Per 2025 m. matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimą (PUPP) 23-iajame uždavinyje tiko sinusų teorema, o 2026 m. 15-ajame uždavinyje — kosinusų teorema. Abu uždaviniai buvo verti po tris taškus ir tiek 2025 m. vertinimo instrukcijoje, tiek 2026 m. jos projekte vienas iš tų trijų taškų skirtas už tai, kad mokinys pasirinko tinkamą teoremą ir užrašė ją su uždavinio duomenimis. Pačių formulių per patikrinimą prisiminti nereikia: jos išspausdintos PUPP formulių rinkinyje ir abiejų kursų brandos egzamino formulių lapuose. Vadinasi, tikrinama ne atmintis, o gebėjimas iš duomenų atpažinti, kuri teorema tinka, ir nesuklysti, kai kampas bukasis. Šiame straipsnyje paaiškiname, ką teigia kiekviena teorema, kaip greitai nuspręsti, kurią taikyti, kaip Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) sprendė ir vertino abu tikrus PUPP uždavinius ir kokių užrašymo klaidų vertinimo gairės neatleidžia.
Trumpai: sinusų teorema teigia, kad kiekvienos trikampio kraštinės ir prieš ją esančio kampo sinuso santykis yra tas pats: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R; čia R — apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys. Kosinusų teorema teigia, kad a² = b² + c² − 2bc · cos A; čia A — kampas tarp kraštinių b ir c. Kosinusų teorema tinka, kai žinomos dvi kraštinės ir kampas tarp jų arba visos trys kraštinės. Sinusų teorema tinka, kai žinomas kampas ir prieš jį esanti kraštinė bei dar vienas kampas arba kraštinė. Šių teoremų mokomasi 10 (II gimnazijos) klasėje, o tiek 2025, tiek 2026 m. PUPP užduotyje buvo po pilnojo sprendimo uždavinį šia tema.
Ką teigia sinusų teorema
Sinusų teorema sieja kiekvieną trikampio kraštinę su prieš ją esančiu kampu. Pažymėkime trikampio kraštines a, b ir c, o prieš jas esančius kampus — A, B ir C. Tada teisinga lygybė a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R. Visuotinė lietuvių enciklopedija šią teoremą apibūdina kaip nusakančią plokščiojo trikampio kraštinių ir prieš jas esančių kampų sinusų priklausomybę. Paprasčiau tariant, kraštinės ilgis proporcingas prieš ją esančio kampo sinusui.
Paskutinė lygybės dalis nusako dar vieną sąryšį: šis santykis lygus apie trikampį apibrėžto apskritimo skersmeniui 2R. Bendrojoje programoje tai įrašyta atskiru sakiniu — „pagrindžiamas sinusų teoremos ir apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulio ilgio sąryšis“, todėl uždavinys rasti apibrėžto apskritimo spindulį priklauso tai pačiai temai. Kaip šis apskritimas susijęs su įbrėžtiniais kampais, aiškinome straipsnyje apie centrinį ir įbrėžtinį kampą.
Kodėl teorema teisinga, galima parodyti keliomis eilutėmis. Iš viršūnės C nuleiskime aukštinę h į kraštinę AB. Stačiajame trikampyje prie viršūnės A aukštinė h = b · sin A, o stačiajame trikampyje prie viršūnės B ta pati aukštinė h = a · sin B. Abi išraiškos lygios, todėl a · sin B = b · sin A, o padalijus abi lygybės puses iš sin A · sin B gaunama a / sin A = b / sin B. Jei kampas B bukasis, aukštinė nuleidžiama į kraštinės tęsinį, bet rezultatas nesikeičia, nes sin(180° − B) = sin B.
Tiesiogiai teorema taikoma, kai žinomi du kampai ir viena kraštinė. Tarkime, A = 45°, B = 60° ir a = 10. Tada b = a · sin B / sin A = 10 · (√3/2) / (√2/2) = 5√6 ≈ 12,25, o trečiasis kampas C = 180° − 45° − 60° = 75°.
