Išvestinės taikymas: ekstremumai, didžiausia reikšmė ir optimizavimo uždaviniai

2025 m. matematikos brandos egzamino bendrojo kurso antrojoje dalyje buvo uždavinys apie stačiakampio gretasienio formos dėžutę. Didžiausią jos tūrį, 1536 cm³, teisingai apskaičiavo 39 % laikiusiųjų. Tačiau parodyti, kodėl tūris didžiausias būtent tada, kai trumpesnioji pagrindo briauna lygi 8 cm, visiškai pavyko tik 6,8 %, o 84,5 % už šią uždavinio dalį negavo nė vieno taško. Toliau paaiškiname, kaip naudojantis išvestine rasti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, ekstremumus ir didžiausią reikšmę, kaip spręsti optimizavimo uždavinius ir kaip užrašyti sprendimą, kad būtų įskaitytas ir pagrindimas.

Trumpai: funkcija didėja ten, kur išvestinė teigiama, ir mažėja ten, kur ji neigiama. Taškai, kuriuose išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja, vadinami kritiniais. Jei pereinant per kritinį tašką išvestinės ženklas keičiasi iš pliuso į minusą, tai maksimumo taškas, o jei iš minuso į pliusą, tai minimumo taškas. Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė uždarame intervale randama palyginus funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose ir intervalo galuose. Optimizavimo uždavinyje pirmiausia iš sąlygos sudaroma funkcija, o tada ji tiriama tuo pačiu būdu.

Ką išvestinės ženklas pasako apie funkciją

Išvestinė f′(x) parodo, kaip sparčiai keičiasi funkcijos reikšmė, kai argumentas truputį padidėja. Geometriškai ji lygi funkcijos grafiko liestinės krypties koeficientui. Jei visame intervale išvestinė teigiama, grafikas tame intervale kyla ir funkcija didėja; jei neigiama, grafikas leidžiasi ir funkcija mažėja. Taške, kuriame išvestinė lygi nuliui, liestinė lygiagreti x ašiai. Jei pati išvestinės sąvoka dar neaiški, verta pradėti nuo straipsnio apie tai, kaip suprasti išvestines; čia kalbėsime apie tai, kam ji naudojama.

Išvestinė turi ir fizikinę prasmę: jei s(t) yra nuvažiuotas kelias, tai s′(t) yra momentinis greitis. 2026 m. išplėstinio kurso egzamino 14 uždavinyje (2 taškai) testuojamos transporto priemonės nuvažiuotą kelią nusakė funkcija s(t) = 5t² + 40t, o klausta, koks buvo greitis praėjus 2 valandoms nuo testavimo pradžios. Kadangi s′(t) = 10t + 40, greitis v(2) = 60 km/h. Uždavinys trumpas, bet jis tikrina, ar mokinys supranta, ką išvestinė reiškia, o ne tik ar moka ją apskaičiuoti.

Kritiniai taškai ir ekstremumai

Kritiniu tašku vadinamas funkcijos apibrėžimo srities vidinis taškas, kuriame jos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja; Visuotinėje lietuvių enciklopedijoje paminėtas ir atvejis, kai ji lygi begalybei. Funkcijos ekstremumai, t. y. maksimumai ir minimumai, gali būti tik kritiniuose taškuose, tačiau ne kiekvienas kritinis taškas yra ekstremumo taškas. Todėl kritinius taškus reikia ne tik rasti, bet ir ištirti.

Panagrinėkime funkciją f(x) = x³ − 3x. Jos išvestinė f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), todėl kritiniai taškai yra x = −1 ir x = 1. Išvestinė teigiama, kai x < −1, neigiama, kai −1 < x < 1, ir vėl teigiama, kai x > 1. Taške x = −1 išvestinės ženklas keičiasi iš pliuso į minusą, todėl tai maksimumo taškas, o funkcijos maksimumas f(−1) = 2. Taške x = 1 ženklas keičiasi iš minuso į pliusą, taigi tai minimumo taškas, o minimumas f(1) = −2.

Vien lygybė f′(x) = 0 ekstremumo neįrodo. Funkcijos f(x) = x³ išvestinė 3x² lygi nuliui, kai x = 0, bet abipus nulio ji teigiama, todėl funkcija didėja ir prieš nulį, ir po jo, o ekstremumo nėra. Dar vienas dalykas, kurį lengva supainioti: maksimumas nėra tas pats, kas didžiausia funkcijos reikšmė. Maksimumas yra didžiausia reikšmė tik tam tikroje to taško aplinkoje. Funkcijos x³ − 3x maksimumas lygus 2, bet, pavyzdžiui, reikšmė f(3) = 18 už jį didesnė. Kuri reikšmė didžiausia nagrinėjamame intervale, sprendžiama atskirai.

