3. Kubinės šaknies atveju reikia kito daugiklio: kai vardiklyje yra ∛a, dauginama iš ∛(a²), nes ∛a · ∛(a²) = a.
Kai vardiklyje yra suma arba skirtumas, pavyzdžiui √2 − 1, skaitiklis ir vardiklis dauginami iš jungtinio reiškinio — to paties dvinario, tik su priešingu ženklu tarp narių, t. y. iš √2 + 1. Tada vardiklyje pritaikoma kvadratų skirtumo formulė (a − b)(a + b) = a² − b², kurios aštuntokai mokosi kartu su kitomis greitosios daugybos formulėmis: (√2 − 1)(√2 + 1) = 2 − 1 = 1. Šaknis iš vardiklio išnyksta, nes kvadratinė šaknis, pakelta kvadratu, lygi pošakniui.
Būtent tokio pertvarkymo prireikė 2025 m. gegužės 30 d. vykusioje bendrojo kurso (B) matematikos brandos egzamino pirmojoje dalyje. Reikėjo rasti a ir b, su kuriais teisinga lygybė 40/(√2 − 1) − √2 = a + b√2. Padauginus skaitiklį ir vardiklį iš √2 + 1, gaunama 40(√2 + 1) − √2 = 40 + 39√2, todėl a = 40, o b = 39. Pagal NŠA paskelbtą rezultatų analizę, kurioje uždavinių rezultatai apskaičiuoti 6 597 gimnazijos III–IV klasių mokiniams, abi egzamino dalis laikiusiems pagrindinėje sesijoje, abu taškus už šį uždavinį gavo 42,5 proc. mokinių, o 43,5 proc. negavo nė vieno taško. Įdomu, kad ta pati kvadratų skirtumo idėja buvo ir 2025 m. aštuntokų NMPP užduotyje: reikėjo apskaičiuoti (2√7 − √15)(2√7 + √15). Pritaikius tą pačią formulę, gaunama (2√7)² − (√15)² = 28 − 15 = 13.
Matematikos bendrojoje programoje iracionalumo naikinimas aiškiai įrašytas gimnazijos trečiai klasei. Bendrajame kurse reikia mokėti tai padaryti, kai vardiklyje yra √a, √a + b arba √a − b, o išplėstiniame dar ir tada, kai vardiklyje yra √a ± √b arba ∛a. Ar per PUPP privalu iracionalumą panaikinti, jei uždavinyje to neprašoma? PUPP vertinimo gairėse tarp atvejų, kurie klaida nelaikomi, minima nesuprastinta trupmena arba neišskirta sveikoji dalis (išskyrus atvejus, kai ieškomas dydis turi būti natūralusis skaičius) ir neiškeltas dauginamasis prieš šaknies ženklą, o apie šaknį vardiklyje jose nerašoma. Kai atsakymą reikia pateikti nurodytu pavidalu, kaip a + b√2 anksčiau aprašytame uždavinyje, panaikinti iracionalumą būtina, o kitais atvejais tai daryti saugiau. Beje, PUPP formulių rinkinio trigonometrinių reikšmių lentelėje parašyta tg 30° = √3/3, o ne 1/√3. 2025 m. PUPP vertinimo instrukcijoje vieno uždavinio teisingas atsakymas užrašytas taip: cos α = 2√5/5.
Ką apie šaknis sako formulių rinkiniai
Per tris matematikos patikrinimus šaknų taisyklės pateikiamos labai skirtingai, o per vieną jų — visai nepateikiamos. Lentelėje surašėme, kas duodama aštuntokams, dešimtokams ir brandos egzaminą laikantiems mokiniams. Duomenys paimti iš NMPP 8 klasės matematikos užduoties aprašo, PUPP matematikos užduoties aprašo su formulių rinkiniu ir 2026 m. brandos egzamino bendrojo (B) bei išplėstinio (A) kurso formulių rinkinių.