Ką teigia kosinusų teorema
Kosinusų teorema leidžia rasti trečiąją kraštinę, kai žinomos dvi kraštinės ir kampas tarp jų: a² = b² + c² − 2bc · cos A. Svarbiausi čia žodžiai „kampas tarp jų“. PUPP formulių rinkinyje tai pasakyta aiškiai: A yra „trikampio kampo, esančio tarp kraštinių, kurių ilgiai b ir c, didumas“. Teorema galioja bet kuriai kraštinei, todėl ją galima užrašyti ir b² = a² + c² − 2ac · cos B, ir c² = a² + b² − 2ab · cos C. Visais atvejais kairėje lygybės pusėje yra kraštinė, esanti prieš tą kampą, kurio kosinusas yra dešinėje.
Kai kampas A statusis, cos 90° = 0, paskutinis narys lygus nuliui ir lieka a² = b² + c². Tai Pitagoro teorema, todėl kosinusų teoremą galima laikyti jos apibendrinimu bet kuriam trikampiui. Šis ryšys pravers ir per patikrinimą: Pitagoro teoremos PUPP formulių rinkinyje nėra, o kosinusų teorema yra; įrašius į ją 90°, gaunama būtent Pitagoro teorema.
Jei žinomos visos trys kraštinės, iš tos pačios lygybės galima išreikšti kampo kosinusą: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). Kosinuso ženklas iš karto pasako, koks tai kampas: kai kosinusas teigiamas, kampas smailusis, kai lygus nuliui — statusis, o kai neigiamas — bukasis. Pavyzdžiui, trikampio, kurio kraštinės yra 3, 5 ir 7, didžiausias kampas yra prieš ilgiausią kraštinę: cos C = (9 + 25 − 49) / 30 = −0,5, todėl C = 120°.
Kurią teoremą rinktis: sprendžia duomenys
Uždavinio klausimas retai pasako, kurią teoremą taikyti. Tai pasako duomenys, todėl prieš skaičiuojant verta brėžinyje pažymėti, kas žinoma. Sinusų teoremai reikia bent vienos žinomos poros „kampas ir prieš jį esanti kraštinė“. Jei tokios poros nėra net apskaičiavus trečiąjį kampą, lieka kosinusų teorema. Visi galimi atvejai telpa į keturias eilutes:
| Kas žinoma | Kurią teoremą taikyti | Ką pirmiausia randame |
|---|---|---|
| Dvi kraštinės ir kampas tarp jų | Kosinusų | Trečiąją kraštinę |
| Visos trys kraštinės | Kosinusų | Kampą, pirmiausia didžiausią (prieš ilgiausią kraštinę) |
| Du kampai ir viena kraštinė | Sinusų (trečiasis kampas — iš 180°) | Kitas dvi kraštines |
| Dvi kraštinės ir kampas prieš vieną iš jų | Sinusų arba kosinusų (kaip kvadratinė lygtis) | Kitą kampą arba trečiąją kraštinę; gali būti du trikampiai |
Patarimas antroje eilutėje pradėti nuo didžiausio kampo nėra atsitiktinis. Bukasis trikampio kampas gali būti tik vienas ir tik prieš ilgiausią kraštinę. Kai didžiausias kampas jau žinomas, likusieji tikrai smailieji, todėl juos galima skaičiuoti ir sinusų teorema, nesirūpinant antruoju galimu kampu. Ketvirtoji eilutė vienintelė, kurioje jau pirmajam žingsniui tinka bet kuri iš dviejų teoremų, bet nė viena neduoda atsakymo be papildomo patikrinimo. Būtent toks buvo 2025 m. PUPP uždavinys, todėl jį aptariame atskirai.