Kaip perskaityti išvestinės grafiką

Kartais egzamine pateikiamas ne funkcijos, o jos išvestinės grafikas. 2025 m. išplėstinio kurso 10 uždavinyje (1 taškas) išvestinės grafikas buvo parabolė, kurios viršūnė yra taškas (1; −4), o x ašį ji kerta taškuose (−1; 0) ir (3; 0). Reikėjo nurodyti intervalą, kuriame funkcijos reikšmės mažėja. Atsakymas — (−1; 3), nes būtent ten išvestinės grafikas yra žemiau x ašies, t. y. išvestinė neigiama. Teisingai atsakė 48,5 % laikiusiųjų.

Lengva suklysti, jei į išvestinės grafiką žiūrima kaip į pačios funkcijos grafiką ir pasirenkama ta jo dalis, kuri leidžiasi, t. y. kai x < 1. Ten mažėja išvestinė, o ne funkcija. Taisyklė paprasta: funkcijos didėjimą ir mažėjimą rodo ne tai, ar išvestinės grafikas kyla, ar leidžiasi, o tai, ar jis yra virš x ašies, ar žemiau jos. Taškai, kuriuose išvestinės grafikas kerta x ašį, yra funkcijos ekstremumo taškai: šiame uždavinyje x = −1 yra maksimumo, o x = 3 — minimumo taškas.

Didžiausia ir mažiausia reikšmė uždarame intervale

Jei funkcija tolydi uždarame intervale [a; b], ji jame būtinai įgyja ir didžiausią, ir mažiausią reikšmę — tai teigia Weierstrasso teorema. Kandidatų nedaug: intervalo viduje esantys kritiniai taškai ir du intervalo galai. Todėl pakanka rasti kritinius taškus, atmesti tuos, kurie nepatenka į intervalą, ir apskaičiuoti funkcijos reikšmes likusiuose taškuose bei abiejuose intervalo galuose. Didžiausia iš gautų reikšmių ir yra didžiausia funkcijos reikšmė tame intervale, mažiausia — mažiausia.

Grįžkime prie tos pačios funkcijos f(x) = x³ − 3x, tik dabar intervale [0; 3]. Iš dviejų kritinių taškų į intervalą patenka tik x = 1, o x = −1 atmetamas. Reikšmės: f(0) = 0, f(1) = −2 ir f(3) = 18. Didžiausia reikšmė lygi 18 ir įgyjama intervalo gale x = 3, nors išvestinė ten nelygi nuliui: f′(3) = 24. Mažiausia reikšmė lygi −2. Šis pavyzdys parodo, kodėl intervalo galų negalima praleisti: tikrindami tik kritinius taškus, didžiausios reikšmės nebūtume radę.

Atvirame intervale taip lyginti negalima, nes galai jam nepriklauso, o didžiausios reikšmės gali ir nebūti. Optimizavimo uždaviniuose kintamojo reikšmių intervalas paprastai būna atviras, pavyzdžiui, 0 < x < 12, todėl ten didžiausią reikšmę pagrindžia išvestinės ženklai abipus kritinio taško.

Optimizavimo uždaviniai: keturi žingsniai

Optimizavimo uždavinyje reikia rasti tokią kraštinės ilgio, kampo didumo ar kito dydžio reikšmę, su kuria tūris, plotas ar sąnaudos būtų didžiausi arba mažiausi. Pati išvestinė apskaičiuojama trečiame žingsnyje, o 2025 m. egzamino statistika rodo, kad daugiausia taškų prarasta antrame ir ketvirtame. Sprendimą patogu rašyti šiais keturiais žingsniais:

• Kintamasis ir jo ribos. Vieną nežinomą dydį pažymėkite x ir užrašykite, kokias reikšmes jis gali įgyti, pavyzdžiui, 0 < x < 12. Šias ribas nustatykite iš sąlygos: visi figūros ar kūno matmenys turi būti teigiami.
• Funkcija. Išreikškite ieškomą dydį vien per x. Egzamine ši dalis dažnai būna atskiras klausimas „Parodykite, kad…“, už kurį skiriami atskiri taškai.
• Išvestinė ir kritiniai taškai. Raskite išvestinę, prilyginkite ją nuliui ir atmeskite sprendinius, kurie nepatenka į leistinųjų reikšmių intervalą.
• Pagrindimas ir atsakymas. Parodykite išvestinės ženklus abipus kritinio taško ir grįžkite prie klausimo: jei klausiama tūrio, atsakymas yra tūris su matavimo vienetais, o ne x reikšmė.