| Patikrinimas | Šaknų taisyklės formulių rinkinyje | Skaičiuotuvas |
|---|---|---|
| NMPP, 8 klasė | Formulių rinkinys neduodamas, todėl visas taisykles reikia mokėti | Neleidžiamas |
| PUPP, 10 klasė | Skyriuje „Laipsniai ir šaknys“ — keturios šaknų lygybės: √a · √b = √(a · b), √a : √b = √(a : b) ir tos pačios dvi kubinei šakniai. Sąlygos a ≥ 0, b > 0 neužrašytos | Leidžiamas |
| Brandos egzaminas, B kursas | Atskiras skyrius „Šaknys“: (ⁿ√a)ⁿ = a; jei ⁿ√a = b, tai bⁿ = a; sandaugos ir dalmens taisyklės; ⁿ√(ᵐ√a) = ⁿᵐ√a; (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ). Skyriuje „Laipsniai“ — a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) | Leidžiamas |
| Brandos egzaminas, A kursas | Laipsnių ir šaknų skyriaus rinkinyje nėra | Leidžiamas |
Iš lentelės matyti, kad šaknų taisykles mintinai reikia mokėti dviem skirtingoms mokinių grupėms. Pirmoji — aštuntokai: NMPP užduoties apraše tarp leidžiamų priemonių nurodyti tik lapas užrašams ir kompiuteris, o skaičiuotuvu naudotis neleidžiama. Patikrinimą sudaro 35 uždaviniai, už kuriuos iš viso galima surinkti 40 taškų. Šaknų tema į jį įtraukiama: iš aštuntos klasės turinio neįtraukiamos tik konstravimo ir transformacijų, erdvės figūrų, tūrio skaičiavimo bei duomenų interpretavimo temos. Antroji grupė — išplėstinio kurso brandos egzaminą laikantys mokiniai: jų formulių rinkinyje laipsnių ir šaknų skyriaus visai nėra, nors bendrojo kurso rinkinyje šaknims skirta daugiau vietos nei bet kuriame kitame.
Taip pat verta žinoti, kad atspausdinta taisyklė dar negarantuoja, jog mokinys ją pritaikys. 2025 m. bendrojo kurso egzamino pirmojoje dalyje reikėjo reiškinį ∛(5¹¹) užrašyti laipsniu. Formulė a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) buvo atspausdinta ir tais metais galiojusiame bendrojo kurso formulių rinkinyje, tačiau teisingą atsakymą 5^(11/3) pasirinko tik 69,1 proc. mokinių. Dažniausias klaidingas atsakymas, 5^(3/11), gautas apvertus trupmeninį rodiklį; jį pasirinko 15,9 proc. Kokiu kursu laikyti egzaminą, svarstėme straipsnyje apie matematikos A ir B kursus, o PUPP ir brandos egzaminų formulių rinkinius plačiau palyginome egzaminų formulynų apžvalgoje.
Kaip per PUPP vertinami atsakymai su šaknimis
PUPP atliekamas kompiuteriu, elektroninėje testavimo sistemoje. Pasirenkamojo atsakymo uždaviniai ir dalis trumpojo atsakymo uždavinių vertinami automatiškai, o likusius trumpojo atsakymo ir visus pilnojo sprendimo uždavinius tikrina vertintojai. NŠA patvirtintose matematikos PUPP vertinimo gairėse yra keletas konkrečių pavyzdžių, kaip vertinami atsakymai su šaknimis. Svarbiausi iš jų:
- atsakymas √8 laikomas teisingu: neiškeltas dauginamasis prieš šaknies ženklą klaida nelaikomas;
- atsakymas √8 + 2√2 laikomas klaidingu: uždavinyje „Apskaičiuokite √8 + 2√2“ sumą reikėjo sutraukti, pavyzdžiui, į 4√2;
- suapvalinti atsakymą, kai to neprašoma, yra klaida: gairių pavyzdyje parašyta √8 + 2√2 = 2√2 + 2√2 = 5,65, todėl taškas neskiriamas (beje, 4√2 ≈ 5,657, tad suapvalinta ir netiksliai);
- jei sąlygoje apvalinti nenurodyta, tačiau mokinys pateikia ir tikslų, ir suapvalintą atsakymą (√2 ≈ 1,4), tai laikoma nešiurkščia klaida, už kurią uždaviniuose, priskirtuose A (supratimo ir argumentavimo) ir C (problemų sprendimo) pasiekimų sritims, taškas vis tiek skiriamas;
- jei įvedama √x + 1, kai teisingas atsakymas yra √(x + 1), tai laikoma šiurkščia skaitmeninio komunikavimo klaida — dalis reiškinio lieka už šaknies ženklo (tačiau jei iš tolesnių veiksmų matyti, kad skaičiuojama teisingai, taikoma vieno karto taisyklė).