2026 m. PUPP: kosinusų teorema su 120° kampu
2026 m. PUPP 15-ajame uždavinyje buvo pateiktas trikampio ABC brėžinys: AB = 7, BC = 8, o kampas B tarp šių kraštinių lygus 120°. Pirmoje dalyje reikėjo parodyti, kad trikampio plotas lygus 14√3 (1 taškas), antroje — apskaičiuoti kraštinės AC ilgį ir pateikti sprendimą (2 taškai). NŠA paskelbtame užduoties aptarime su vertinimo instrukcijos projektu abi dalys išspręstos vos keliomis eilutėmis: S = ½ · 7 · 8 · sin 120° = 28 · √3/2 = 14√3 ir AC² = 7² + 8² − 2 · 7 · 8 · cos 120° = 49 + 64 + 56 = 169, taigi AC = 13.
Plotui reikia formulės S = ½ab · sin C, kuri taip pat yra formulių rinkinyje. Kadangi atsakymas jau įrašytas sąlygoje, taškas skiriamas už teisingai gautą plotą, t. y. už skaičiavimą, iš kurio jis gaunamas. Antroje dalyje vienas taškas skiriamas už pasirinktą teisingą sprendimo būdą (instrukcijoje patikslinta: už kosinusų teoremos taikymą), o kitas — už teisingą atsakymą.
Visas šio uždavinio sunkumas slypi viename ženkle. Formulių rinkinio lentelėje nurodyta, kad cos 120° = −½. Tada −2 · 7 · 8 · (−½) = +56, todėl skaičiai sudedami. Mokinys, kuris kosinusą paims su pliuso ženklu arba įrašys cos 60°, gaus 49 + 64 − 56 = 57 ir AC = √57 ≈ 7,55. Tokį atsakymą galima atmesti net neperskaičiavus: prieš bukąjį kampą esanti kraštinė turi būti ilgiausia trikampio kraštinė, o 7,55 yra mažiau už 8. Šis patikrinimas trunka vos kelias sekundes ir apsaugo nuo vienos dažniausių šios temos klaidų.
Aptarime parašytas ir antrasis lygties sprendinys AC = −13 su pastaba „netinka“, bet rašyti jo nebūtina. PUPP vertinimo gairėse nurodyta, kad geometriniame uždavinyje neparašytas neigiamas x² = a tipo lygties sprendinys klaida nelaikomas. Tas pats trikampis tinka ir sinusų teoremos išvadai pritaikyti: 13 / sin 120° = 2R, todėl apibrėžto apskritimo spindulys R = 13/√3 ≈ 7,51.
2025 m. PUPP: sinusų teorema ir antrasis kampas
2025 m. PUPP 23-iojo uždavinio sąlyga buvo tokia: „Trikampio ABC kraštinės AB ilgis 8, kraštinės BC ilgis 4√6. Yra žinoma, kad kampo BAC didumas lygus 60°, o AD yra kampo BAC pusiaukampinė. Nustatykite kampo ADC didumą laipsniais“. Uždavinys buvo vertas trijų taškų. Žinomas kampas A = 60° ir prieš jį esanti kraštinė BC = 4√6 sudaro reikiamą porą, o prieš nežinomą kampą C yra žinoma kraštinė AB = 8. Todėl 2025 m. vertinimo instrukcijoje sprendimas pradedamas sinusų teorema: 4√6 / sin 60° = 8 / sin C, todėl sin C = √2/2.
Pirmas taškas skiriamas už pasirinktą teisingą sprendimo būdą (instrukcijoje — „pvz., sinusų teoremos taikymą“), antras — už teisingai gautą kampo BCA sinuso reikšmę, trečias — už atsakymą. Lygybę sin C = √2/2 tenkina du kampai, 45° ir 135°, tačiau 135° netinka: kartu su 60° kampu jis sudarytų 195°, o tai daugiau už visų trikampio kampų sumą. Pusiaukampinė AD dalija 60° kampą pusiau, todėl kampas DAC lygus 30°, o trikampyje ADC kampas ADC = 180° − (45° + 30°) = 105°.