Pirmiesiems dviem žingsniams reikalingos ne išvestinės, o geometrija ir algebra: reikia žinoti gretasienio, piramidės ar kūgio tūrio formulę ir mokėti iš sąlygos susieti kūno matmenis. Tūrio formules ir tai, kurios jų išspausdintos egzamino formulių lape, aptarėme straipsnyje apie kūnų tūrį ir paviršiaus plotą.

2025 m. dėžutės uždavinys: kur buvo prarasti taškai

Bendrojo kurso 15 uždavinį verta išspręsti visą, nes jis gerai parodo, kurie žingsniai sunkiausi. Projektuojama stačiakampio gretasienio formos dėžutė; trijų jos briaunų, išeinančių iš vienos viršūnės, ilgių suma lygi 36 cm, o viena pagrindo briauna du kartus ilgesnė už kitą. Trumpesniosios pagrindo briaunos ilgį pažymėkime x cm. Tada ilgesniosios briaunos ilgis lygus 2x cm, o aukštinės — (36 − 3x) cm. Kadangi aukštinės ilgis turi būti teigiamas, 0 < x < 12.

Tūris V(x) = x · 2x · (36 − 3x) = 72x² − 6x³. Išvestinė V′(x) = 144x − 18x² = 18x(8 − x) lygi nuliui, kai x = 0 arba x = 8, bet 0 į intervalą nepatenka. Ji teigiama, kai 0 < x < 8 (pavyzdžiui, V′(1) = 126), ir neigiama, kai 8 < x < 12 (V′(10) = −360). Vadinasi, intervale (0; 8] tūris didėja, o intervale [8; 12) — mažėja, todėl x = 8 yra maksimumo taškas, kuriame tūris didžiausias: V(8) = 1536 cm³.

Dabar panagrinėkime NŠA statistiką (2025 m. bendrojo kurso užduoties analizė; antrosios dalies užduotį atliko 5951 kandidatas). Už pirmąją dalį, kurioje reikėjo parodyti, kad tūris lygus 72x² − 6x³ (2 taškai), 95,2 % negavo nė vieno taško. Išvestinę teisingai apskaičiavo 38,4 %. Parodyti, kad tūris didžiausias, kai x = 8 (2 taškai), visiškai pavyko 6,8 %, o 84,5 % gavo nulį. Didžiausią tūrį teisingai apskaičiavo 39,0 %.

Iš to matyti du dalykai. Pirma, sunkiausia buvo pirmoji, „parodykite“ dalis (formulės išvedimas), bet formulė jau buvo užrašyta sąlygoje, todėl tolesnėse dalyse ja buvo galima remtis ir jos neišvedus: neišspręsta pirmoji dalis neturėtų sustabdyti viso uždavinio. Antra, reikšmė x = 8 buvo nurodyta pačioje sąlygoje, todėl V(8) galėjo apskaičiuoti ir tie, kurie maksimumo nepagrindė. Daugiausia taškų prarasta ne skaičiuojant, o išvedant formulę ir pagrindžiant maksimumą: šios dvi dalys sudaro maždaug tris ketvirtadalius visų šiame uždavinyje prarastų taškų.

Išplėstiniame kurse vaizdas panašus. 2025 m. 18 uždavinyje buvo nagrinėjama taisyklingoji trikampė piramidė, kurios šoninė briauna lygi 2, o tūris V(x) = (√3/4)(4x − x³); čia x — aukštinės ilgis, 0 < x < 2. Už šios formulės išvedimą (3 taškai) 83,0 % laikiusiųjų negavo nė vieno taško. Rasti, su kuria x reikšme tūris didžiausias (x = 2√3/3), visiškai pavyko 22,8 %, o 49,1 % gavo nulį. Išplėstinio kurso antrosios dalies užduotį tais metais atliko 12 579 kandidatai (NŠA analizė).