Šie pavyzdžiai rodo paprastą taisyklę: šaknį atsakyme palikti galima, o neatliktą veiksmą — ne. Gairėse aptariami ir keli kiti įprasti atvejai. Jei sąlygoje nurodyta apvalinti, o mokinys suapvalina teisingai, bet parašo √2 = 1,4 vietoj √2 ≈ 1,4, tai laikoma nešiurkščia klaida. Jei diskriminantas vieną kartą sutapatinamas su jo šaknimi (apskaičiavus D = 25, kitoje eilutėje parašoma D = 5), tai nešiurkšti klaida, o grandinėlė D = 25 = √25 = 5 gairėse laikoma du kartus neteisingai užrašytu tarpiniu atsakymu, t. y. šiurkščia klaida. Sprendžiant x² = a pavidalo lygtį geometrijos ar realaus turinio uždavinyje, pavyzdžiui, ieškant atkarpos ilgio pagal Pitagoro teoremą, nenurodytas neigiamas sprendinys klaida nelaikomas. Kuo šiurkščios klaidos skiriasi nuo nešiurkščių, plačiau aprašėme straipsnyje apie klaidų analizę matematikoje, o kada atsakymą apvalinti ir kada ne, — straipsnyje apie skaičių apvalinimą.
Pagal užduoties aprašą PUPP tikrina devintos ir dešimtos klasės turinį, todėl šaknys jame dažniausiai pasirodo ne kaip atskira tema, o kaip įrankis. 2026 m. PUPP 23 uždavinyje buvo žinoma, kad cos α = 0,25 ir sin α > 0, o reikėjo nustatyti, kokį skaičių įrašyti į lygybę 4 sin α = √□. Iš sin² α + cos² α = 1 gaunama sin α = √(15/16) = √15/4, todėl 4 sin α = √15, o į langelį įrašoma 15. Tame pačiame patikrinime trikampio, kurio dvi kraštinės lygios 7 ir 8, o kampas tarp jų 120°, plotas buvo 14√3 — atsakymas taip pat su šaknimi. Kaip tokie skaičiai atsiranda iš sinusų ir kosinusų reikšmių, parodėme straipsnyje apie trigonometrines formules.
Uždaviniai su šaknimis 2025–2026 m. brandos egzamine
Matematikos brandos egzamino pirmąją dalį mokiniai laiko gimnazijos trečioje klasėje, o antrąją — ketvirtoje. Naujausio egzamino pirmoji dalis vyko 2025 m. gegužės 30 d., o antroji — 2026 m. birželio 5 d. Jo statistines analizes NŠA paskelbė 2026 m. spalį: bendrojo kurso egzaminą iš viso laikė 8 006 kandidatai, išplėstinio kurso — 14 017. Uždavinių rezultatai analizėse apskaičiuoti gimnazijos III–IV klasių mokiniams, abi dalis laikiusiems pagrindinėje sesijoje: bendrojo kurso — 6 597, išplėstinio — 13 172. Pirmojoje dalyje radome kelis uždavinius, kuriuose šaknys buvo ne pagalbinis, o pagrindinis dalykas.