Instrukcijoje yra dvi pastabos, kurios daug pasako apie vertinimą. Trečiasis taškas skiriamas ir tada, kai mokinys, gavęs 45°, iš karto parašo, kad kampas ADC lygus 105°, ir tada, kai 135° kampo jis išvis neparašo. Šiame uždavinyje vertintojui svarbu, kad sprendimas būtų teisingas, o ne kad būtų užrašytas kiekvienas tarpinis žingsnis. Žodis „pvz.“ prie sprendimo būdo taip pat reikšmingas: pažymėjus AC = x, kosinusų teorema duoda lygtį 96 = 64 + x² − 8x, kurios teigiamas sprendinys yra x = 4 + 4√3. Tačiau tada kampą C dar reikėtų apskaičiuoti atskirai, todėl šiame uždavinyje sprendimas sinusų teorema gerokai trumpesnis.
Kodėl sinusas kartais duoda du kampus
Iš sinuso reikšmės kampas nustatomas ne vienareikšmiškai, nes sin x = sin(180° − x). Tai matyti ir PUPP formulių rinkinio lentelėje: sin 45° ir sin 135° abu lygūs √2/2, o sin 30° ir sin 150° — ½. Todėl kaskart, kai sinusų teorema naudojama kampui rasti, reikia patikrinti abi galimas reikšmes: x ir 180° − x.
2025 m. uždavinyje antroji reikšmė atkrito, bet taip būna ne visada. Tarkime, a = 6, A = 30° ir b = 8. Tada sin B = 8 · 0,5 / 6 = 2/3, o B ≈ 41,8° arba B ≈ 138,2°. Tinka abu kampai, nes ir 30° + 138,2° yra mažiau už 180°. Taigi tuos pačius duomenis atitinka du skirtingi trikampiai: viename trečioji kraštinė lygi maždaug 11,4, kitame — maždaug 2,5. Jei uždavinyje yra brėžinys, jis paprastai parodo, kuris trikampis turimas omenyje; jei brėžinio nėra, gali tekti pateikti abu atsakymus.
Ar du trikampiai įmanomi, galima nuspręsti iš anksto. Jei žinomas kampas yra prieš ilgesniąją iš dviejų žinomų kraštinių, trikampis tik vienas. Taip buvo ir 2025 m.: 60° kampas yra prieš kraštinę 4√6 ≈ 9,8, o ji ilgesnė už 8. Du trikampiai gaunami tik tada, kai žinomas kampas smailusis, yra prieš trumpesniąją kraštinę ir ši kraštinė vis dėlto ilgesnė už b · sin A, kaip ką tik nagrinėtame pavyzdyje (6 daugiau už 8 · 0,5 = 4). Kai kampas randamas iš kosinuso, tokių spąstų nėra: smailiojo ir bukojo kampo kosinusų ženklai skirtingi, todėl iš kosinuso kampas nustatomas vienareikšmiškai. Dėl to, kai žinomos visos trys kraštinės, kampą saugiau skaičiuoti kosinusų teorema.
Kaip sinusų teorema padeda išmatuoti nepasiekiamus atstumus
Sinusų teorema praktiškai naudinga ten, kur atstumo negalima išmatuoti tiesiogiai. Tarkime, reikia sužinoti upės plotį. Savo krante pažymimi du taškai A ir B, atstumas tarp jų 100 m, o iš abiejų taškų išmatuojami kampai tarp atkarpos AB ir krypties į medį C kitame krante: prie A — 70°, prie B — 60°. Tada kampas C lygus 50°, o pagal sinusų teoremą AC = 100 · sin 60° / sin 50° ≈ 113,1 m. Upės plotis yra atstumas nuo taško C iki tiesės AB, t. y. AC · sin 70° ≈ 106 m.