Kaip NŠA vertina pagrindimą, kad reikšmė didžiausia

Matematikos VBE vertinimo gairėse, kurias NŠA patvirtino 2025 m. gegužės 14 d., šiam žingsniui skirta atskira eilutė: „Pagrindimas, kad funkcija įgyja didžiausią / mažiausią reikšmę gautame kritiniame taške“. Ten pat pabrėžta, kad šis žingsnis vertinamas tašku, todėl pagrindimo praleisti negalima.

Kaip tą pagrindimą užrašyti, gairės aprašo pagal intervalo rūšį. Jei kintamasis kinta atvirame intervale, turi būti aiškiai parodyti išvestinės ženklai intervaluose: pliusai ir minusai, pažymėti skaičių tiesėje, arba apskaičiuotos išvestinės reikšmės intervalų taškuose. Jei intervalas uždaras, gairės leidžia rinktis: nagrinėti intervalo galus ir kritinius taškus arba tirti intervalą kaip atvirą. Jei apibrėžimo sritis sąlygoje nenurodyta, mokinys ją turi nustatyti pats.

Gairėse pateiktas pavyzdys gerai parodo, už ką taškas neskiriamas. Jame tiriamas taisyklingosios trikampės prizmės tūris V(x) = (√3/4)(81x − x³), kai 0 < x < 9. Šiurkščia klaida laikoma ženklų schema, kurioje neparodyta, kur funkcija, o kur išvestinė: pavyzdžiui, pliusai ir minusai virš ašies ir rodyklės po ja be jokių pavadinimų. Teisingu laikomas sprendimas, kuriame schemos eilutės pažymėtos V′(x) ir V(x), arba toks, kuriame apskaičiuotos išvestinės reikšmės, pavyzdžiui, V′(1) = 19,5√3 > 0 ir V′(8) = −27,75√3 < 0. Jei apibrėžimo srities nebūtų sąlygoje ir mokinys jos niekur neužrašytų, tai būtų šiurkšti loginė klaida. Abiem atvejais taškas už šį žingsnį neskiriamas.

Žemiau — 2026 m. bendrojo kurso gėlyno uždavinys, išspręstas būtent taip: eilutės pažymėtos, o intervalo galai 0 ir 5 parodyti tuščiaviduriais taškais, nes intervalui jie nepriklauso. Kaip tokį sprendimą įsivertinti namuose, rašėme straipsnyje apie matematikos vertinimo instrukciją, o bendras užrašymo taisykles aptarėme straipsnyje apie tai, kaip užrašyti matematikos sprendimą.

2026 m. egzaminas: gėlynas, kūgis ir liestinės

2026 m. birželio 5 d. vykusioje antrojoje dalyje išvestinės uždavinių buvo ir bendrojo, ir išplėstinio kurso užduotyse. Bendrojo kurso 16 uždavinyje sodininkas prie namo sienos ketina įsirengti stačiakampį gėlyną, kurio vieną kraštinę sudarys namo siena, o kitas tris aptvers 10 metrų ilgio tvorelė. Jei kiekvienos sienai statmenos kraštinės ilgis yra x, tai sienai lygiagreti kraštinė lygi 10 − 2x, o plotas S(x) = 10x − 2x²; čia 0 < x < 5. Išvestinė S′(x) = 10 − 4x lygi nuliui, kai x = 2,5. Prieš šį tašką ji teigiama, po jo — neigiama, todėl didžiausias plotas S(2,5) = 12,5 m². Uždavinys vertas 7 taškų: 2 už ploto formulę, 1 už išvestinę, 3 už x reikšmę ir 1 už didžiausią plotą.

Už ką gali būti skiriami šie trys taškai, rodo 2026 m. bandomojo patikrinimo vertinimo instrukcija. Joje panašus klausimas apie aptvaro plotą buvo vertinamas taip: 1 taškas už sprendimo būdo pasirinkimą, 1 už maksimumo taško radimą su ženklų lentele ir 1 už atsakymą. Toje pačioje instrukcijoje įskaitytas ir kitas būdas — parabolės viršūnės abscisė, nes ploto funkcija yra kvadratinė. Kaip rasti parabolės viršūnę, aiškinome straipsnyje apie kvadratinę funkciją ir parabolę.