| Uždavinys | Ką reikėjo padaryti | Rezultatas |
|---|---|---|
| B kursas, I‑3 (1 taškas) | Išspręsti lygtį √(2 + x) = 5; atsakymas x = 23 | Teisingai išsprendė 70,3 % |
| B kursas, I‑5 (1 taškas) | ∛(5¹¹) užrašyti laipsniu; atsakymas 5^(11/3) | Teisingai 69,1 %; 5^(3/11) pasirinko 15,9 % |
| B kursas, I‑9 (2 taškai) | Rasti sveikąjį a, kai ∛(8 · 5) = a · ∛5 (a = 2) ir kai 16^(−0,5) = 2^a (a = −2) | Abu taškus gavo 55,7 %, nė vieno — 25,4 % |
| B kursas, I‑25 (2 taškai) | Rasti a ir b, kai 40/(√2 − 1) − √2 = a + b√2; atsakymas a = 40, b = 39 | Abu taškus gavo 42,5 %, nė vieno — 43,5 % |
| B kursas, I‑26 (2 taškai) | Išspręsti lygtis 2x³ + 7 = 5 (x = −1) ir 5∛(x − 2) − 10 = 0 (x = 10) | Abu taškus gavo 51,0 %, nė vieno — 23,9 % |
| A kursas, I‑3 (2 taškai) | Apskaičiuoti √((1 − √2)²) : (1 − √2) (= −1) ir (2 · √2 · √√2)⁴ (= 128) | Abu taškus gavo 87,3 %, nė vieno — 2,0 % |
Iš lentelės matyti, kad uždavinius, kuriems pakanka vienos taisyklės (I-3 ir I-5), teisingai išsprendė maždaug septyni mokiniai iš dešimties, o sunkiausias iš jų buvo uždavinys, kuriame reikėjo sujungti kelis veiksmus: panaikinti iracionalumą, atskliausti ir sutraukti šaknis su vienodu pošakniu. Išplėstinio kurso mokiniams, kurių formulių rinkinyje šaknų taisyklių nėra, uždavinys su šaknimi iš kvadrato ir šaknimis iš šaknų sekėsi gerai. Tačiau A ir B kursų egzaminai skirtingi ir juos laiko skirtingos mokinių grupės, todėl šių rezultatų tiesiogiai lyginti negalima. Kaip sudaryta egzamino pirmoji dalis ir kaip jai ruoštis, aprašėme straipsnyje apie matematikos VBE pirmąją dalį.
Tipinės klaidos
Patikrinimų uždaviniai ir vertinimo gairės rodo, kokių klaidų tikisi užduočių rengėjai ir vertintojai:
- šaknis iš sumos išskaidoma į šaknų sumą: √(a + b) laikoma lygia √a + √b;
- įkeliant dauginamąjį į pošaknį, jis nepakeliamas kvadratu: rašoma 4√3 = √12;
- šaknis iš kvadrato prilyginama pačiam skaičiui, o ne jo moduliui: rašoma √((1 − √2)²) = 1 − √2;
- apverčiamas trupmeninis rodiklis: rašoma ∛(5¹¹) = 5^(3/11);
- atsakymas apvalinamas, nors to neprašoma, ir tikslus atsakymas nepaliekamas;
- kompiuteriu įvedant atsakymą, dalis reiškinio lieka už šaknies ženklo.
Pirmąsias tris klaidas galima pastebėti pačiam, įrašius paprastus skaičius. Jei atrodo, kad √(a + b) = √a + √b, verta įrašyti a = 9 ir b = 16. Jei abejojama, ar 4√3 lygus √12, galima abu reiškinius pakelti kvadratu: (4√3)² = 16 · 3 = 48, o (√12)² = 12. Toks patikrinimas užtrunka kelias sekundes ir dažnai padeda labiau nei dar kartą perskaityta formulė.