Tokiu būdu, vadinamu trianguliacija, XIX amžiuje buvo išmatuotas Struvės geodezinis lankas — matavimo punktų grandinė nuo Šiaurės Norvegijos iki Juodosios jūros. Visuotinė lietuvių enciklopedija nurodo, kad matavimai truko 1816–1855 m., nuo 2005 m. lankas yra pasaulio paveldo vertybė, o trys jo punktai yra Lietuvoje: Gireišių, Meškonių ir Paliepiukų. Matininkai tiesiogiai išmatuodavo tik kelias atkarpas, vadinamąsias bazes, o kitų trikampių kraštines apskaičiuodavo iš išmatuotų kampų.
Ką duoda formulių rinkinys ir ko jame nėra
Per PUPP mokiniai gauna išspausdintą formulių rinkinį, kuris yra PUPP užduoties aprašo priedas. Trigonometrijos skyriuje yra sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α ir reikšmių lentelė kampams nuo 30° iki 150°, todėl joje yra ir bukųjų kampų reikšmės: cos 120° = −½, cos 135° = −√2/2, cos 150° = −√3/2. Toliau išspausdinta sinusų teorema su išvada apie 2R, kosinusų teorema su paaiškinimu, kad kampas yra tarp kraštinių b ir c, ir penkios trikampio ploto formulės: S = ½ah, S = ½ab · sin C, Herono formulė, S = rp ir S = abc / (4R).
Brandos egzamino formulių lapuose abi teoremos irgi yra, tačiau pateiktos kitaip. Bendrojo kurso lape jos įvardytos: šalia formulių parašyta „kosinusų teorema“ ir „sinusų teorema ir jos išvada“. Išplėstinio kurso lape prie žodžio „Trikampis“ tos pačios formulės išrašytos be pavadinimų, todėl jas reikia atpažinti iš išvaizdos. Be to, abiejų brandos egzamino lapų reikšmių lentelės baigiasi ties 90°. Abiturientas, kuriam prireiks cos 120°, turės jį apskaičiuoti pats: cos(180° − α) = −cos α, todėl cos 120° = −cos 60° = −½. Kuo skiriasi visi trys formulių lapai, plačiau rašėme straipsnyje apie trigonometrines formules.
Ko nėra nė viename lape? Nėra taisyklės, kada kurią teoremą taikyti, priminimo, kad iš sinuso reikšmės gaunami du galimi kampai, ir fakto, kad prieš didesnę kraštinę yra didesnis kampas. Visa tai mokinys turi žinoti pats ir parodyti sprendime. Kita vertus, vertinimo gairėse nurodyta, kad formulę, esančią formulių lape, mokinys gali taikyti iš karto, įrašydamas skaičius, o rašyti jos simboliais nebūtina. Taigi eilutė AC² = 7² + 8² − 2 · 7 · 8 · cos 120° jau laikoma teoremos taikymu, už kurį skiriamas taškas.
Už ką vertinimo gairės taško neskiria
Matematikos PUPP vertinimo gairės (NŠA, 2025 m. gegužės 14 d. įsakymas Nr. VK-438) neatidumo ir komunikavimo klaidas skirsto į šiurkščias, už kurias taškas neskiriamas, ir nešiurkščias, už kurias taškas paprastai skiriamas. Trigonometrijai taikoma vadinamoji esminių sampratų taisyklė (ji apima ir procentus). Šiurkščia klaida laikoma, kai kampo didumas painiojamas su jo sinusu, kosinusu ar tangentu, ir gairėse pateiktas pavyzdys „cos α = 60°“. Ta pati klaida būtų ir skubotas užrašas sin C = √2/2 = 45°: abu skaičiai teisingi, bet lygybės ženklas teigia, kad sinusas lygus kampui. Teisingai rašoma taip: sin C = √2/2, todėl C = 45°.