Išplėstinio kurso 17 uždavinyje buvo tiriamas kūgis, kurio sudaromoji lygi 6, o α — kampas tarp aukštinės ir sudaromosios. Tada pagrindo spindulys lygus 6 sin α, aukštinė — 6 cos α, o tūris V(α) = 72π · sin²α · cos α, kai 0 < α < π/2. Išvestinei rasti prireikia sandaugos ir sudėtinės funkcijos išvestinių taisyklių: V′(α) = 72π · sin α · (2cos²α − sin²α). Šiame intervale sin α teigiamas, todėl ženklą lemia reiškinys 2cos²α − sin²α = 3cos²α − 1. Jis lygus nuliui, kai cos α = √3/3; su mažesnėmis α reikšmėmis jis teigiamas, su didesnėmis — neigiamas, taigi tūris didžiausias, kai α = arccos(√3/3), t. y. maždaug 54,7°. Uždavinys vertas 7 taškų (2 + 2 + 3), iš jų 3 skirti paskutinei daliai, kurioje reikia parodyti, kad su šiuo kampu tūris didžiausias. Trigonometrinių formulių, kurių čia prireikia, apžvalgą rasite straipsnyje apie trigonometrines formules.

Abiejų kursų užduotyse buvo ir po vieną liestinės uždavinį. Bendrojo kurso 19 uždavinyje (3 taškai) reikėjo rasti visas galimas x₀ reikšmes, kai funkcijos f(x) = x³/3 − 7x²/2 + 13x − 5 grafiko liestinė taške, kurio abscisė x₀, turi teigiamą krypties koeficientą ir su x ašimi sudaro 45° kampą. Krypties koeficientas lygus tg 45° = 1, o f′(x) = x² − 7x + 13, todėl sprendžiama lygtis x₀² − 7x₀ + 13 = 1, kurios sprendiniai x₀ = 3 ir x₀ = 4. Išplėstinio kurso 16.1 uždavinyje (4 taškai) reikėjo parodyti, kad tiesė y = x/4 + 5/4 liečia kreivę y = √(x + 1) taške, kuriame kreivė kerta tiesę y = 2. Tas taškas yra (3; 2), išvestinė jame lygi 1/(2√4) = 1/4, o liestinės lygtis y = (x − 3)/4 + 2 sutampa su duotąja tiese.

Kaip sekėsi spręsti 2026 m. uždavinius, parodys NŠA statistinė analizė; rašant šį straipsnį jos dar nebuvo, o 2025 m. analizė datuota lapkričio 4 d. Kol jos nėra, verta įsidėmėti, kaip 2025 m. sekėsi spręsti liestinės uždavinius. Už bendrojo kurso uždavinį, kuriame, naudojantis brėžinio duomenimis, reikėjo apskaičiuoti funkcijos y = 1/x grafiko liestinės taške (2; 0,5) krypties koeficientą, 91,9 % laikiusiųjų negavo nė vieno taško, o už išplėstinio kurso uždavinį su liestine, einančia per grafikui nepriklausantį tašką, — 73,0 %. Liestinės lygtis yra abiejuose formulių lapuose, tačiau vien formulės neužtenka: reikia suprasti, kad krypties koeficientas yra išvestinės reikšmė lietimosi taške.

Išvestinės uždaviniai 2025–2026 m. VBE vienoje lentelėje

Toliau — visi abiejų metų antrosios dalies uždaviniai, kuriuos sprendžiant reikėjo išvestinės. Paskutiniame stulpelyje nurodyta, kokia dalis laikiusiųjų už uždavinio dalį negavo nė vieno taško; 2026 m. statistika dar neskelbta.

Įskaitant funkcijos sudarymo dalis, išvestinės uždaviniai 2025 ir 2026 m. buvo verti nuo 8 iki 13 taškų iš 60, t. y. nuo 13 iki 22 % antrosios dalies taškų. Kaip taškai perskaičiuojami į balus ir kiek balų vertas kiekvienas taškas, paaiškinome straipsnyje apie VBE taškus ir balus.

Ką duoda formulių lapas, o ką reikia mokėti mintinai

Abiejų kursų formulių rinkiniuose išvestinėms skirta po kelias eilutes, tačiau jos skiriasi. Bendrojo kurso rinkinyje yra funkcijos ir skaičiaus sandaugos, sumos ir skirtumo išvestinių taisyklės, laipsninės funkcijos išvestinė (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ ir liestinės lygtis y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀). Išplėstinio kurso rinkinyje yra sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinių taisyklės, sin x, cos x, tg x, aˣ ir logₐx išvestinės bei ta pati liestinės lygtis, tačiau laipsninės funkcijos išvestinės formulės, kaip ir funkcijos ir skaičiaus sandaugos bei sumos ir skirtumo taisyklių, jame nėra, todėl jas reikia mokėti mintinai.