Kaip išmokti šaknų savybes
Šaknims mokykloje skiriama nedaug laiko. NŠA aštuntos klasės ilgalaikio plano pavyzdyje (2026 m. rugsėjo redakcija) temai „Kvadratinė ir kubinė šaknys“ numatytos šešios pamokos iš šimto, kurias planas suplanuoja iš anksto (dar 44 pamokas mokytojas skirsto savo nuožiūra). Gimnazijos trečios klasės bendrojo kurso plano pavyzdyje (2026 m. spalio redakcija) šaknims skirtos keturios pamokos, išplėstinio kurso plano pavyzdyje (2025 m. rugpjūčio redakcija) — šešios. Devintos ir dešimtos klasės planuose atskiros šaknų temos nėra, nors šaknys nuolat reikalingos sprendžiant kvadratines lygtis, taikant Pitagoro teoremą ar trigonometriją. Todėl tema gali likti neįtvirtinta, o spragą geriausia pastebėti kuo anksčiau.
Pirmas žingsnis — kvadratai ir kubai. Kas mintinai žino skaičių kvadratus iki 20 ir kubus iki 10, tas tiksliųjų kvadratų ir kubų pošaknyje ieško greitai, o iškėlimas prieš šaknies ženklą tampa paprastu veiksmu. Antras žingsnis — kiekvieną atsakymą pasitikrinti atvirkštiniu veiksmu: jei gauta √72 = 6√2, reikia pakelti 6√2 kvadratu ir įsitikinti, kad gaunama 72. Trečias žingsnis — vertinti apytiksliai: jei 6√2 ≈ 6 · 1,41 ≈ 8,5, o √72 yra šiek tiek didesnis už √64 = 8, rezultatai sutampa. Toks įprotis ypač praverčia per NMPP, kai skaičiuotuvu naudotis negalima.
Vyresniems mokiniams verta pradėti nuo laipsnių. Kai laipsnio su trupmeniniu rodikliu prasmė aiški, šaknų savybės tampa laipsnių savybėmis, o tokius uždavinius kaip ∛(5¹¹) arba 16^(−0,5) galima išspręsti per kelias sekundes. Išplėstinio kurso mokiniams, kurių formulių rinkinyje šaknų taisyklių nėra, naudinga patiems susirašyti atmintinę ir kartoti iš jos, kol taisykles įsimins. Skaičiuotuvas, kurį per PUPP ir brandos egzaminą naudoti leidžiama, padeda pasitikrinti atsakymą, tačiau per NMPP jo nebus, o pilnojo sprendimo uždaviniuose vertinami ir tarpiniai žingsniai. Kaip juo naudotis, kad netrukdytų, aprašėme straipsnyje apie mokslinį skaičiuotuvą.
Ką spręsti: uždavinynai nuo 8 klasės iki brandos egzamino
Edtalk parduotuvėje vien šaknims skirtų leidinių nėra, tačiau yra kurso kartojimo uždavinynų ir pasirengimo patikrinimams medžiagos kiekvienam etapui — nuo NMPP iki brandos egzamino. Toliau šiuos leidinius išvardijame pagal klases. Šaknys šių leidinių aprašymuose atskirai neminimos, todėl jais verta naudotis kaip viso kurso kartojimo medžiaga.
Aštuntokams, kurie ruošiasi NMPP, skirtas Vaidoto Mockaus darbo sąsiuvinis „Pakartokime 5–8 klasės matematikos kursą ir pasirenkime 8 klasės NMPP“. Jame dvylika kartojimo užduočių, parengtų pagal atnaujintas programas, o atsakymai pateikti knygos gale. Visą progimnazijos kursą teminiais blokais padės pakartoti to paties autoriaus 5–8 klasių teminio kartojimo uždaviniai. Kas po aštuntos klasės laikys stojamąjį egzaminą į gimnaziją, tam pravers 9 klasės matematikos bandomųjų egzaminų rinkinys: jame šeši A, B ir C lygio egzaminai su sprendimais. Kitą pasirengimo NMPP medžiagą rasite parduotuvės NMPP skiltyje, o stojamiesiems skirtą — stojamųjų egzaminų skiltyje.