Šiurkščia klaida laikomas ir neapskliaustas trigonometrinės funkcijos argumentas, kai jis yra suma ar skirtumas, pavyzdžiui, „sin180° − α“ vietoj sin(180° − α). O štai neparašytas laipsnio ženklas, pavyzdžiui, „α = 60“, priskirtas nešiurkščioms klaidoms. Ribą turi ir praleistas kampo žymuo: jei sin² ar cos² be α parašyta ne daugiau kaip pusėje vietų, klaida nešiurkšti, o jei dažniau — jau šiurkšti.
Dar viena gairių taisyklė ypač svarbi šiai temai, nes uždavinį dažnai galima spręsti dviem būdais. Jei pateikiami keli to paties uždavinio sprendimai ir bent vienas iš jų neteisingas, visas sprendimas vertinamas 0 taškų. Mokinys, kuris pradėjo spręsti sinusų teorema, persigalvojo ir parašė kosinusų teoremą, turi ištrinti nereikalingą sprendimą arba aiškiai pažymėti jį kaip netinkamą. Kaip užrašyti sprendimą, kad nė vienas taškas nepasimestų, išsamiau aiškinome straipsnyje „Kaip užrašyti matematikos sprendimą“, o kaip pagal oficialią instrukciją namuose įvertinti išspręstą užduotį — straipsnyje apie vertinimo instrukciją.
Dažniausios klaidos ir kaip jas pagauti
Daugumos klaidų šioje temoje priežastis yra ne teoremos nežinojimas. Jos atsiranda skaičiuojant, todėl jų verta sąmoningai ieškoti:
- Į kosinusų teoremą įrašomas ne tas kampas. Formulėje kampas visada yra tarp dviejų dešinėje lygybės pusėje esančių kraštinių ir prieš kraštinę, esančią kairėje.
- Bukojo kampo kosinusas paimamas be minuso ženklo. Patikrinimas paprastas: prieš bukąjį kampą esanti kraštinė turi būti ilgiausia.
- Painiojama veiksmų tvarka: skirtumas b² + c² − 2bc dauginamas iš kosinuso, nors iš b² + c² turi būti atimta visa sandauga 2bc · cos A.
- Skaičiuotuve įjungtas radianų režimas: tada sin 60 rodo maždaug −0,305, o ne 0,866.
- Iš sinuso reikšmės užrašomas tik vienas kampas, nors antrasis, 180° − x, gali tikti.
- Pamirštama ištraukti šaknį iš a² arba tarpiniai skaičiai suapvalinami per anksti, todėl galutinis atsakymas nukrypsta.
Po kiekvieno skaičiavimo verta greitai patikrinti tris dalykus: ar kampų suma lygi 180°, ar prieš didžiausią kampą yra ilgiausia kraštinė ir ar ilgiausia kraštinė trumpesnė už kitų dviejų kraštinių sumą. Toks patikrinimas neužima nė minutės, o pagauna daug skaičiavimo klaidų. Kur skaičiuotuvas dažniausiai atsako teisingai, bet ne į tą klausimą, ir kaip patikrinti laipsnių režimą, rašėme straipsnyje apie tai, kaip naudotis moksliniu skaičiuotuvu.
Kada šių teoremų mokomasi ir kaip pasiruošti PUPP
Pagal matematikos bendrąją programą sinusų ir kosinusų teoremų mokomasi 10 (II gimnazijos) klasėje, temoje „Įvadas į trigonometriją“. Programoje parašyta, kad įrodoma trikampio ploto formulė su sinusu, kosinusų ir sinusų teoremos ir „mokomasi jas taikyti nežinomiems trikampio elementams rasti“. Naujausiame NŠA dešimtos klasės matematikos ilgalaikio plano pavyzdyje šiai temai numatyta 14 pamokų. PUPP užduotyje gali būti uždavinių iš viso 9 klasės kurso ir iš 10 klasės kurso, išskyrus sritį „Duomenys ir tikimybės“, todėl trikampių sprendimas į patikrinimą patenka. Ką dešimtokui verta žinoti apie visus tos klasės metus, aptarėme straipsnyje apie matematiką 10 klasėje, o kaip PUPP rezultatas virsta pažymiu, — straipsnyje apie PUPP vertinimą.