Svarbiausia, ko nėra nė viename rinkinyje, — pačių funkcijos tyrimo taisyklių. Niekur neparašyta, kad funkcija didėja ten, kur išvestinė teigiama, kad ekstremumas yra ten, kur išvestinė keičia ženklą, ir kad uždarame intervale reikia patikrinti galus. Šias taisykles tenka žinoti, o jų taikymą — mokėti užrašyti. Kas apskritai išspausdinta skirtingų egzaminų formulių lapuose, apžvelgėme straipsnyje apie egzaminų formulynus.

Kada mokomasi ir kaip planuoti laiką

NŠA 2025 m. statistinėje analizėje visi išvestinės uždaviniai priskirti IV gimnazijos klasės tematikai, taigi tai dvyliktos klasės tema, tikrinama antrojoje egzamino dalyje birželį. Bendrojo kurso formulių rinkinyje iš funkcijų išvestinių yra tik laipsninės funkcijos išvestinė, ir egzamino uždaviniai tai atspindi: 2025 ir 2026 m. optimizavimo uždaviniuose funkcijos buvo kubinė ir kvadratinė. Išplėstiniame kurse prisideda trigonometrinių, rodiklinių ir logaritminių funkcijų bei sudėtinių funkcijų išvestinės, todėl viename uždavinyje gali susitikti trigonometrija ir geometrija, kaip 2026 m. kūgio uždavinyje. Kaip atrodo visi dvyliktos klasės metai, aptarėme straipsnyje apie matematiką 12 klasėje.

Planuojant laiką verta prisiminti, kad dvyliktoje klasėje išvestinė dėstoma kartu su kitomis didelėmis temomis — trigonometrinėmis lygtimis, erdvės geometrija, tikimybėmis, — o mokslo metai trumpesni. Todėl optimizavimo uždavinius geriausia pradėti spręsti iš karto, kai tik išmokstama skaičiuoti išvestines, o ne palikti pavasario kartojimui. Pakanka kelių uždavinių per savaitę, bet kiekviename iki galo užrašant pagrindimą.

Iš ko mokytis: egzaminų užduotys ir uždavinynai

Pirmasis ir nemokamas šaltinis — pačios NŠA užduotys. 2025 ir 2026 m. antrosios dalies užduotys bei formulių rinkiniai skelbiami viešai, o 2025 m. statistinė analizė parodo ir tai, kiek taškų už kiekvieną dalį surinko laikiusieji. Kur ieškoti visų metų archyvo ir kada jo nebepakanka, aprašėme straipsnyje apie tai, kur rasti tikras NMPP, PUPP ir VBE užduotis.

Kai metodas aiškus, prireikia daugiau tos pačios rūšies uždavinių, nei jų yra egzaminų archyve. Išplėstinio kurso mokiniams skirti Vaidoto Mockaus „Matematikos uždavinynas 12 klasei. 1 dalis“ (2700 uždavinių su atsakymais) ir 2 dalis (2500 uždavinių): jais galima įtvirtinti dvyliktos klasės temas ir rengtis VBE antrajai daliai, todėl juos patogu naudoti kartu su vadovėliu visus metus. Arčiau egzamino praverčia to paties autoriaus VBE antrosios dalies užduočių pavyzdžiai — 20 išplėstinio kurso užduočių pagal naują 60 taškų struktūrą, su kuriomis galima pasitikrinti, ar užtenka laiko, ir pasitreniruoti rašyti pagrindimus.

Teminiam kurso kartojimui tinka „Matematikos valstybinis brandos egzaminas. Ar jau pasirengęs? 2 dalis“, o formulėms ir taisyklėms pasikartoti — matematikos formulių ir taisyklių rinkinys su taikymo pavyzdžiais arba trumpesnė matematikos atmintinė. Visus šiuos leidinius rasite parduotuvės matematikos VBE skiltyje, o kitas to paties autoriaus knygas — Mockaus knygų skiltyje.

Jei sunkiausia sudaryti funkciją iš sąlygos, kaip ir daugumai 2025 m. laikiusiųjų, problema paprastai slypi ne išvestinėse, o geometrijos ar algebros pagrinduose. Tokiu atveju greičiau padeda kelios pamokos su matematikos korepetitoriumi, per kurias pirmiausia išsiaiškinama, kur tiksliai stringa sprendimas, nei dar dešimt to paties tipo uždavinių.