Dešimtokams prieš PUPP tinka Mockaus pagrindinės mokyklos 5–10 klasių kurso teminio kartojimo uždaviniai ir PUPP užduočių pavyzdžiai pagal atnaujintą programą. Godos Paskal parengtame PDF rinkinyje „10 klasės matematikos pagrindų stiprinimo uždavinynas“ yra 287 uždaviniai su nuosekliais sprendimais, o tarp jo temų yra ir skaičiai bei reiškiniai. Stipresniems mokiniams skirtas uždavinynas „siekiantiems daugiau“. Visą PUPP medžiagą rasite PUPP matematikos skiltyje.
Gimnazistams, kurie ruošiasi brandos egzamino pirmajai daliai išplėstiniu kursu, skirta Mockaus pasirengimo VBE pirmajai daliai medžiaga, kurioje pirmiausia pateikti teminiai uždaviniai pagal atnaujintą programą, ir išplėstinio kurso VBE pirmosios dalies užduočių pavyzdžiai. Greitai pasitikrinti taisyklę ar formulę padeda „Pati naujausioji matematikos atmintinė moksleiviams“. Visas šio autoriaus knygas rasite Mockaus knygų skiltyje, o brandos egzaminui skirtą medžiagą — VBE matematikos skiltyje.
Kada verta kreiptis į korepetitorių
Jei mokinys vis išskaido šaknį iš sumos, painioja įkėlimą su iškėlimu arba nežino, nuo ko pradėti, kai vardiklyje yra šaknis, tai dažniausiai rodo ne vienos taisyklės, o visos temos spragą. Tokią spragą verta užpildyti prieš NMPP ar PUPP, nes vėliau šaknys pasirodo beveik kiekvienoje temoje — nuo kvadratinių lygčių iki trigonometrijos. Kelios pamokos su mokytoju, kuris peržiūri klaidas ir parenka uždavinius būtent toms vietoms, dažnai padeda greičiau nei savarankiškas visų temų kartojimas. Tinkamą mokytoją padės rasti matematikos korepetitoriaus 8 klasei, 10 klasei ir 12 klasei puslapiai, o visų klasių mokytojus rasite matematikos korepetitorių puslapyje. Kur rasti ankstesnių metų NMPP, PUPP ir brandos egzaminų užduotis pasitreniruoti, aprašėme užduočių archyvo apžvalgoje.
Trumpai
Šaknų savybės leidžia šaknis dauginti, dalyti ir pertvarkyti: √(a · b) = √a · √b, kai a ≥ 0 ir b ≥ 0; √(a : b) = √a : √b, kai a ≥ 0 ir b > 0; (√a)² = a, o √(a²) = |a|. Iš jų išplaukia dauginamojo iškėlimas prieš šaknies ženklą (√72 = 6√2), įkėlimas į pošaknį (4√3 = √48) ir iracionalumo naikinimas vardiklyje (6/√3 = 2√3). Sudėčiai taisyklės nėra: bendruoju atveju √(a + b) ≠ √a + √b, tačiau to paties laipsnio šaknis su vienodu pošakniu sudėti galima (√12 + √27 = 5√3). Kvadratinės ir kubinės šaknies mokomasi aštuntoje klasėje, o n-tojo laipsnio šaknies ir laipsnio su trupmeniniu rodikliu — gimnazijos trečioje. Per aštuntokų NMPP formulių rinkinio ir skaičiuotuvo nėra, PUPP rinkinyje yra keturios šaknų lygybės, bendrojo kurso brandos egzamino rinkinyje — atskiras šaknų skyrius, o išplėstinio kurso rinkinyje šaknų taisyklių nėra. Kiekvienoje 2024–2026 m. aštuntokų NMPP užduotyje buvo tikrinama, ar mokinys nepainioja šaknų sumos su šaknimi iš sumos, o pagal PUPP vertinimo gaires atsakymas √8 laikomas teisingu, bet vien suapvalintas atsakymas, kai apvalinti nereikėjo ir tikslus atsakymas nepaliktas, — klaidingu.