Pasiruošimą verta pradėti ne nuo formulių, o nuo atpažinimo. Pakanka paimti dešimt skirtingų trikampio uždavinių ir prie kiekvieno, dar nieko neskaičiuojant, užrašyti, kuri lentelės eilutė tinka. Kai tai pavyksta be klaidų, pats skaičiavimas tampa tik technikos reikalu. Antrasis žingsnis — bukieji kampai: 120°, 135° ir 150° reikšmės yra PUPP lape, bet brandos egzamino lapuose jų nėra, todėl tie, kurie ruošiasi ir VBE, turėtų mokėti jas gauti iš formulių sin(180° − α) = sin α ir cos(180° − α) = −cos α. Tikras ankstesnių metų PUPP užduotis NŠA skelbia savo svetainėje, jas galima spręsti nemokamai, o kur rasti visą archyvą, aprašėme straipsnyje apie NMPP, PUPP ir VBE užduočių archyvą.
Trečiasis žingsnis — sprendimai su visa eiga. Kadangi taškai skiriami už žingsnius, naudinga ne tik palyginti atsakymą, bet ir pažiūrėti, kurioje sprendimo vietoje pasirenkama teorema ir kaip ji užrašoma. Tam tinka 10 klasės matematikos pagrindų stiprinimo uždavinynas: 287 uždaviniai, skirti pasiruošti PUPP, tarp jų ir geometrijos, bei atskiras 185 puslapių sprendimų failas su detalia eiga. Patikrinimo formatu treniruotis padeda Vaidoto Mockaus 10 klasės PUPP užduočių pavyzdžiai, parengti pagal atnaujintą programą, o viso pagrindinės mokyklos kurso kartojimui skirti jo 5–10 klasių kartojimo uždaviniai su atsakymais. Stipresniems mokiniams skirtas uždavinynas „Siekiantiems daugiau“ — 359 uždaviniai su išsamiais sprendimais, o prie jo galima užsisakyti ir 60 minučių gilinimo pamoką su mokytoju.
Oficialiame formulių lape formulės pateiktos be pavyzdžių. Mockaus formulių ir taisyklių rinkinyje šalia formulių pateikti ir jų taikymo pavyzdžiai, o trumpesnė jo matematikos atmintinė tinka greitam pasitikrinimui. Vyresniųjų klasių mokiniams, kurie prieš brandos egzaminą kartoja visą kursą, skirta Mockaus teminio kartojimo knyga „Ar jau pasirengęs? 2 dalis“ ir VBE antrosios dalies užduočių pavyzdžiai išplėstiniam kursui. Visą PUPP pasiruošimo medžiagą rasite PUPP matematikos skiltyje, brandos egzaminui skirtą — VBE matematikos skiltyje, o visas Mockaus knygas — jo knygų puslapyje.
Kada verta kreiptis į korepetitorių
Korepetitoriaus pagalbos verta ieškoti tada, kai mokinys formules žino, bet išspręstame uždavinyje vis tiek negali paaiškinti, kodėl pasirinko vieną ar kitą teoremą, arba kai ta pati klaida — minuso ženklas, radianai, pamirštas antrasis kampas — kartojasi kelis kartus iš eilės. Tokias spragas sunku pastebėti pačiam, nes atsakymas dažnai atrodo įtikinamai. Gerai pamokai pakanka kelių uždavinių, kuriuos mokinys sprendžia garsiai aiškindamas kiekvieną žingsnį, o mokytojas iškart pastebi, kur samprotavimas nukrypsta. Edtalk platformoje galima rasti matematikos korepetitorių 10 klasei, o visą pasiūlą pagal miestą ir pamokų formatą — matematikos korepetitorių puslapyje.
